Phát triển g n đ y trong lý thuyết tín hiệu đ chỉ ra rằng tín hiệu thưa là một mô hình h u ích trong một số l nh v c như: thông tin, radar và x lý ảnh.Vì thế giả thiết rằng m i tín hiệu có thể biểu diễn ở dạng thưa đ giúp cho việc nén tín hiệu đư c quan tâm.S khôi phục lại hoàn toàn tín hiệu x phụ thuộc vào ma trận đo và vec-tơ đo y. Lý thuyết Compressive sensing nói rằng khi ma trận thỏa m n điều kiện g n tr c giao Restricted Isometric Property (RIP) [7] thì nó có thể khôi phục S hệ số quan tr ng lớn nhất từ một bộ M O S log(N S/ ) ph p đo y cùng kích cỡ.
Định nghĩa 2.3.1Một ma trận CM x N đư c g i là thỏa m n điều tính chất giới hạn đẳng c c (RIP) của bậc S với SN,nếu có một hằng số
71
0 1 sao cho:
2 2 2
2 2 2
(1) x x (1 ) x (2.30)
với m i vec-tơ thưa S x S.Hằng số nhỏ nhất đư c biểu th là S,và nó đư c g i là hằng số giới hạn đẳng c c (RIP-restricted isometry constant) của
.
Kết quả là,tín hiệu thưa c thể khôi phục lại bởi một số k thuật tối ưu khác nhau như k thuật tối ưu l1-norm.K thuật tối thiểu h a đ u ti n đư c dùng để khôi phục lại tín hiệu là l1 minimization
(P1) min 1
x sao cho x y (2.31)
òn đư c g i là thuật toán đuổi khớp cơ bản (Basic Pursuit).Mục đích của k thuật này là tìm nh ng vec-tơ c l1-norm nhỏ nhất.
L1-norm còn đư c biết đến với tên g i Taxicab norm hay Manhattan norm. Kết quả thu đư c trong [8,9] chỉ ra rằng, nếu một tín hiệu x đủ thưa,tín hiệu có thể đư c khôi phục lại d a trên thuật toán đuổi khớp cơ bản (P1). ác k thuật tối ưu khác g i là tối ưu convex (cvx) sẽ giải quyết các vấn đề có quy mô nhỏ và vừa.Dùng cvx c c tiểu hóa tín hiệu để khôi phục lại tín hiệu gốc.