2.2.1. Quan hệ thứ tự dựa vào các thuộc tính “trực cảm” của gia tử
Như trên đã đề cập, một cách tiếp cận đại số đến cấu trúc tự nhiên của các
miền của các biến ngôn ngữ đã được đề xuất bởi N. Cat Ho và W. Wechler, và nó
đại số này là một bộ AX = (X, G, H, ), với X là một tập giá trị của một biến ngôn
ngữ (gọi là poset), G là tập các phần tử sinh, H là tập các gia tử (toán tử một ngôi)
và thể hiện quan hệ thứ tự (từng phần) ngữ nghĩa trên X . Cấu trúc đại số này
được xây dựng xuất phát từ các thuộc tính ngữ nghĩa của gia tử và các giá trị ngôn
ngữ. Trong thực tế, về mặt ngữ nghĩa thật khó để đưa ra một định nghĩa toán học
chính xác xem một gia tử là gì, nhưng phân tích ý nghĩa trực cảm của chúng, chúng
ta có thể rút ra một số thuộc tính ngữ nghĩa của gia tử như sau:
- Mỗi gia tử làm mạnh hay yếu ngữ nghĩa của phần tử sinh. Ví dụ: very True < True hay Fery False < False,…
- Mỗi gia tử làm mạnh hay yếu ngữ nghĩa của gia tử khác. Nếu gia tử k làm mạnh ngữ nghĩa gia tử h, ta gọi k là dương theo( positive w.r.t.) h và
ngược lại k là âm theo (negative w.r.t.) h. Ví dụ: Approximate True < Very Approximate True < True.
- Một gia tử tác động vào một giá trị ngôn ngữ tạo thành giá trị mới “lân
cận” nó (thừa kế ngữ nghĩa). Dựa vào quan hệ thứ tự ngữ nghĩa, thuộc
tính này có thể được thể hiện như sau: nếu ta có hai giá trị ngôn ngữ là hx và kx sao cho hx kx thì h’hx k’kx, với h’, k’ là các gia tử. Nếu ta gọi
tập H(u) là tập tập tất cả các giá trị sinh ra từ u thông qua các gia tử,
nghĩa là H(u) = {mu: m là một chuỗi các gia tử} thì quan hệ trên có thể được biểu diễn như sau: H(hx) H(kx). Ví dụ: ta có Little True
Approximate True và Possibly Little True Little Approximate True nên H(Little True) H(Approximate True).
Các thuộc tính này sẽ được dùng để phát triển đại số gia tử mịn hóa, gọi tắt là RHA (refined hedge algebra) như là cáctiên đề.
2.2.2. Tập giá trị (Term-sets) như là các đại số trừu tượng
Xét đại số AX = (X, G, H, ), với X là tập giá trị, G là tập các phần tử sinh
và các hằng đặc biệt (như 1, 0 và W tương ứng với “absolutely true”, “absolutely false” và “neutral”), H là tập các gia tử và như là quan hệ thứ tự ngữ nghĩa. Và
để thuận tiện, kết quả của việc dùng các toán tử h1, h2,…,hn H tác động đến một
phần tử x X có thể được viết như hnhn-1…h1x.
Ngoài các thuộc tính đã nêu trên, chúng ta sẽ xét một số thuộc tính mới của
các gia tử, đó là:
- Với h, k H, h và k được gọi là nghịch đảo (converse) nếu mệnh đề x
X (x hx nếu và chỉ nếu x kx) thỏa.
- Với h, k H, h và k được gọi là tương thích (compatible) nếu mệnh đề
x X (x hx nếu và chỉ nếu x kx) thỏa.
- Với h, k H, h là dương theo (positive w.r.t.) k nếu mệnh đề (x
X)(hoặc kx x hkx kx hoặc kx x hkx kx ) thỏa. Ngược lại,
h là âm theo (negative w.r.t.) k.
Bên cạnh đó, chúng ta cũng có một số giả định sau:
- Mỗi phần tử h H là một toán tử thứ tự, nghĩa là mệnh đề (x
X)(hoặc hx x hoặc hx x) thỏa với mọi h.
- H được tách thành hai tập con khác rỗng là H+ và H- sao cho với bất kì h H+ và k H- thì h và k là nghịch đảo. Để tiện lợi, ta sẽ dùng kí hiệu c để thay thế cho + hoặc -.
- Gọi I là phần tử đơn vị của X, i.e. x X, Ix = x. Các tập H+ + I và H- + I là các dàn với các phần tử đơn vị tương ứng là V và S, phần tử không
là I. Vì X, H+ và H- là các tập rời nhau, nên có thể giả định rằng quan hệ
thứ tự từng phần trên các tập này sẽ được thể hiện với cùng kí hiệu . Với một số thuộc tính mới của gia tử và một số giả định trên, ta có định nghĩa sau:
Đinh nghĩa 2.1 (Định nghĩa về tính nhất quán ngữ nghĩa)
Cho AX = (X, G, H, ) là một đại số. X và H được gọi là nhất quán ngữ
nghĩa (semantically consistent) nếu các điều kiện sau thỏa:
- X được sinh ra từ các phần tử sinh do sự tác động của các gia tử thuộc
H, i.e. các phần tử của X có dạng hn…h1a với hi H, i= 1,..,n, và a G.
- Với bất kì h, k Hc + I, h < k thuộc Hc + I nếu và chỉ nếu (x X)(( hx > x hoặc kx > x hx < kx) và (hx < x hoặc kx < x hx >kx)). Và h và
k là không so sánh được (incomparable) trong Hc + I nếu và chỉ nếu (x
X)(hx x hoặc kx x hx và kx là không so sánh được).
2.2.3. Cấu trúc đại số tổng quát cho tập giá trị
Với đại số AX = (X, G, H, ) như đã đề cập ở trên, các giá trị thuộc X có
dạng hn…h1a với h1,.., hn H và a G. Tuy nhiên, trong thực tế không phải tất cả
các giá trị ngôn ngữ đều có dạng trên, ví dụ giá trị ‘Little Approximate False OR Little Possibly False’ hoặc có thể được viết lại là ‘Little(Approximate Possibly) False’, với là một phép toán trên tập các gia tử. Nếu xem biểu thức (Approximate Possibly) là một gia tử mới, thì giá trị trên đã trở về dạng hn…h1a như trên. Do đó, ta cần mở rộng tập H đến một tập các toán tử một ngôi mới và là một dàn phân bố, kí hiệu là LH. Lúc này đại số AX trên sẽ trở thành AX = (X, G, LH, ), X là
tập mở rộng của X ở trên, i.e. có chứa những giá trị như trong ví dụ và ‘Little
Approximate False’ ‘ Little Possibly False’ = ‘Little(Approximate Possibly) False’, với là phép nối trong dàn AX.
Để xây dựng dàn LH ở trên, chúng ta sẽ dựa vào tập H ban đầu. Như chúng ta đã biết ở trên, H có thể được tách thành hai tập con H+ và H- sao cho H+ + I và H- + I là các dàn hữu hạn với I là phần tử không. LH được xây dựng như sau:
- Xuất phát từ H+ + I chúng ta sẽ xây dựng được dàn LH+ + I (với L là dàn
đồng dư (modular) hữu hạn thỏa điều kiên (Co) sau: với bất kì x Li, yLj và i j, chúng ta có x > y hoặc x < y (Li, Lj là các lớp phân hoạch
(graded classes)của L) ).
- Xuất phát từ H- + I chúng ta sẽ xây dựng được dàn LH- + I.
Vì các tập H+ và H- là các tập rời nhau, nên LH+ và LH- cũng là các tập rời nhau
với LH+ = LH+ + I \ {I} và LH- = LH- + I \ {I}. Chúng ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1
(LH+ + I, , , I, V) và (LH- + I, , , I, S) là các dàn phân bố hữu hạn với các phần tử đơn vị tương ứng là V và S và phần tử không là I.
Với LH được xây dựng như trên, chúng ta xét AX = (X, G, LH, ) là một đại số
thỏa điều kiện sau:
- G là tập các phần tử sinh và các hằng đặc biệt.
- là quan hệ thứ tự ngữ nghĩa trên tập X sao cho X và LH là nhất quán
ngữ nghĩa.
2.3. TIÊN ĐỀ CỦA RHA VÀ CÁC THUỘC TÍNH CỦA NÓ
2.3.1. Tiên đề của RHA và các thuộc tính cơ bản
Trước khi tìm hiểu các tiên đề và thuộc tính của RHA, ta cần tìm hiểu qua một số
khái niệm và kí hiệu sau:
- Tập H được gọi là có thuộc tính PN – homogeneous (PN là viết tắt của
Possitive and Negative) nếu như mọi phần tử trong bất kì lớp được phân
hoạch (graded class) Hic nào của Hc có cùng thuộc tính dương hoặc
âm(với Hc là H+ hoặc H-).
- Tập SIc (SI+ hoặc SI-) là tập chứa các chỉ số i sao cho các lớp Hic có | Hic| > 1.
- UOS (Unit Operation Set) là tập chứa hai phần tử đơn vị là V, S tương ứng của LH+ + I và LH- + I.
- Nat là tập các số nguyên không âm.
- LH = LH+ LH- và LH + I = LH+ LH- {I}.
- Với mọi x X , LH(x) là tập tất cả các phần tử được sinh ra từ x bởi các
LH, i = 1..n. Một cách tổng quát, bất kì Y X và H’ LH, H’(Y) là tập
con của X được sinh ra từ các phần tử thuộc Y bởi các toán tử trong H’.
- LH* là tập tất cả các chuỗi gia tử trong LH. H’[Y] = {hx: h H’ và x
Y}.
- LH+ + I và LH- + I thỏa mãn điều kiện (Co) với Li, Ljđược thay bằng
LHci và LHcjtương ứng. - Cho một giá trị x, chúng ta có : LHci[x] = {hx : h LHci } và LH(LHci[x]) = ] [ ) ( x u LH u LH c i = LH hx LH c i h ) ( Vậy ta có : LH(x) = {x} } , { c { LH(LHci[x]): i = 1,…,Nc}, với N + = g+(V) và N- = g-(S), V và S là các phần tử đơn vị tương ứng của H+ + I và H- + I và g+ và g- là các hàm phân hoạch (graded functions) của H+ + I và H- + I, LH(x) gọi là tập giá trị của x, LH(LHci[x]) gọi là các tập giá trị phân
hoạch (graded term-sets) của x.
Với các khái niệm và kí hiệu như trên, chúng ta có định nghĩa về RH_algebra như
sau:
Định nghĩa 2.2 : Một đại số AX = (X, G, LH, ) được gọi là một đại số gia tử
mịn hóa RHA (refined hedge algebra) nếu X và LH là nhất quán ngữ nghĩa và các
điều kiện sau thỏa (với h, k LH):
- Toán tử đơn vị V của H++ I là dương hay âm theo các toán tử thuộc H.
Hơn nữa, H thỏa mãn thuộc tính PN – homogeneous. (A2)
- Nếu u và v là độc lập, i.e. u LH(v) và v LH(u), thì x LH(v) với bất
kì x LH(u) và ngược lại. Nếu x hx thì x LH(hx). Hơn nữa, nếu hx
kx thì hx và kx là độc lập. (A3)
- Nếu hx và kx là không thể so sánh được thì bất kì phần tử u LH(hx) và
v LH(kx) cũng không thể so sánh được. Đặc biệt, nếu a, b G và a < b thì LH(a) < LH(b). Và nếu hx < kx thì :
+ Trong trường hợp h, k LHic, tồn tại i SIc , mệnh đề sau thỏa:
δhx < δkx, với bất kì δ LH*.
δhx và y là không so sánh được, với bất kì y
LH(kx) thì y δkx.
δkx và z là không so sánh được, với bất kì z
LH(hx) thì z δhx.
+ Nếu {h, k} LHci với mọi i SIc hoặc hx = kx, thì h’hx k’kx,
với bất kì h’, k’ UOS. (A4)
- Với u LH(x) và giả sử rằng u LH(LHci[x]) = LH hx LH c i h ) ( , với i Ic.
Nếu tồn tại v LH(hx), với h LHic sao cho u v (hoặc u v), thì u
h’v (hoặc u h’v ), cho bất kì h’ UOS. (A5)
Như ta thấy, RHA là sự mở rộng của HA.
Để tiện lợi, chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm đã được đề cập trong tài liệu tham khảo [8] của bài báo.
Định nghĩa 2.3 : Với bất kì h, k LH, chúng ta sẽ viết hx << kx(hx << Ix) nếu với bất kì h’, k’ UOS và bất kì m, n Nat, thì Vnh’hx Vmk’kx(Vnh’hx Ix).
Trong trường hợp bất phương trình cuối luôn ngặt, thì chúng ta viết hx << kx(hx
<< Ix).
Định nghĩa 2.4 : Cho x và u là hai phần tử của RH_algebra AX = (X, G, LH, ). Biểu thức hn…h1u được gọi là một dạng chuẩn tắc (canonical representation) của x theo u thuộc AX nếu:
- x = hn…h1u.
- hi…h1u hi-1…h1u với i n.
Định lí 2.1: Cho AX = (X, G, LH, ) là một RH_algebra. Các mệnh đề sau thỏa:
- Nếu hx << kx thì hx kx.
- Các toán tử thuộc LHclà tương thích.
- Nếu x X là một “điểm dừng”(fixed point) của một toán tử h LH, i.e.
hx = x, thì nó cũng là một “điểm dừng” của bất cứ toán tử khác k LH.
- Nếu x = hn…h1u, thì tồn tại một chỉ số i sao cho hậu tố(suffix) hi…h1u của
x là một dạng chuẩn tắc của x theo u và hjx = x, với mọi j > i.
- Với bất kì h, k LH, nếu x hx (x hx) thì Ix << hx (Ix >>hx) và nếu hx kx, h k và {h, k} LHic với mọi i SIc, thì hx << kx.
Định lí 2.2: Với bất kì hLH, tồn tại hai phần tử đơn vị h+ và h- sao cho h+
là dương và h- là âm theo h và với bất kì h1,…, hn LH, x X, ta có
Vnh-hx hn…h1hx Vnh+hx, nếu hx x, và Vnh-hx hn…h1hx Vnh+hx, nếu hx
x.
Hệ quả 2.2:
- Giả sử hx < kx. Nếu {h, k} LHic cho mọi i SIc, thì với bất kì hai chuỗi gia tử δ, δ’ nào, bất phương trình δhx < δ’kx thỏa.
- Với u X và x LH(u). Luôn luôn tồn tại các phần tử y, z UOS(u),
i.e. y và z được sinh ra từ u bởi các toán tử đơn vị sao cho y x z. Hơn
nữa, một trong các bất phương trình u x Vnhu và u x Vnhu thỏa,
với h LH thích hợp và với n Nat đủ lớn.
2.3.2. Tiêu chuẩn so sánh giữa các phần tử
Trước khi sang định lí thiết lập tiêu chuẩn so sánh giữa các phần tử thuộc RHA,
chúng ta định nghĩa kí hiệu x<j như sau: nếu x = hn…h1u, thì x<j là biểu thức hj- 1…h1u, với 1 j n+1 và x<1 = u.
Định lí 2.3: Cho x = hn…h1u và y = km…k1u là hai dạng chuẩn tắc của x và y
theo u tương ứng, thì:
- x = y nếu và chỉ nếu m = n và hj = kj, với mọi j n.
- Nếu x y thì tồn tại chỉ số j min{m, n} + 1 sao cho hj’ = kj’, với mọi j’
+ x < y nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau thỏa:
hjx<j < kjx<j và δ kjx<j δ’kjx<j hoặc δ hjx<j
δ’hjx<j, nếu hj, kj LHic với i SIc (và do đó hj I và kj I), với δ = hn…hj+1, δ’ = km…kj+1.
hjx<j < kjx<j, nếu ngược lại.
+ x và y là không so sánh được nếu và chỉ nếu tồn tại i SIc sao cho
cả hj và kj đều phụ thuộc vào LHic và một trong những điều kiện sau thỏa:
hjx<j và kjx<j là không thể so sánh được,
hjx<j < kjx<j và δ kjx<j δ’kjx<j,
hjx<j > kjx<j và δ hjx<j δ’hjx<j.
Ta còn có một số mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2: Với bất kì x X và i SIc. Nếu tồn tại một gia tử h LHic sao cho hx là một điểm dừng, thì kx cũng là một điểm dừng, với bất kì k LHic.
Mệnh đề 2.3: Với bất kì x X và h, k LHic, tồn tại i SIc và bất kì
δLH*, δhx là một điểm dừng nếu và chỉ nếu δkx là một điểm dừng.
Mệnh đề 2.4: Nếu phần tử đơn vị V trong LHc + I là dương (hoặc âm) theo
một h nào đó thuộc Hic, tồn tại i SIc, thì V cũng là dương (hoặc âm) theo bất cứ
toán tử nào thuộc LHic.
Mệnh đề 2.5: Với bất kì h, k LHic, với i SIc và bất kì x X. Các mệnh đề sau thỏa:
- Nếu hx kx, thì δhx và δ’hx là không so sánh được nếu và chỉ nếu δkx và
δ’kx là không so sánh được, với δ, δ’ LH*.
- δhx > δ’hx nếu và chỉ nếu δkx > δ’kx, với δ, δ’ LH*.
Mệnh đề 2.6: Cho đại số AX = (X, G, LH), với X = {σc: c {a+, a-},|σ|
p}{1, W, 0}, p là một số nguyên dương, G = {1, a+, W, a-, 0} với 1 > a+ > W > a- > , và LH là tập các toán tử một ngôi được xây dựng trong mục 2. Gọi mPN là một