Như đã nói ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích bài “Làm tròn số” xuất hiện trong S7.1, “Số gần đúng. Sai số” trong S10.CB và “Số gần đúng và sai số” trong S10.NC để làm rõ những tri thức về số gần đúng được đưa vào sách giáo khoa hiện hành và những tổ chức toán học liên quan đến các tri thức được nói đến.
2.2.1. Số gần đúng trong SGK Toán 7 tập 1
Bài “Làm tròn số” xuất hiện trong S7.1 ở chương I: Số hữu tỉ. Số thực.
• Tác giả S7.1 giới thiệu quy tắc làm tròn số và các ví dụ minh họa:
“Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0.
Ví dụ: a) Làm tròn số 86,149 đến chữ số thập phân thứ nhất. Ta nhận thấy số 86,149 có chữ số thập phân thứ nhất là 1. Chữ số đầu tiên bị bỏ đi là 4 (nhỏ hơn 5) nên ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Ta được 86,149 ≈86,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Làm tròn số 542 đến hàng chục: 542≈540 (tròn chục)
Trường hợp 2: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0.
Ví dụ: a) Làm tròn số 0,0861 đến chữ số thập phân thứ hai. Số 0,0861 có chữ số thập phân thứ hai là 8. Chữ số đầu tiên bị bỏ đi là 6 (lớn hơn 5) nên ta phải cộng 1 vào 8, ta được 0,0861 ≈0,09(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
b) Làm tròn số 1573 đến hàng trăm: 1573≈1600 (tròn trăm)”[S7.1, tr.36]
• Viết số gần đúng:
Trong chương 1, chúng tôi đã chỉ ra rằng quy tròn số, tức là “quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng”nên căn cứ vào các cụm từ “Làm tròn số…đến hàng…, làm tròn số…đến chữ
số thập phân thứ…” ta biết độ chính xác của số quy tròn. Do đó, chúng tôi gọi các cụm từ vừa nêu là “thuật ngữ chỉ độ chính xác”.
Trong các ví dụ ở phần lý thuyết ta thấy các tác giả viết thuật ngữ chỉ độ chính xác sau số gần đúng:
“Ví dụ 2: Làm tròn số 72900 đến hàng nghìn (nói gọn là làm tròn nghìn): Do 73 000 gần với 72900 hơn là 72000 nên ta viết
72 900 ≈73000 (tròn nghìn)”[S7.1, tr.35]
Một nhận xét khác được rút ra sau khi xem xét G7.1 phần hướng dẫn giải bài tập SGK ở trang 43, 44 là: trừ bài 76 có nói rõ làm tròn đến hàng nào sau kết quả, tất cả các bài còn lại đều không nói rõ điều này. Chẳng hạn, phần hướng dẫn giải bài 73 ở trang 43: “7,923≈7,92”. Như vậy, tác giả không tôn trọng cách viết kèm theo thuật ngữ chỉ độ chính xác trong phần bài tập. Từ đó, dễ hình thành thói quen không quan tâm tới độ chính xác của kết quả và quy tắc ngầm ẩn: “Số chữ số thập phân sau dấu phẩy của số gần đúng cho biết nó được làm tròn đến chữ số nào.” Chẳng hạn, ≈7,92 nghĩa là số này được làm tròn đến 2 chữ số thập phân.
Nhận thấy S7.1 không đề cập đến cách viết số gần đúng thứ 2 đã đề cập trong chương 1: “mọi chữ số có nghĩa là những chữ số chắc chắn” nên trong trường hợp số cần quy tròn là các số vô tỉ hoặc là kết quả của việc thực hiện liên tiếp những tính toán với các số gần đúng thì việc kèm theo độ chính xác hoặc thuật ngữ chỉ độ chính xác sau kết quả quy tròn là rất cần thiết vì như Lê Đình Thịnh (1995) đã viết “Nếu tính toán mà không chỉ ra được sai số thì kết quả không dùng được.”
2.2.2. Số gần đúng và sai số trong S10.CB và S10.NC
G.S10.CB dự kiến phân phối “Chương I: Mệnh đề - tập hợp” thành 10 tiết, bài “Số gần đúng. Sai số” chiếm 2 tiết, gồm có các nội dung: Số gần đúng, sai số tuyệt đối, độ chính xác của số gần đúng, quy tròn số gần đúng. G.S10.CB đưa ra mục tiêu như sau:
“Nắm vững các khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối, độ chính xác của một số gần đúng và biết cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước.”. [G.S10.CB, tr.45]
Còn G.S10.NC dự kiến phân phối “Chương I: Mệnh đề - tập hợp” thành 12 tiết, bài “Số gần đúng và sai số” chiếm 2 tiết, gồm có các nội dung: Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối, số quy tròn, chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng, kí hiệu khoa học của một số. G.S10.NC nêu rõ mục tiêu của bài về kiến thức và kĩ năng:
“Giúp học sinh :
Về kiến thức
−Nhận biết được tầm quan trọng của số gần đúng, ý nghĩa của số gần đúng
−Nắm được thế nào là sai số tuyệt đối, sai số tương đối, độ chính xác của số gần đúng, biết dạng chuẩn của số gần đúng.
Về kĩ năng
−Biết cách quy tròn số, biết xác định các chữ số chắc chắn của số gần đúng −Biết dùng kí hiệu khoa học để ghi những số rất lớn và rất bé.”
[S10.NC, tr.24]
Nhận xét:
• Yêu cầu của thể chế dạy học Toán Việt Nam hiện hành chỉ dừng lại ở mức độ biết đối với các khái niệm như sai số tuyệt đối, độ chính xác của số gần đúng và cách quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước. Theo thang đánh giá phân loại mục tiêu (lĩnh vực nhận thức) của Benjamin S.Bloom thì đây là cấp độ thấp nhất.
• Trong phần mục tiêu của G.S10.CB và G.S10.NC không đề cập đến yêu cầu sử dụng MTBT để thực hiện các phép tính gần đúng và yêu cầu liên quan tới việc tính đến các loại sai số trong quá trình tính toán với các số gần đúng.
Dựa trên những kết quả của chương 1, chúng tôi tiến hành xem xét những tri thức về số gần đúng được trình bày trong S10.CB và S10.NC.
Các loại sai số
S10.CB và S10.NC giới thiệu “sai số số liệu” (số liệu thu được từ việc dùng các phương pháp và dụng cụ đo khác nhau để đo khoảng cách, số liệu từ việc thống kê dân số), “sai số tính toán” (do việc quy tròn số thập phân vô hạn không tuần hoàn). S10.CB vàS10.NC không đề cập đến “sai số giả thiết” và “sai số phương pháp”.
Sai số tuyệt đối
S10.CB và S10.NC đều chọn cách định nghĩa sai số tuyệt đối theo quan điểm của GT1:
“Giả sử alà giá trị đúng của một đại lượng và a là số gần đúng của số đúnga. Giá trị a a thể hiện độ sai lệch giữa a và a. Ta gọi a a là sai số tuyệt đối của số gần đúng a và kí hiệu là a, tức là: a a a”[S10.NC, tr.24]
Như đã nói trong chương 1, định nghĩa này chỉ có tính chất lí thuyết vì trên thực tế ta phải ước lượng a(do thường không có được số đúng a).
Độ chính xác
“Độ chính xác của một số gần đúng” trong các SGK Toán phổ thông chính là một ước lượng của “Sai số tuyệt đối” trong GT1 hay “Sai số tuyệt đối” trong GT2.
“Nếu a a a d thì − ≤ − ≤d a a d hay a−d≤a≤ +a d. Ta nói a là số gần đúng của a với
độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a a d”. [S10.CB, tr.20]
S10.NC còn giải thích thêm tại sao lại gọi là độ chính xác:
“dcàng nhỏ thì độ sai lệch giữa số gần đúng a và số đúngacàng ít. Thành thử d được gọi là độ chính xác của số gần đúng.
Để củng cố khái niệm vừa học S10.CB đưa ra hoạt động 2:
“Tính đường chéo của một hình vuông có cạnh 3cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được. Cho biết 21.4141135...”. [S10.CB, tr.20]
Theo G.S10.CB thì kết quả của câu hỏi trong hoạt động 2 không duy nhất. G.S10.CB gợi ý thực hiện như sau:
“Độ dài đường chéo của một hình vuông cạnh 3cm là x=3 2cm.
Nếu lấy 2bằng 1,4 thì x=3×1,4 =4,2 (cm), sai số tuyệt đối ước lượng là
3 24, 2 3 1, 424, 2 0, 06 cm
Khi đó độ chính xác là 0,06.
Nếu lấy 2bằng 1,41 thì x=3×1,41 =4,23 (cm), sai số tuyệt đối ước lượng là
3 24, 23 3 1, 424, 230, 03 cm
Khi đó độ chính xác là 0,03”. [G.S10.CB, tr.45]
Theo lời giải này thì tùy theo số gần đúng của 2 mà độ dài đường chéo của hình vuông sẽ khác nhau. Do đó, cần làm rõ độ chính xác của kết quả tính gần đúng. Câu hỏi đặt ra là: Nếu đề toán không yêu cầu “xác định độ chính xác của kết quả tính” mà chỉ yêu cầu “tính độ dài đường chéo hình vuông” thì học sinh có giải thích sau kết quả tính của mình không?
Sai số tương đối
Cũng như các giáo trình đại học, S10.CB và S10.NC đều giới thiệu khái niệm sai số tương đối thông qua việc đưa ra một ví dụ minh hoạ cho thấy sai số tuyệt đối không phản ánh được đầy đủ tính chính xác của phép đo đạc.
“Các nhà thiên văn tính được thời gian để Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời là 365 ngày ±1
4
ngày. Nam tính thời gian bạn dó đi từ nhà đến trường là 30 phút ± 1 phút. Trong hai phép đo trên, phép đo nào chính xác hơn ?” [S10.CB, tr.21]
S10.CB và S10.NC đều giới thiệu khái niệm sai số tương đối:
“Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δa , là tỉ số giữa sai số tuyệt đối vàa, tức là a a
a
d ”
[S10.NC, tr.25]
Tuy nhiên, “sai số tương đối” không được chú trọng trong sách giáo khoa hiện hành. Trong G.S10.CB ở trang 46 có đoạn viết: “Không yêu cầu học sinh nắm vững và sử dụng được khái niệm sai số tương đối”. Hơn nữa, trong S10.CB và S10.NC, chúng tôi không tìm thấy bài toán nào đề cập đến khái niệm “sai số tương đối”. Chúng tôi dự đoán đối tượng “sai số tương đối” không thực sự được giảng dạy trong thể chế dạy học Toán Việt Nam hiện hành.
Cách viết số gần đúng
S10.NC phát biểu một mệnh đề đóng vai trò lí thuyết giải thích cho độ chính xác trong yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ k. Mối liên hệ này đã ngầm ẩn ở lớp 7 mà chúng tôi đã phát biểu ở trên.
“1) Khi quy tròn số đúng a đến một hàng nào thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó. Chẳng hạn, số gần đúng củaπ chính xác đến hàng phần trăm là 3,14; số gần đúng của 2 chính xác đến hàng phần nghìn là 1,414. ” [S10.NC, tr.27]
Nhận thấy, ứng với việc làm tròn kết quả hiện lên trên MTBT đến hàng phần trăm khi ấn π thì kết quả chính xác đến hàng phần trăm, tuy nhiên, khi kết quả của việc tính toán phải qua nhiều bước trung gian, ở mỗi bước ta đều tiến hành làm tròn số thì kết quả tính toán cuối cùng (có được từ việc thực hiện các tính toán với các số gần đúng trung gian) quy tròn đến hàng nào chưa chắc cho kết quả chính xác đến hàng đó.
Đến đây, chúng ta thấy thể chế dạy học Toán Việt Nam hiện hành đã sử dụng hai cách viết số gần đúng:
• Một là dùng kí hiệu a a a (Đây là cách viết thứ nhất đã nêu trong chương 1).
• Hai là dùng kí hiệu ≈kèm hay không kèm theo thuật ngữ chỉ độ chính xác. Ví dụ:π ≈ 3,14 ;π ≈ 3,14 (chính xác đến hàng phần trăm); π ≈ 3,14 (làm tròn đến
chữ số thập phân thứ hai), p3,140,005.
Tuy nhiên, thể chế sẽ ưu tiên dùng cách viết thứ hai, cách viết thứ nhất chỉ xuất hiện một vài lần trong phần lí thuyết, không thuận tiện trong việc tính toán do thể chế không giới thiệu các quy tắc thực hiện các phép toán khi biết độ chính xác của các số gần đúng trong biểu thức tính toán.
Quy tròn số
S10.CB và S10.NC nhắc lại quy tắc làm tròn số đã học ở lớp 7. Từ đó, S10.CB giới thiệu cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước qua các ví dụ minh họa:
“Ví dụ 4. Cho số gần đúng a = 2 841 275 với độ chính xác d = 300. Hãy viết số quy tròn của số a. Giải. Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìntheo quy tắc làm tròn ở trên.
Vậy số quy tròn của a là 2 841 000.
Giải. Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn(độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 3,1463 đến hàng phần trăm theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 3,15.” [S10.CB, tr.22]
G.S10.CB giải thích cách quy tròn:
“Nếu độ chính xác đến hàng nào thì ta quy tròn số gần đúng đến hàng kề trước nó. Chẳng hạn, đối với số nguyên độ chính xác đến hàng trăm (độ chính xác nhỏ hơn 1000) thì ta quy tròn số gần đúng này đến hàng nghìn. Đối với số thập phân, nếu độ chính xác đến hàng phần nghìn thì ta quy tròn số gần đúng đến hàng phần trăm.” [G.S10.CB, tr.46]
Trong B.S10.CB ở trang 16 và nhận xét 3 trong phần “Chú ý” của S10.NC ở trang 27 đề cập đến quy tắc giải quyết kiểu nhiệm vụ trên:“Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là a a d ). Khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó”. Chúng tôi không tìm thấy yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật thể chế đưa ra.
Chữ số đáng tin (chữ số chắc chắn) và dạng chuẩn của số gần đúng
• Khái niệm “chữ số chắc chắn” chỉ được giới thiệu trong S10.NC. Thế mà trong
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 Trung học phổ thông môn Toán học ở trang 48 thì “để trình bày cách quy tròn một số gần đúng, nhất thiết phải đưa ra khái niệm chữ số đáng tin.”
Kết quả chương 1 cho thấy có hai quan điểm về chữ số chắc chắn và S10.NC sử dụng định nghĩa theo quan điểm thứ nhất tồn tại trong GT1 và GT2 hay chữ số chắc chắn hiểu theo nghĩa hẹp của GT6 và GT4:
“Cho số gần đúng a của số avới độ chính xác d. Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc
(hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.” [S10.NC, tr.27]
Tiếp đó, S10.NC đưa ra nhận xét:
“Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.”[S10.NC, tr.27]
S10.NC đưa vào ví dụ 5 để minh họa cho định nghĩa và nhận xét vừa được trình bày ở trên:
“Ví dụ 5. Trong một cuộc điều tra dân số, người ta báo cáo số dân của tỉnh A là 1379425 người ± 300 người.
Vì 2 1000 500 300 50 2 100= < < = nên chữ số hàng nghìn (chữ số 9) là chữ số chắc. Vậy các chữ số chắc là 1, 3, 7, 9.”[S10.NC, tr.27]
Nhiệm vụ xác định chữ số chắc chắn chỉ xuất hiện 1 lần trong phần bài tập ôn tập chương trong S10.NC và 1 bài tập trong B.S10.NC. Đặc biệt, sau phần bài học không xuất hiện bài tập nào thuộc nhiệm vụ này.
• Khái niệm “dạng chuẩn của số gần đúng” cũng chỉ được giới thiệu trong S10.NC.
S10.NC giới thiệu “dạng chuẩn của số gần đúng” ở trang 26, 27:
“ Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ số chắc.
Ví dụ 6. Cho một giá trị gần đúng của 5được viết dưới dạng chuẩn là 2,236 ( 5 ≈2, 236). Ở đây, hàng thấp nhất có chữ số chắc là hàng phần nghìn nên độ chính xác của nó là 1 3
10 0, 0005 2
− = . Do đó, ta biết được :2, 236−0, 0005≤ 5≤2, 236+0, 0005.
Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là .10k
A , trong đó A là số nguyên, k là hàng thấp