I. Tính toán gần đúng với MTBT trong dạy học toán ở bậc phổ thông
4. Nghiên cứu hoạt động dạy học tính toán gần đúng với PMGL
Nếu thực hiện tính gần đúng thông qua các số gần đúng nhận được từ các tính toán gần đúng trung gian thì độ chính xác ở các bước trung gian sẽ ảnh hưởng đến độ chính xác ở bước cuối cùng. Việc đánh giá độ chính xác của kết quả cuối cùng thông qua các độ chính xác trung gian là cần thiết nhưng thường rất khó thực hiện.
Nếu có thể, ta chỉ thực hiện tính toán gần đúng ở bước cuối cùng với MTBT (các tính toán gần đúng ở bậc phổ thông đều có thể thực hiện theo cách này). Nghĩa là thiết lập một quy trình hay một công thức tính toán trực tiếp kết quả và thay số vào bước cuối cùng. Quy trình này thường cho kết quả gần đúng từ màn hình MTBT với độ chính xác rất cao - tất cả các chữ số thập phân hiển thị đều là chữ số chắc chắn. Như vậy, chúng ta cần tích hợp vào dạy học toán các hoạt động đơn giản nhưng giúp học sinh nhận thấy sự ảnh hưởng của sai số do các phép tính trung gian và có ý thức thực hiện tính gần đúng một cách trực tiếp để giảm sai số.
4.1. Giới thiệu hoạt động
Hoạt động bao gồm 3 pha liên tiếp nhau và dự kiến diễn ra trong 40 phút xoay quanh bài toán :
Cho tam giác ABC vuông tại C, AC = 55,9808 cm; AB=57,9556cm. Trên AB lấy M sao
cho MA= 2
3 AB. N là điểm trên cạnh AC sao cho MN vuông góc với AC. Hãy tính độ dài MN (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
Mục tiêu của phần 1 là giúp học sinh đi đến hai kết luận :
1) Nếu thực hiện tính gần đúng thông qua các số gần đúng có được từ các tính toán trung gian thì độ chính xác ở các bước trung gian sẽ ảnh hưởng đến độ chính xác ở bước cuối cùng.
2) Muốn có độ chính xác tốt hơn, ta chỉ thực hiện tính toán gần đúng ở bước cuối cùng với MTBT. Nghĩa là thiết lập một quy trình hay một công thức tính toán trực tiếp kết quả và thay số vào bước cuối cùng.
4.2. Phân tích tiên nghiệm a. Những lựa chọn cho bài toán
So với bài toán đã thực nghiệm được giới thiệu trong mục liền trước, chúng tôi không yêu cầu học sinh tính BC, AN hay MA, đồng thời, chúng tôi lựa chọn trí của
M, N lần lượt trên AB, AC thuận lợi cho việc tính MN bằng cách sử dụng định lý Talet. Sự lựa chọn này nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính trực tiếp MN mà không sử dụng các kết quả gần đúng trung gian.
Những lựa chọn dữ kiện khác của bài toán này (như độ dài AC=55,9808 cm và AB=57,9556cmcùng với vị trí M trên AB sao cho MA=2
3AB) được chúng tôi tính toán nhằm tạo ra sự sai khác của kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân giữa việc sử dụng kết quả gần đúng trung gian để tính MN và việc tính trực tiếp MN bằng cách thiết lập công thức tính MN và thay số vào công thức để tính gần đúng một lần duy nhất với MTBT.
b. Pha 1: Tính gần đúng MN bằng PMGL
- Học sinh được yêu cầu giải bài toán bằng PMGL trong 10 phút.
- Giáo viên yêu cầu học sinh mở PMGL và lưu đúng “số thứ tự” của mình vào ô “Mã số học sinh” và lưu “Tính MN” vào ô “Nhiệm vụ”.
- Phát phiếu số 1 cho học sinh và nhắc học sinh ghi “số thứ tự” vào phiếu số 1. - Phiếu số 1 sẽ được thu lại khi chấm dứt hoạt động với mục đích để học sinh sử dụng khi làm việc nhóm trong pha 2).
Phiếu số 1
Các em mở phần mềm giả lập, lưu “số thứ tự” của mình vào ô “Mã số học
sinh” và lưu “Tính MN” vào ô “Nhiệm vụ”.
Các em vui lòng tiến hành giải bài toán sau đây một cách độc lập. Cảm ơn sự cộng tác của các em.
Cho tam giác ABC vuông tại C, AC = 55,9808 cm; AB=57,9556cm. Trên AB lấy M sao cho MA= 2
3 AB. N là điểm trên cạnh AC sao cho MN vuông góc với AC. Hãy tính độ dài MN (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy). ... ... ... ... ... ... ... ... Độ dài MN là
Các chiến lược có thể dự kiến
Với những lụa chọn cho bài toán chúng ta có thể dự kiến hai chiến lược sẽ được học sinh sử dụng như sau :
- Tính gần đúng thông qua các kết quả gần đúng trung gian
Học sinh thực hiện các tính toán gần đúng ở bước trung gian và sử dụng các kết quả gần đúng ở bước trung gian để tính MN.
N M
C A
B
Trong trường hợp này ta có thể dự kiến một số kết quả quan sát được như sau :
Kết quả 1 : tính 2
3
MN BC theo giá trị gần đúng của BC Kết quả từ màn hình MTBT 2 2 2 2 57,9556 55,9808 15, 0001 BC= AB −AC = − ≈ 2 10, 0001 3 MN = BC≈
Kết quả 2: tính MN AM2AN2 theo các giá trị gần đúng của AM và AN Kết quả từ màn hình MTBT AM=2 3AB= 2 357,9556≈38,6371; AN=2 3AC= 2 3.55,9808≈37,3205 MN= - AM2 AN2 ≈10,0003
- Chỉ tính gần đúng ở bước cuối cùng (không sử dụng các kết quả gần đúng trung gian)
Với sự lựa chọn của bài toán, chúng tôi hy vọng sự xuất chiến lược này vì sự thuận lợi khi sử dụng định lí Thales.
N M
C A
B
Nếu người học sử dụng chiến lược này thì ta có thể quan sát thấy kết quả như sau:
Kết quả 3 : tính 2 2 2 2 3 3 MN= BC= AB −AC Kết quả từ màn hình MTBT 2 2 2 2 2 2 2 57,9556 55,9808 10,0000 3 3 3 MN= BC= AB −AC = − ≈ Kết quả 4: Tính 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 3 3 MN = AM −AN = AB − AN Kết quả từ màn hình MTBT MN= 2 2 (2 57, 9556)2 (2 55, 9808)2 3 3 AM −AN = x − x ≈10,0000
Như vậy, nếu nhập đúng cú pháp thì chiến lược này sẽ cho kết quả chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy luôn là 10,0000.
Lợi ích của những lựa chọn cho bài toán
Chúng tôi dự kiến có thể tổ chức một sự đối chiếu giữa các kết quả khác nhau do các chiến lược khác nhau mang lại.
Chiến lược Tính gần đúng thông qua các kết quả gần đúng trung gian
Chỉ tính gần đúng ở bước cuối cùng
Kết quả quan sát được 10,0003 hay 10,0001 hay v.v. 10,0000
c. Pha 2 : Đánh giá hai chiến lược tính gần đúng
- Học sinh sẽ làm việc theo nhóm (mỗi nhóm 4 em) trong 15 phút.
- Giáo viên xem xét các tập tin lưu lịch sử bấm phím của học sinh để tìm hai lời giải theo hai chiến lược đã phân tích trong pha 1. Ta gọi nhóm nhóm lời giải theo chiến lược chỉ tính gần đúng ở bước cuối cùng là lời giải 1 và lời giải theo chiến lược tính gần đúng thông qua các kết quả gần đúng trung gian là lời giải 2. Trường hợp không có lời giải 1 thì giáo viên sẽ cung cấp dưới danh nghĩa “ đây là lời giải khác của một học sinh lớp khác”.
- Phát phiếu số 2 cho các nhóm và nhắc học sinh ghi “số thứ tự” của các thành viên nhóm vào phiếu số 2.
- Thu lại phiếu số 2.
Mã số các học sinh trong nhóm :………
Phiếu số 2
1. Hãy nêu nhận xét về lời giải 1 và lời giải 2
... ... ... ... ... ... ... ...
2. Nếu được phép giải lại bài toán này thì em sẽ chọn cách giải nào? Tại sao? ... ... ... ... ... ... ... ... ...
d. Pha 3 : Thể chế hoá các kiến thức về số gần đúng
- Lớp học sẽ làm việc tập thể trong 15 phút.
- Giáo viên xem xét phiếu số 2. Khi đó, có 2 trường hợp có thể xảy ra:
− Trường hợp 1: Có nhóm nhận ra sai số của các số gần đúng trung gian ảnh hưởng tới kết quả tính toán có sử dụng các số gần đúng trung gian đó và giải thích rõ ràng. Giáo viên yêu cầu nhóm đó trình bày.
− Trường hợp 2: Không có nhóm nhận ra sai số của các số gần đúng trung gian ảnh hưởng tới kết quả tính toán có sử dụng các số gần đúng trung gian đó thì giáo viên phải tự trình bày sự kiện này.
Khi đó, giáo viên sẽ dẫn dắt để học sinh rút ra được kết luận:
1. Kết quả tính toán ở bước cuối cùng bị ảnh hưởng bởi các kết quả gần đúng trung gian.
2. Kết quả gần đúng sẽ chính xác hơn nếu ta thiết lập một công thức tính trực tiếp với dữ kiện của bài toán và chỉ nên sử dụng MTBT để tính toán ở bước cuối cùng. Khi đó, ta quy tròn kết quả thu được từ màn hình MTBT đến hàng nào thì kết quả sẽ chính xác23đến hàng đó.
4.2.2. Phân tích hậu nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành với 20 học sinh lớp 12 của trường THCS và THPT Đinh Thiện Lý, quận 7, TP HCM đã học xong phần “số gần đúng” và “giải tam giác” vào tháng 12 năm 2011.
Giáo viên thực hiện hoạt động là cô Nguyễn Thị Bích Hoa. Ở thời điểm thực nghiệm, cô Hoa là giáo viên trường Đinh Thiện Lý và đồng thời là học viên cao học chuyên ngành Lí luận và phương pháp giảng dạy Toán của Đại học Sư phạm TP HCM.
Trong pha 2 giáo viên đã phân lớp thành 5 nhóm và mỗi nhóm có 4 học sinh.
a. Pha 1: Tính gần đúng MN bằng PMGL
Mặc dù chúng tôi đã lựa chọn những yếu tố của bài toán nhằm tạo điều kiện cho việc không sử dụng số gần đúng trung gian để tính MN, tuy nhiên dưới sự ảnh hưởng của cách trình bày của các SGK về đối tượng số gần đúng (nhất là những
23Theo nghĩa mội chữ số trong kết quả gần đúng đều là chữ số chắc chắn (có sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10-n, với n là số chữ số thập phân sau dấu phẩy).
mong muốn của thể chế thể hiện trong phần bài tập đã làm rõ ở phần trên) khiến cho chiến lược này vẫn được đa số học sinh sử dụng.
- Chúng tôi ghi nhận 18 (trên 20) học sinh sử dụng chiến lược tính gần đúng thông qua các kết quả gần đúng trung gian. Chẳng hạn :
- Cũng phù hợp với mong đợi của chúng tôi 2 (trên 20) học sinh sử dụng chiến lược chỉ tính gần đúng ở bước cuối cùng (không sử dụng các kết quả gần đúng trung gian). Chẳng hạn :
Lợi ích của PMGL
- Chức năng lưu lại lịch sử bấm phím của PMGL cho phép chúng tôi quan sát những kết quả khác (chưa dự kiến được trong phân tích tiên nghiệm) của chiến lược tính gần đúng thông qua các kết quả gần đúng trung gian. Chẳng hạn :
Học sinh mã số 27 đã tính MN MA BC AB
thông qua giá trị gần đúng với 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy của BC≈15,0001 và AM≈38,6371. Như vậy nhà nghiên cứu sẽ biết rõ lí do tại sao có kết quả gần đúng của MN là 10,0001. Trong trường hợp này ta có thể bổ sung vào phân tích tiên nghiệm.
- Nếu không có PMGL chúng tôi sẽ khó xác định học sinh đã sử dụng chiến lược nào. Bởi vì cũng dưới sự ảnh hưởng của các SGK một số học sinh không để ý đến yêu cầu lấy 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy và mặc dù sử dụng chiến lược tính gần đúng thông qua các kết quả gần đúng trung gian họ vẫn cho kết quả MN ≈ 10. Chẳng hạn :
Học sinh mã số 21 đã tính
3 / 2
BC
MN với giá trị gần đúng của BC là 15 do cắt từ kết quả 15,00005342 hiển thị trên màn hình MTBT.
- Chúng tôi còn phát hiện sự sử dụng phím nhớ Ans ở một số học sinh. Mặc dù loại phím nhớ này không được giới thiệu chính thức trong các sách giáo khoa bậc trung học hiện hành (chúng tôi sẽ làm rõ vấn đề này trong nghiên cứu trình bày ở phần tiếp theo).
Thật thú vị khi phân tích lời giải này của học sinh mã số 01 mà chắc chắn chúng ta sẽ không nhìn thấy được dựa vào các vết tích trên phiếu số 1 của em. Tiến trình tính toán của học sinh như sau :
Tính gần đúng BC2
= AB2 – AC2. Bằng cách sử dụng phím nhớ Ans24, học sinh đã tính gần đúng BC thông qua Ans, nghĩ là tính gần đúng BC với phép khai căn từ giá trị gần đúng của BC2gồm 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy25
. Nhờ vậy mà BC có độ chính xác cao như khi tính trực tiếp BC ở học sinh mã số 21 (15,00005342). Tuy nhiên học sinh đã cắt số của kết quả gần đúng BC và sử dụng MN khi tính
MA BC MN
AB
. Cũng như học sinh mã số 21, học sinh mã số 27 lại tính được kết quả là 10.
b. Pha 2 : Đánh giá hai chiến lược tính gần đúng
Trong tình huống thực nghiệm giáo viên đã yêu cầu :
- Học sinh mã số 03 lên trình bày lời giải 1theo chiến lược chỉ tính gần đúng ở bước cuối cùng.
24Phím nhớ này lưu lại kết quả tính toán cuối cùng vừa được thực hiện thành công.
25Tham khảo Lê Thái Bảo Thiên Trung (2010) : tuy máy tính CASIO fx570MS chỉ hiển thị tối đa 10 chữ số thập phân (tính cả trước và sau dấu phẩy ) nhưng nó luôn tính toán với 11 chữ số thập phân (có một chữ số thập phân cuối cùng không hiển thị trên màn hình).
Trong tính toán của học sinh 21, kết quả hiển thị trên màn hình là 225,0016027 chỉ có 7 chữ số thập phân sau dấu phẩy. Nhưng khi học sinh gọi phím nhớ Ans, kết quả gần đúng được sử dụng trong tính toán tiếp theo là 225,00160272 gồm 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy (bạn đọc có thể kiểm tra bằng cách lấy Ans trừ cho 225,0016027 sẽ thấy chữ số 2.10-8
- Học sinh mã số 27 lên trình bày lời giải 2 theo chiến lược tính gần đúng thông qua các kết quả gần đúng trung gian.
Kết quả phân tích phiếu số 2 cho thấy 4 (trên 5) nhóm chọn lời giải 1 (chúng tôi đặt tên 4 nhóm này là : nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3 và nhóm 4). Chỉ có 1 (trên 5) nhóm chọn lời giải 2 (chúng tôi đặt tên nhóm này là : nhóm 5). Chẳng hạn sau đây là lựa chọn của nhóm 1 lựa chọn lời giải 1 - chỉ tính gần đúng ở bước cuối cùng
- Sau đây là sản phẩm của nhóm 5 chọn lời giải 2, lời giải 2 theo chiến lược tính gần đúng thông qua các kết quả gần đúng trung gian.
Lời giải thích của các nhóm mang đến khá ít thông tin nên giáo viên đã quyết định phỏng vấn một số nhóm trong pha thể chế hoá.
c. Pha 3 : Thể chế hoá các kiến thức về số gần đúng
Có một sự lưỡng lự trong sự lựa chọn của nhóm 4 chọn lời giải 1. Nhóm này được giáo viên yêu cầu trình bày đầu tiên.
GV: giữa hai cách này theo con thì cách nào chính xác hơn?
HS 27: Vấn đề là con chọn cách 1 nhưng cách 2 không phải là cách giải khác mà chỉ là cách bấm máy khác thôi chứ không phải là cách giải bài toán khác.
GV: Thì cách bấm máy khác nhưng theo con thì cách nào tốt hơn? HS 27: con nghĩ trình bày thì cách thứ nhất
GV: Cô đang quan tâm tới kết quả! HS27: Kết quả thì con chọn cách 2.
(H27 là học sinh mã số 27 người đại diện cho nhóm 3)
Các nhóm khác đưa ra những biện hộ để thuyết phục nhóm 3. Khi giáo viên yêu cầu các nhóm còn lại nhận xét về nhận định của nhóm 3.
HS3 (nhóm 1): Thưa cô, nếu mà chọn kết quả thì con chọn cách 1 vì cách giải của bạn Tú (HS27) đã làm tròn ở bước tính BC, có nghĩa là kết quả của bạn đã qua một lần làm tròn. Như vậy, kết quả của bạn so với cách 1 không chính xác bằng.
HS9 (nhóm 2): Thưa cô, em nghĩ là lời giải 1 đầy đủ và ...người ta...bạn...đáp án bạn để cuối cùng bạn mới thế số vào nên số nó sẽ chính xác hơn cách giải 2.
HS23 (nhóm 3): Dạ, em sẽ chọn lời giải 1 vì lời giải 1 có kết quả đúng hơn, lời giải 1