Phương pháp, cách giải hệ phương trình vi phân có hệ số là hằng số bằng phép biến đổi Laplace hoàn toàn tương tự với cách giải ở phương trình vi phân có hệ số là hằng số (ở mục 3.1.1.2).
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
với điều kiện ban đầu: ; . Giải:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 80 Ta có:
Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của hệ là:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
với điều kiện ban đầu: ; . Giải:
Giả sử:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 81 Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của
hệ là:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
với điều kiện ban đầu: ; ; . Giải:
Giả sử:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 82 Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của
hệ là:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
với điều kiện ban đầu: ; ; ; . Giải:
Giả sử:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 83 Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của
hệ là:
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau
với điều kiện ban đầu: ; . Giải:
Giả sử:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 84 Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của
hệ là:
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình vi phân sau
với điều kiện ban đầu: ; ; . Giải:
Giả sử:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 85 Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của
hệ là:
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau
với điều kiện ban đầu: ; ; ; . Giải:
Giả sử:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 86 Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của
hệ là:
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau
với điều kiện ban đầu: ; . Giải:
Giả sử:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 87 Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của
hệ là:
Ví dụ 9: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân sau
Giải:
Để có nghiệm tổng quát ta giả sử: ; và
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 88 Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của
hệ là:
trong đó , là các hằng số.
Ví dụ 10: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân sau
Giải:
Để có nghiệm tổng quát ta giả sử: ; và
Ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 89 Ta có:
Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của hệ là:
trong đó , là các hằng số.
Ví dụ 11: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân
Giải:
Để có nghiệm tổng quát ta giả sử: ; và
Ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 90 đặt:
Thay vào hệ trên ta được nghiệm tổng quát cần tìm là:
trong đó , là các hằng số.
Ví dụ 12: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân sau
Giải:
Ta giả sử: ; ; và đặt
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 91 Đặt:
Thay vào hệ trên ta được:
Lấy phép biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta được nghiệm tổng quát của hệ là:
trong đó , , là các hằng số.
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 92 Giải:
Ta giả sử: ; ; và đặt
Khi đó ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 93 Thay vào hệ trên ta được:
Lấy phép biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta được nghiệm tổng quát của hệ là:
trong đó , , là các hằng số. Ví dụ 14: Tìm nghiệm tổng quát của hệ
Giải:
Ta giả sử: ; ; và đặt
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 94 Đặt:
Thay vào hệ trên ta được:
Lấy phép biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta được nghiệm tổng quát của hệ là:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 95 trong đó , , là các hằng số.
Ví dụ 15: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân phi tuyến sau
Giải:
Ta giả sử: ; và
Ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 96 Khi đó:
Lấy phép biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta được nghiệm tổng quát của hệ là:
trong đó , là các hằng số.
Ví dụ 16: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân phi tuyến sau
Giải:
Ta giả sử: ; và
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 97 Lấy phép biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta được
nghiệm tổng quát của hệ là:
Đặt:
Khi đó nghiệm của hệ là:
3.2: ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG VÀ TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TỔNG CỦA CHUỖI