Gọi s X X( ,% %1 2) là phép đo độ tương tự giữa 2 tập mờ loại hai khoảng X%1và X%2 trên miền DX và c X( %1) là trung tâm của centroidX%1.
Ta có X%1 và X%2 là đồng dạng nếu 1( ) 2( ) X x X x µ =µ +λ và µX1( )x =µX2(x+λ) với X x D ∀ ∈ , trong đó λ là hằng số. X%1≤X%2 nếu 1( ) 2( ) X x X x µ ≤µ và 1( ) 2( ) X x X x µ ≤µ với ∀ ∈x DX%. Hai ví dụ về 1 2 X% ≤X% được thể hiện trên Hình 3.12. X%1 và X%2 là chồng nhau, tức là X%1∩X%2 ≠ ∅ nếu và chỉ nếu ∃ ∈x DX% mà 1 2
min(µX ( ),x µX ( )) 0x > . Hai ví dụ về sự chồng nhau của X%1 và X%2 thể hiện trên Hình 3.12.
X%1 và X%2 là không chồng nhau, tức là X%1∩X%2 = ∅ nếu và chỉ nếu ∃ ∈x DX% mà
1 2
Hình 3.12: Hai ví dụ của X%1≤ X%2. Trên cả 2 hình vẽ, được biểu diễn bởi
đường liền nét và X%2được biểu diễn bằng đường nét gạch. 1
X% và X%2 không chồng nhau sẽ không có thành phần FOUs chồng chéo. Trong Hình 3.13, X%1 và vùng Ghi lại và X%1 vX%1và vùng Loại ra là không chồng chéo.
Đặt X1e là tập mờ nhúng loại một. Vì 1 1e( )i X ( )i X x x µ ≤µ với tất cả các tập mờ nhúng loại 1 X1e và µX2( )x ≤µX2( )x , min(µX1( ),x µX2( )) 0x = nghĩa là 2 1 min(µXe( ),xi µX ( ) 0x = và 2 1 min(µXe( ),xi µX ( )) 0x = với ∀ ∈x DX% và ∀X1e. Chúng ta có: Nếu X%1 và X%2 là không chồng chéo lên nhau, thì
2 1 min(µXe( ),xi µX ( )) 0x = và 2 1 min(µXe( ),xi µX ( ) 0x = với ∀ ∈x DX và ∀X1e.
Bốn thuộc tính sau đây được xem xét đối với phép đo độ tương tự tập mờ loại 2 khoảng:
1. Tính phản xạ: s X X( ,% %1 2) 1= ⇔ X%1=X%2. 2. Tính đối xứng: s X X( ,% %1 2)=s X X( %2, %1).
3. Tính bắc cầu: Nếu X%1≤X%2 ≤ X%3 thì s X X( ,% %1 2)≥s X X( %2, %1).
4. Tính chồng: Nếu X%1∩X%2 ≠ Φ thì s X X( ,% %1 2) 0> ; ngược lại s X X( ,% %1 2) 0= . Ta thấy ba tính chất đầu tiên là các tập mờ loại hai khoảng tương ứng được sử
dụng trong định nghĩa của Zadeh và Yager về các phép đo độ tương tự tập mờ loại một, ngoại trừ một định nghĩa khác về tính bắc cầu được sử dụng. Thuộc tính thứ tư về
loại một, vì vậy, nó được bao gồm ởđây như là thuộc tính mong muốn đối với phép đo
độ tương tự mờ loại hai khoảng.
Tồn tại một số vấn đềđối với những phép đo độ tương tự mờ loại hai
khoảng đã có. Mặc dù “có khoảng 50 biểu thức để xác định độ tương tự giữa 2 tập mờ loại một”, nhưng chỉ có sáu phép đo độ tương tự (tính tương thích) cho các tập mờ loại hai khoảng. Những hạn chế của năm trong số chúng được chỉ ra trong phần này (một ví dụ chứng minh trong những hạn chế có thểđược tìm thấy), và phép đo độ tương tự như thứ sáu (phép đo độ tương tự Jaccard) được giới thiệu trong phần kế tiếp.
2. Gorzalczany đã xác định 1 phép đo độ tương thích theo khoảng cho tập mờ loại hai khoảng; tuy nhiên, nó không phải là một phép đo độ tương tự tốt cho mục
đích của chúng ta bởi khi 1 2 max ( ) max ( ) X X X X x D µ x x D µ x ∈ = ∈ và 1 2 max ( ) max ( ) X X X X x D µ x x D µ x ∈ = ∈ (cả 2 có thể được thỏa mãn 1 cách dễ dàng bởi X%1 và 2
X% khi X%1≠ X%2), không có vấn đề về sự khác nhau giữa dạng của X%1 và X%2, nó luôn đưa ra biểu thức s X XG( ,% %1 2)=s X XG( %2, %1) [1,1]= , tức là không thỏa mãn tính
phản xạ.
3. Bustince xác định một phép đo độ tương tự theo khỏang cho X%1 và X%2 dựa trên tính bao hàm của X%1 trong X%2. Một vấn đề đặt ra với cách tiếp cận này đó là khi
1
X% và X%2 là rời nhau, sẽ không có vấn đề gì vềđộ xa của chúng với cái khác,
2( ,1 2)
X
s X X% % luôn là hằng số khác 0, tức là nó không thỏa mãn tính chồng.
4. Mitchell xác định phép đo độ tương tự giữa 2 tập mờ loại 2 khoảng là trung bình
độ tương tự giữa các tập mờ loại một nhúng, khi tập mờ loại một nhúng được tạo ra ngẫu nhiên. Theo đó, phép đo độ tương tự này không thỏa mãn tính phản xạ, tức là sM( ,X X% %1 2) 1≠ khi X%1= X%2 bởi vì tập mờ loại 1 nhúng được sinh ngẫu
5. Zeng và Li đã xác định một phép đo độ tương tự giữa X%1 và X%2 dựa trên sự khác nhau giữa chúng. Vấn đề đặt ra cho cách tiếp cận này là khi X%1 và X%2 rời nhau, độ tương tự là hằng số khác 0 hoặc tăng lên khi khoảng cách tăng, tức là nó không thỏa mãn tính chồng.
6. Wu và Mendel đề xuất một phép đo độ tương tự vector, xem xét độ tương tự
giữa hình trạng và độ xấp xỉ giữa 2 tập mờ loại hai khoảng một cách riêng biệt. Nó cũng không thỏa mãn tính chồng.