5. Tổ chức của luận văn
1.2.1.Tiến trình, cơ chế và hình thức thể hiện
Khái niệm giới hạn được giới thiệu chủ yếu trong chương trình toán lớp 11, nằm trong chương IV: Giới Hạn. Chương này được giảng dạy trong 14 tiết với chương trình toán 11 ban cơ bản và 20 tiết với chương trình toán ban nâng cao.
Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan: Số thực → Dãy số
→ Giới hạn dãy số → Giới hạn hàm số → Hàm số liên tục → Đạo hàm → Tiệm cận. Tập hợp số thực được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán lớp 7, tập hợp số thực được hiểu là tập hợp các số có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn (số hữu tỉ) hoặc số thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ).
Trong SGK.C11 và SGK.N11, khái niệm giới hạn lấy cơ chế của một khái niệm toán trước, sau đó mới lấy cơ chế công cụ nghiên cứu các khái niệm: hàm số liên tục, đạo hàm, tiệm cận.
SGK.C11 và SGK.N11 trình bày định nghĩa giới hạn 0 của dãy số, sau đó mới định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số thông qua giới hạn 0. Lý do chọn lựa cách trình bày khái niệm như trên là:“Sách đã dành một tiết để giới thiệu dãy số có giới hạn 0. Cách trình bày này tuy có phần dài dòng nhưng nó giúp học sinh tiếp cận khái niệm giới hạn một cách thuận lợi hơn. Đối với những người mới làm quen với lí thuyết giới hạn, khái niệm giới hạn 0 dể hình dung hơn.”
38
Chương trình phân biệt hai khái niệm: giới hạn +∞ và giới hạn −∞. SGK.N11 trình bày hai khái niệm này độc lập với nhau. SGK.C11 trình bày khái niệm giới hạn +∞ của dãy số, sau đó định nghĩa giới hạn −∞của dãy số thông qua khái niệm giới hạn +∞. SGV.C11 giải thích về cách trình bày hai khái niệm trên như sau:“Khái niệm “Giới hạn +∞” có thể được đưa vào một cách tương tự như khái niệm “Giới hạn −∞”. Tuy nhiên để đơn giản và làm rõ mối quan hệ giữa hai khái niệm này, SGK đã định nghĩa giới hạn −∞ thông qua giới hạn +∞.”
[SGV.C11, tr128]
Trong SGK, khái niệm giới hạn 0 và giới hạn +∞ được định nghĩa tổng quát dưới dạng mô tả nhờ vào các ghi nhận trực giác số và trực giác hình học qua các hoạt động. Các SGK tuân thủ theo quy định của chương trình là: không dùng ngôn ngữ ε δ, để định nghĩa giới hạn của dãy số. Lý do của sự lựa chọn này được giải thích dựa trên nhận xét sau về định nghĩa giới hạn dãy số theo ngôn ngữ ε δ, : “Các SGK trong nước và nước ngoài trước đây đã giới thiệu định nghĩa này trong nhiều năm. Tuy nhiên qua giảng dạy, người ta thấy rằng định nghĩa này là quá khó đối với phần lớn học sinh ở cấp THPT dù rằng trước khi phát biểu định nghĩa, người ta đã cho nhiều ví dụ để chuẩn bị. Hiện nay hầu như trong tất cả các SGK Toán ở cấp THPT, các chữ ε và N đều không được nhắc đến nữa.”
“Để tránh những khó khăn cho học sinh khi sử dụng các định nghĩa theo ngôn ngữ
,
ε δ ” ([SGV.C11, tr123]), trong các SGK, giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và giới hạn một bên của hàm số đều được định nghĩa qua giới hạn của dãy số. Các định nghĩa còn lại của giới hạn hàm số có thể phát biểu tương tự các định nghĩa trên nhưng không được trình bày “vì lí do thời gian và tránh phức tạp hóa vấn đề”.
SGK.N11 và SGK.C11 đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm theo con đường quy nạp thông qua hoạt động “nghiên cứu mối quan hệ giữa sự biến thiên của đối số và biến thiên của các giá trị tương ứng của hàm số. Cụ thể, nghiên cứu xem nếu biến số x lấy những giá trị lập thành một dãy số dần tới a (hay ±∞) thì dãy số tương ứng của hàm số y=f x( ) thay đổi ra sao. Nói cách khác, khi x dần tới a (hay ±∞) thì f(x) thay đổi như thế nào?” [SGV.C11, tr132]. Khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực trong SGK.C11 được đưa định nghĩa thông qua một hoạt động quan sát đồ thị đơn giản. Các định nghĩa giới hạn hàm số còn lại đều được đưa vào thông qua con đường suy diễn.
39
Trong các định nghĩa giới của hàm số, trong hai bộ sách giáo khoa cơ bản và nâng cao, hàm số f(x) xác định trên khoảng K hoặc K \ x{ }0 . Trong đó khoảng K là một trong các khoảng sau: ( ) (a; b , −∞; b , a;) ( +∞) hoặc (−∞ +∞; ).
Khái niệm giới hạn là phương tiện để định nghĩa các khái niệm: hàm số liên tục tại một điểm, đạo hàm và tiệm cận.
« Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng K và x0∈K. Hàm số y= f x( ) được gọi là liên tục tại x0 nếu ( ) ( )0
0
lim =
→ f x f x
x x
» [SGK.CB, tr136]
« Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng (a b; ) và x0∈(a b; ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( ) ( )0 0 0 lim − − → f x f x x x
x x thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f x( )
tại điểm x0 và kí hiệu là f '( )x0 (hoặc y'( )x0 ) » [SGK.CB, tr148]
« Cho hàm số y= f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞),
(−∞; b) hoặc (−∞ ∞; + )). Đường thẳng y= y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn :
( ) 0 lim x f x y →+∞ = , lim ( ) 0 x f x y →−∞ = » [SGK.C12, tr28]
«Đường thẳng x=x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn :
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
lim ; lim ; lim ; lim
x x x x x x x x
f x f x f x f x
− + − +
→ = −∞ → = −∞ → = +∞ → = +∞ »[SGK.C12, tr29]
« Đường thẳng y=ax+b, a ≠0 được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y=f x( )nếu xlim f x( ( ) (ax b)) 0
→+∞ − + = hoặc
( ) ( )
( )
xlim f x ax b 0
→−∞ − + = » [SGK.N12, tr32]
40 hạn :
[SGK.C11, tr116]
Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm nảy sinh nhờ vào thao tác khái quát hóa giới hạn được vận dụng trong bài toán tính vận tốc tức thời : « Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os. Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t :
( )
s=s t . Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t » 0 [SGK.C11, tr147]
Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t−t0 là : ( ) ( )0 0
s t s t t t
−
− .
Khi t càng gần t0, tức là t−t0 càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác hơn
mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to. Giới hạn (nếu có) ( ) ( ) ( )
0 0 t t 0 s t s t lim 1 t t → − −
là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to. Như vậy, giới hạn dạng (1) là công cụ cho phép xác định vận tốc tức thời tại thời điểm to.
Giải quyết tương tự bài toán trên, giới hạn dạng ( ) ( )
0 0 t t 0 f t f t lim t t → − − cho phép xác định hệ số góc của tiếp tuyến, cường độ dòng điện tức thời.
Như vậy, tiến trình dạy học khái niệm giới hạn ở trường trung học phổ thông là : Đối tượng → công cụ. Khái niệm giới hạn hiện diện trước hết như là một khái niệm « tiền toán học », sau đó mới chuyển dần sang hình thức « toán học ». Khái niệm giới hạn là công cụ cho phép tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, vận tốc tức thời, hệ số góc tiếp tuyến và cường độ tức thời của dòng điện.