5. Tổ chức của luận văn
1.3.4.Quan điểm tiếp cận khái niệm giới hạn
Quan điểm
tiếp cận Thể chế dạy học toán ở THPT Thể chế dạy học toán ở ĐHSP Quan điểm Thể hiện qua : Thể hiện qua :
67
động học - Việc minh họa giới hạn dãy số trên trục số (hình ảnh các điểm biểu diễn các số hạng của dãy số chụm lại quanh điểm 0 khi n tăng lên)
- Các định nghĩa giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ dãy số
- Việc xây dựng và củng cố định nghĩa giới hạn của hàm số dựa vào quan sát đồ thị của hàm số trong SGK.C11
- Các nhiệm vụ thuộc nhóm 2 chiếm tỉ lệ rất thấp trong trong cả hai bộ SGK : 4.49% trong phần bài tập của bộ SGK.C11 và 0.55% trong phần bài tập của bộ SGK.N11
- Chứng minh một số mệnh đề dựa trên định nghĩa giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ dãy số trong GTGT
- Trong định nghĩa giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ dãy số trong THCC
Quan điểm xấp xỉ
Thể hiện qua :
- Định nghĩa giới hạn của dãy số theo mô tả.
- Các nhiệm vụ thuộc nhóm có kỹ thuật giải có bản chất giải tích chiếm 21.74% trong các ví dụ và 17.95% trong phần bài tập của bộ
Thể hiện qua :
- Định nghĩa giới hạn của dãy số theo ngôn ngữ ( )ε δ, .
- Định nghĩa giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ ( )ε δ, .
- Các chứng minh các định lý và mệnh đề về khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số dựa trên ngôn ngữ ( )ε δ, .
- Các nhiệm vụ thuộc nhóm có kỹ thuật giải có bản chất giải tích chiếm 43.55% trong phần bài tập của GTGT, các nhiệm
68
SGK.C11, 11.11% trong các ví dụ và 9.89% trong phần bài tập của bộ SGK.N11. Các nhiệm vụ thuộc nhóm này chỉ tập trung trong phần ví dụ và bài tập liên quan tới khái niệm giới hạn của dãy số, cụ thể là các kiểu nhiệm vụ : Chứng minh các tính chất của giới hạn dãy số, chứng minh n
n
lim x a
→∞ = .
vụ này chủ yếu tập trung trong phần ví dụ và bài tập liên quan tới khái niệm giới hạn của dãy số, cụ thể là các kiểu nhiệm vụ : Xét sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số ( )un , chứng minh dãy số ( )un có giới hạn là a, chứng minh các tính chất về giới hạn của dãy số và một số nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ « tính n
n
lim x
→∞ ».
- Các nhiệm vụ thuộc nhóm có kỹ thuật giải có bản chất giải tích chiếm 31.71% trong phần ví dụ và 21.28% trong phần bài tập của THCC. Kiểu nhiệm vụ « chứng minh lim f xx a ( ) α
→ = »
chỉ tồn tại trong phần ví dụ củng cố định nghĩa giới hạn của hàm số. Các nhiệm vụ còn lại thuộc nhóm này chỉ tập trung trong phần ví dụ và bài tập liên quan tới khái niệm giới hạn của dãy số, cụ thể là kiểu nhiệm vụ « xét sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số ( )un » và một số nhiệm vụ thuộc kiểu « tính n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n
lim x
→∞ »
Quan điểm đại số hóa
- Quan điểm đại số thể hiện trong thực hành tìm giới hạn nhờ vào
- Trong GTGT, quan điểm đại số hóa chỉ được thể hiện trong
69
các định lý và giới hạn cơ bản. Các nhiệm vụ thuộc loại 3 chiếm một vị trí gần như độc quyền trong cả hai bộ sách giáo khoa : 78.26% trong các ví dụ và 77.56% trong phần bài tập của bộ SGK.C11, 88,89% trong các ví dụ và 89,56% trong phần bài tập của bộ SGK.N11
các nhiệm vụ chỉ dùng đến phép toán đại số giới hạn (chiếm 56.45% trong phần bài tập), các nhiệm vụ này chủ yếu thuộc kiểu nhiệm vụ « tính
n n lim x →∞ » và « tính lim f xx a ( ) → ». - Trong THCC, các nhiệm vụ thuộc nhóm «chỉ dùng đến các phép toán đại số giới hạn » chiếm 68.29% trong phần ví dụ và 78.72% trong phần bài tập. Các nhiệm vụ này chủ yếu thuộc kiểu nhiệm vụ tính ( )
x a
lim f x
→ .
Ở bậc THPT, quan điểm đại số hóa chiếm ưu thế gần như tuyệt đối trong tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm giới hạn. Ở trường đại học Sư Phạm, Có sự phân vùng giữa hai quan điểm : Quan điểm đại số hóa và quan điểm xấp xỉ trong tổ chức kiến thức gắn với khái niệm giới hạn : Quan điểm xấp xỉ thể hiện trong phần lý thuyết và các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ : xét sự hội tụ của dãy số, chứng minh ( )
x a
lim f x L
→ = ; Quan điểm đại số hóa thể hiện trong các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ : tính nlim xn
→∞ và
tính lim f xx a ( )
→ .
Tóm lại, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn ở trường trung học phổ thông và trường đại học sư phạm đã trả lời các câu hỏi đã đặt ra Q2, Q3, đồng thời cho phép chúng tôi đặt ra các giả thuyết nghiên cứu sau :
Giả thuyết H1: Quan điểm xấp xỉ được đưa vào chương trình giải tích ở đại học sư phạm nhưng nó chỉ tồn tại ở vị trí của giáo viên, còn sinh viên không có trách nhiệm áp dụng kỹ thuật đặc trưng cho quan điểm này vào việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ
70
Giả thuyết H2: Định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ ( )ε δ,
không mang lại cho sinh viên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ.
Liệu các giả thuyết chúng tôi đặt ra có thỏa đáng trong thực tế dạy học? Việc nghiên cứu thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết trên và trả lời các câu hỏi nghiên cứu được đặt ra là nhiệm vụ chúng tôi phải làm trong chương 3.
71
CHƯƠNG 2 : THỰC NGHIỆM 2.1. Mục đích thực nghiệm
Trong chương này chúng tôi triển khai thực nghiệm cho phép nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của giảng viên và sinh viên về đối tượng giới hạn hàm số. Cụ thể, chúng tôi sẽ tiến hành đồng thời hai thực nghiệm (một đối với giảng viên và một đối với sinh viên) nhằm kiểm chứng các giả thuyết:
Giả thuyết H1 : Quan điểm xấp xỉ được đưa vào chương trình giải tích ở đại học sư (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
phạm nhưng nó chỉ tồn tại ở vị trí của giáo viên, còn sinh viên không có trách nhiệm áp dụng kỹ thuật đặc trưng cho quan điểm này vào việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ
liên quan tới khái niệm giới hạn của hàm số.
Giả thuyết H2: Định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ ( )ε δ,
không mang lại cho sinh viên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ.
2.2. Thực nghiệm trên giảng viên
2.2.1. Hình thức thực nghiệm
Giảng viên trả lời các câu hỏi trong phiếu thực nghiệm giảng viên. Thực nghiệm được tiến hành trên các giảng viên giải tích trường đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và trường đại học Tây Nguyên.
2.2.2. Phân tích bảng câu hỏi thực nghiệm giảng viên
Câu 1. Trong chương trình toán ở Trường Trung học phổ thông hiện nay, người ta tránh định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ xấp xỉ ( )ε δ, . Ngược lại, trong giáo trình đại học, khái niệm này lại được định nghĩa bằng ngôn ngữ ( )ε δ, . Vậy, theo Thầy (Cô),
- Vì sao có sự khác biệt này ?
- Mục đích của định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ( )ε δ, ở bậc đại học là gì?
Câu 2. Theo Thầy (Cô), việc dạy học nội dung Giải tích ở Trường phổ thông hiện nay tạo
thuận lợi gì và gây khó khăn nào cho việc học tập nội dung Giải tích của Sinh viên ở Trường Đại học Sư phạm? Vì sao ?
72
Câu 3. Theo Thầy (Cô), việc học khái niệm giới hạn của Sinh viên ở Trường Đại học Sư phạm có cần dùng đến các kiến thức giải tích đã học ở trường phổ thông không ? Nếu có, đó là những kiến thức nào?
Câu 4. Cho bài toán: tính
x 3 x e lim x →−∞ .
Sau đây là lời giải bài toán trên của của 04 Sinh viên Trường Đại học sư phạm:
Lời giải của Sinh viên thứ nhất: x x
3 3
x x x
e 1
lim lim e . lim 0.0 0
x x
→−∞ = →−∞ →−∞ = =
Lời giải của Sinh viên thứ hai: x x ( )
x 3
3 3 x 3
x x x x
e e 1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
lim lim lim 0 Vì lim e .x
x x e .x − →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ − = = = = +∞ −
Lời giải của Sinh viên thứ ba: Với x x
3 3 e 1 x 0 e 1 x x < ⇒ < ⇒ < . Mà x 3 3 x x 1 e lim 0 lim 0 x x →−∞ = ⇒ →−∞ =
Lời giải của Sinh viên thứ tư: ∀ >ε 0 chọn A 31
ε = Ta có: ∀ < −x A thì x 3 3 3 3 e 1 1 0 x x 1 ε ε − < < = x 3 x e lim 0 x →−∞ ⇒ =
Thầy (Cô) hãy đánh giá các lời giải trên bằng cách cho điểm và giải thích vào bảng sau:
Lời giải Điểm Giải thích vì sao Thầy (Cô) cho điểm như vậy
Của Sinh viên thứ
nhất
Của Sinh viên thứ
73 hai Của Sinh viên thứ ba Của Sinh viên thứ tư
Câu 5. Cho bài toán: tính
x 0 x 2 lim 1 sin 2 x → −
Khi dạy Chương giới hạn của hàm số ở Trường Đại học Sư phạm, Thầy (Cô) có ra bài tập dạng này cho Sinh viên không?
• Nếu không, Thầy (Cô) hãy giải thích vì sao.
• Nếu có, Thầy (Cô) hãy giải thích vì sao và cho lời giải mà Thầy Cô mong đợi từ Sinh viên của mình :
Phân tích chương 2 đã chỉ rõ sự tương đồng và khác biệt của mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn giữa cả hai thể chế : dạy học toán ở Trường THPT và ở Trường ĐHSP. SGK.C11 và SGK.N11 tránh định nghĩa các khái niệm giới hạn bằng ngôn ngữ ( )ε δ, , GTGT và THCC định nghĩa các khái niệm giới hạn bằng ngôn ngữ ( )ε δ, , ngôn ngữ này được sử dụng trong các chứng minh các tính chất về giới hạn của dãy số và hàm số. Thông qua câu hỏi 1, chúng tôi làm giảng viên bộc lộ được quan điểm về sự khác biệt này và mục đích của định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ( )ε δ, ở bậc đại học.
Thông qua câu hỏi 3, chúng tôi sẽ biết được những kiến thức về khái niệm giới hạn ở trường THPT mà giáo viên cho là cần thiết đối với đối với dạy học khái niệm giới hạn ở trường đại học sư phạm. Những thuận lợi và khó khăn của sinh viên trong quá trình nối tiếp
74
việc học khái niệm giới hạn giữa hai bậc học mà giảng viên giải tích đại học sư phạm ghi nhận được làm rõ trong câu hỏi 2.
Ngoài ra, phân tích chương 2 còn cho thấy các bài tập trong phần giới hạn của hàm số đều có kỹ thuật giải là kỹ thuật đại số. Trong thực tế, giáo viên có ra thực sự bị chi phối bởi ràng buộc này hay không. Câu hỏi 4 đặt ra cho giảng viên một tình huống phải nhận xét về các lời giải có kỹ thuật đại số và kỹ thuật xấp xỉ, qua đó phần nào có thể thấy được mong muốn của giảng viên về kỹ thuật (đại số hoặc xấp xỉ) đối với bài toán “tính lim ( )
x a f x
→ ”. Qua câu hỏi 5, chúng tôi muốn giảng viên bộc lộ quan điểm của mình về việc có đưa vào (hoặc không) một bài toán về khái niệm giới hạn của hàm số chỉ giải được bằng kỹ thuật xấp xỉ.
2.2.3. Phân tích các trả lời của giảng viên
Chúng tôi nhận được 3 phiếu trả lời : 1 giảng viên giải tích trường đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và 2 giảng viên giải tích trường đại học Tây Nguyên. Các giảng viên này là đều dạy giải tích dành cho sinh viên năm thứ nhất đại học sư phạm.
Câu 1 :
Câu trả lời của giảng viên đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh :
- Ở bậc phổ thông thì chưa cần sự chính xác.
- Dùng ngôn ngữ ( )ε δ, thì mới thực sự chính xác về định nghĩa. Câu trả lời của giảng viên thứ nhất đại học Tây Nguyên : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Bậc phổ thông : Xây dựng các định nghĩa mang tính trực quan (dựa trên đồ thị chẳng hạn), chủ yếu rèn luyện kỹ năng tính giới hạn cho học sinh.
- Bậc đại học : Mặc dù định nghĩa này có tính trừu tượng cao, nhưng đây lại là định nghĩa chính xác của khái niệm giới hạn.
Câu trả lời của giảng viên thứ 2 đại học Tây Nguyên :
- Thực tế các năm trước vẫn định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ
( )ε δ, , nhưng trong quá trình dạy học khái niệm này, người ta nhận thấy nó quá khó hiểu đối với học sinh phổ thông nên tìm cách tránh định nghĩa này.
- Từ ngôn ngữ ( )ε δ, và các bất đẳng thức có thể xây dựng được một cấu trúc các khái niệm, định lý của giải tích thực một cách logic và liên kết với nhau. Ngoài ra ngôn ngữ kí hiệu còn làm giảm những lập luận phức tạp trong toán học. Vì vậy, ở bậc đại học, nên định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số theo ngôn ngữ này.
75
Phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn ở trường THPT cho thấy khái niệm giới hạn được tránh định nghĩa bằng ngôn ngữ ( )ε δ, định nghĩa này quá trừu tượng đối với học sinh THPT, thể chế này tạo điều kiện thuận lợi cho quan điểm đại số về khái niệm giới hạn phát triển. Phân tích khoa học luận cho phép xác định : định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ( )ε δ, mang lại nghĩa chính xác của khái niệm này. Những câu trả của giảng viên phù hợp với những phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn và kết quả tổng hợp khoa học luận về khái niệm giới hạn mà chúng tôi đã phân tích trong chương trước.
Từ những câu trả lời ở trên, chúng tôi có thể tổng hợp các quan niệm của giảng viên đại học sư phạm về mục đích của định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số theo ngôn ngữ
( )ε δ, như sau :
- Chính xác hóa khái niệm giới hạn của hàm số.
- Tạo thuận lợi cho việc chứng minh các định lý giới hạn.
- Tạo được sự liên kết giữa các khái niệm trong giải tích. Câu 2 :
Câu trả lời của giảng viên đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh :
- Ở bậc đại học cần phải chính xác hóa khái niệm, vì vậy đây là sự nối tiếp, sự hoàn thiện. Thế nhưng nếu ở phổ thông quá chú trọng vào kỹ thuật, xảo thuật thì che lấp bản chất, làm cản trở sự chính xác hóa ở bậc đại học.
Câu trả lời của giảng viên thứ nhất đại học Tây Nguyên :
- Chuyển từ việc tính giới hạn dựa trên các quy tắc sang việc đánh giá bất đẳng thức, chọn số hạng trội, lập luận phức tạp… gặp nhiều khó khăn.
- Hình ảnh trực quan của khái niệm giới hạn hàm số ở bậc phổ thông cản trở sự nắm bắt khái niệm này của sinh viên ở bậc đại học.
Câu trả lời của giảng viên thứ hai đại học Tây Nguyên :
- Việc phát triển các kỹ thuật đại số ở THPT hạn chế nghĩa vụ phải nắm vững các kiến thức của sinh viên ở bậc đại học.
- Các khái niệm trong giải tích ở THPT ít liên kết với nhau và được mô tả bằng trực giác. Điều này làm sinh viên ít chú ý tới sự liên kết của các khái niệm này ở bậc đại học.
Cả ba giảng viên đều không nêu ra những thuận lợi mà chỉ bộc lộ quan điểm về những khó khăn mà sinh viên gặp phải khi học nội dung giải tích ở trường đại học sư phạm. Đó là việc định nghĩa các khái niệm dựa trên mô tả bằng trực giác và sự chú trọng vào các