Bộ lọc shock dùng để giảm nhiễu và tăng cường sự chênh lệch tín hiệu ở các điểm có bước nhảy về cường độ (hình 3.12). Phương trình của bộ lọc shock nguyên thuỷ [12] là:
x
l x x
I I F I (3.1)
trong đó F thoả mãn F 0 0, F s .sign s 0. Điều kiện khởi tạo I(x, 0) = I0(x) và điều kiện biên Neumann. Chọn F s sign(s) chúng ta có phương trình bộ lọc shock kinh điển:
x x
t x x
I sign I I (3.2)
Trong trường hợp 2D shock filter được tổng quát hoá thành:
t
I sign I I (3.3)
I là đạo hàm bậc hai của tín hiệu I theo hướng , là hướng của gradient. Nhược điểm của bộ lọc shock kinh điển là khuếch đại nhiễu.
a) b)
a) Đầu vào biên bước đã qua làm mờ; b) Sau khi qua thực hiện bộ lọc shock
d) shock ép các nhánh tín hiệu của I tạo biên nét hơn
c) Tín hiệu I và các đạo hàm
a) b) c)
Hình 3.13. Ảnh hưởng của nhiễu đến bộ lọc shock
a) Tín hiệu vào có nhiễu b), c) Shock khuếch đại cả nhiễu
Bộ lọc shock dùng để tăng cường biên ảnh sau giảm nhiễu vì nó có nhược điểm là nhạy cảm với nhiễu. Để khắc phục các nhược điểm này đã có nhiều cải tiến bộ lọc shock kinh điển bằng cách ghép shock với quá trình khuếch tán hoặc kết hợp thêm vào các hệ số điều chỉnh. Đã có một số cải tiến tiêu biểu từ bộ lọc shock của Osher và Rudin đến nay (1990-2009).
• Bộ lọc shock của Alvarez và Mazorra (1994) [14]
*
t
I sign G I I cI
(3.4)
Điểm cơ bản trong nghiên cứu về bộ lọc shock này là họ đã ghép quá trình shock và khuếch tán bằng cách thêm vào phương trình bộ lọc shock một số hạng khuếch tán tuyến tính: Số hạng thứ nhất của (3.4) là shock, số hạng thứ hai là quá trình khuếch tán với hệ số dẫn không đổi c 0. là hướng vuông góc với gradient I. Trong số hạng thứ nhất G *I thực hiện phép chập cuộnI với lõi Gauss G có tác dụng làm giảm ảnh hưởng của nhiễu trong quá trình thực hiện. Số hạng thứ hai thực hiện giảm nhiễu dọc theo các biên (gradient cắt ngang qua biên, khuếch tán theo hướng vuông góc gradient tức là dọc theo biên).
• Bộ lọc shock của Kornprobst [12]
0 * 1 * *
t f t r e
I I I h G I I I h G I sign G I I (3.5)
Trong đó: h X 1nếu X < τ và X = 0 nếu khác đi. Giá trị τ được Kornprobst chọn trong khoảng 0..14. Ba thành phần của phương trình (3.5) làm các chức năng cập nhật sơ khai, giảm nhiễu, tăng cường biên với các hệ số ảnh hưởng tương ứng là
, , .
f r e Tập các hệ số này được chọn: ví dụ f, r, e 0,1, 0 ,hoặc
, , 0, 0,1 ....
• Bộ lọc shock của Coulon và Arridge [13] Bộ lọc này dựa trên cơ sở hàm xác suất:
1 * ( )
t
I c sign G I I div c I (3.6)
Trong đó: 2
exp * / ,
c G I k hướng của gradient, là đạo hàm bậc hai theo hướng này. Trong (3.6) số hạng thứ nhất thực hiện shock làm nét các biên (edge), số hạng thứ hai thực hiện khuếch tán giảm nhiễu. Giá trị 1 c ngăn cản thực hiện shock với các đối tượng nhiễu, giá trị α càng cao thì càng ngăn cản mạnh.
• Bộ lọc shock của Chen Guan-nan, Yang Kun-tao, Chen Rong và Xie Zhi-ming [8] (2008) Nhằm tăng cường chất lượng giảm nhiễu và giảm thời gian thực hiện các tác giả đã thực hiện một số cải tiến bộ lọc shock nguyên thủy như thay tín hiệu “mềm” của bộ lọc shock nguyên thủy với hàm tang hypecbol F s thx s và thêm vào thành phần hệ số chính xác trung thực 2 I0 It . Phương trình có dạng:
2 0
x
t t
I th I I I I (3.7)
λ1, λ2 là một hằng số dương đơn điệu giảm theo thay đổi của gradient, α là một tham số điều khiển thêm vào để có thể thay đổi độ lớn của đạo hàm bậc hai. Phương trình này so với các phương trình đã dẫn ra ở trên là nó không thực hiện phép tích chập giữa bộ lọc Gauss với đạo hàm bậc hai hoặc gradient của tín hiệu nên đã giảm được khối lượng tính toán lớn.
Bộ lọc shock phức của Gillboa (2001) [23]
Phương trình shock filter 2D tổng quát khi θ nhỏ là:
~ 2 arctan( I ) t I I I I I I (3.8)
trong đó ε là hướng vuông góc với gradient, α là một tham số điều khiển thêm vào để có thể thay đổi độ lớn của đạo hàm bậc hai, , ,~
2 2 là số thực và , . j I re I là thành phần phức của (.). 2 2 ~ ~ ~ 2 2 , arctan , / , , , , n I n n n n n X Y t i j i j i j i j i j i j D I aI I D I D I D I D I (3.8a)
trong đó D~ {X,Y} là xấp xỉ bậc nhất đối xứng theo hướng x và hướng y được định nghĩa bởi hàm minmod, D là đạo hàm xấp xỉ theo hướng gradient và D là đạo hàm xấp xỉ theo hướng vuông góc với gradient. Các số hạng 2
DX và DY 2và thực hiện hàm minmod. Quy ước điểm ảnh Iij và láng giềng của nó như hình 3.3
I (i-1j-1) I(i-1,j) I(i-1,j+1) I(i,j-1) I(i,j) I(i,j+1)
I(ij-1) I(i+1,j) I(i+1,j+1)
Hình 3.14. Sơ đồ quy ước các phần tử điểm ảnh
I có thể được tính theo hàm minmod của các đạo hàm thành phần Imxvà Ipx,Imy,Ipy
như sau:
Imx(i,j) = I(i,j)-I(i-1,j) và Ipx = I(i+1,j)-I(i,j) Imy(i,j) = I(i,j)-I(i,j-1) và Ipy = I(i,j+1)-I(i,j). Trong (3.8a):
Dx = minmod (Imx, Ipx); (3.8b) Dy = minmod (Imy, Ipy) (3.8c) Với:
minmod (Imx, Ipx) = min(|Imx |,| Ipx |) nếu (Imx ).( Ipx) > 0
minmod (Imx, Ipx) = 0 nếu (Imx ).( Ipx) ≤ 0 và (3.9) minmod ((Imx, Ipx) = min(|Imx |,| Ipx |) nếu (Imx ).( Ipx) > 0
minmod (Imy,Ipy) = 0 nếu (Imy ).(Ipy) ≤ 0
Việc thực hiện bộ lọc shock phức cho phép quá trình có tính kháng nhiễu mạnh và giữ được các thông tin có kích thước nhỏ.