Chúng ta c n khôi phục lại x,tức là tìm lại chính xác các giá tr x[n], n=1,2…N khi mà chỉ c M ph p đo y.Tuy nhi n do M < N tức là số phương trình thiết lập đư c là nhỏ hơn số ẩn c n tìm, do đ sẽ có vô số các nghiệm thỏa mãn, và tất nhiên nếu không cho thêm bất kỳ thông tin gì về nghiệm c n tìm thì ta sẽ không thể tìm đư c nghiệm chính xác.
Tuy nhi n,trong trư ng h p này,tín hiệu mà chúng ta c n khôi phục là đ biết về mặt cấu trúc,nó là tín hiệu thưa S hay tín hiệu có thể n n đư c.
73
Về mặt toán h c, dưới giả thiết tín hiệu x là thưa, chúng ta c thể khôi phục lại tín hiệu x bằng các phương pháp minimization.
S dụng l0 : 0 ˆ min x x sao cho yx Ở đ y 0 # : i 0 l
x i x .Phương pháp này c thể cho phép khôi phục chính xác d liệu bằng cách kiểm tra từng d liệu để thỏa m n phương trình trên,tuy nhiên tốc độ tính toán của phương pháp là chậm,do đ thuật toán này ít đư c s dụng trong th c tế và không s dụng trong lấy mẫu nén.
S dụng l2: 2 2 1 min min N i x x i x x x sao cho yx
K thuật này tìm ra nghiệm có dạng g nvới * 1
( )
T T
x y.Tuy nhiên, l2
minimization g n như không bao gi tìm ra một nghiệm thưa S. Phương pháp này không khôi phục đúng d liệu.
S dụng l1 : 1 1 min min N i x x i x x x sao cho yx
Thuật toán này có thể khôi phục chính xác tín hiệu thưa S s dụng M phép đo tuyến tính với M cSlog(N S/ ).Phương pháp này s dụng trong Compressive sensing cho việc khôi phục d liệu.
Nghiên cứu g n đ y (tháng 10 năm 2007), Emmanuel J.candèc,Michael B.Walkin và Stephen P.Boyd đ cải tiến phương pháp này cho ph p khôi phục tín hiệu chính xác hơn g i là phương pháp L1 minimization đư c tr ng số hóa (Reweighted L1 minimization). Phương pháp này khôi phục tín hiệu bằng phương trình sau:
74 1 1 min W min w N N i i x x C i x x x (2.34)
với điều kiện: yx
Ở đ y ma trận W là ma trận chéo với w1,w2,…,wn là các tr ng số dương nằm tr n đư ng chéo,các tr ng số còn lại bằng 0.
Các tr ng số dương của ma trận W này đư c tính toán bằng các bước thuật toán sau đ y:
1.Thiết lập l = 0 và wi(0) = 1, i = 1,…,N. 2. Tính:
3.Cập nhật các tr ng số : với m i i = 1,2,..,N:
4 .Kết thúc tính toán nếu l hội tụ hoặc l đạt tới một giá tr c c đại lặp đi lặp lại lmax.Nếu không, tăng l và quay trở lại bước 2.
Tham số đư c đưa ra ở bước 3 để đảm bảo s ổn đ nh và ch c ch n rằng nếu có giá tr x(l) = 0 không ngăn cấm việc ước lư ng khác 0 ở bước tiếp theo.S dụng thuật toán lặp đi lặp lại để xây d ng tr ng số (wi) c xu hướng cho phép ước lư ng thành công hơn v trí các hệ số khác 0. Mặc dù các l n lặp lại đ u tiến có thể cho ước lư ng tín hiệu chưa chính xác,nhưng các hệ số tín hiệu lớn nhất có khả năng đư c nhận dạng khác 0. Một khi các v trí này đư c tìm thấy,chúng có ảnh hưởng làm giảm tr ng số để tăng cư ng độ nhạy tìm nh ng hệ số khác 0 còn lại có giá tr nhỏ.
75
Hình 2.4(a) là tín hiệu gốc có chiều dài n =512 với 130 đỉnh khác 0. Chúng ta dùng m = 256 ph p đo với ma trận là ma trận chuẩn thông thư ng độc lập. Thiết lập = 0.1 và lmax = 2. Hình 2.4(b)-(d) vẽ biểu đồ phân tán hệ số theo hệ số, với hệ số tín hiệu gốc x0 với giá tr khôi phục lại x(l). Nếu dùng lặp lại không tr ng số hóa (hình 2.4(b)), chúng ta thấy rằng tất cả hệ số lớn của x0 đư c xác đ nh chính xác khác 0 và (1) 0 0.4857 l x x .Ở l n lặp lại đ u tiên, 0 (1) 256 l
x m, với 15 đỉnh khác không của x0 đư c khôi phục lại bằng 0 và
141 đỉnh bằng 0 của x0 đư c khôi phục lại là khác 0.Sau bước lặp lại tr ng số tiếp theo ( hình 2.4(c),kết quả đư c cải thiện với 0 (1) 0.2407
l x x , 0 (1) 256 l
x m, 6 đỉnh khác không của x0 đư c khôi phục lại bằng 0 và 132
điểm bằng 0 đư c khôi phục lại khác 0.S ước lư ng tín hiệu đ đư c cải thiện đủ để khôi phục tín hiệu một các hoàn toàn ở bước lặp lại tr ng số thứ hai (hình 2.4(d)).
76
Hình 2.4 Khôi phục lại tín hiệu thưa bằng phương pháp lặp lại l1 tr ng số hóa. (a) Tín hiệu gốc x0 n = 512 với 130 đỉnh.
(b) Biểu đồ phân tán hệ số theo hệ số, của x0 với tín hiệu khôi phục x(0) dùng l1 minimization không tr ng số.
(c) Tín hiệu khôi phục x(1) sau l n lặp lại tr ng số đ u tiên. (d) Tín hiệu khôi phục x(2) sau l n lặp lặp tr ng số tiếp theo.