Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 58
3.1.1.1. Bài toán:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân:
với ; , và thoả mãn điều kiện ban đầu:
; ;…;
3.1.1.2.Các bước giải:
Bước 1: Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình đã cho thu được phương trình theo với ; là hàm cần tìm. Sử dụng công thức đạo hàm của gốc:
Nhờ tính tuyến tính của biến đổi Laplace ta thay vào và tìm được .
Bước 2: Giải phương trình tìm Y(p)
Bước 3: Lấy biến đổi Laplace ngược tìm y(t):
3.1.1.3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân với điều kiện ban đầu: . Giải:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 59 Bước 2
Bước 3:
.
Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu: ; . Giải:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 60 Vậy:
Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu: ; . Giải:
Ta dùng phương pháp đại số để phân tích vế phải thành tổng các phân thức đơn giản:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 61 Ví dụ 4: Giải phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu: . Giải:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 62 Tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:
Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu: ; ; ; . Giải:
Ta có là một hàm gốc nên
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 63 là nghiệm cần tìm.
Ví dụ 6: Giải phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu: ; ; . Giải:
Ta dùng phương pháp đại số để phân tích vế phải thành tổng các phân thức đơn giản:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 64 Vậy nghiệm cần tìm là:
Ví dụ 7: Giải phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu: . Giải:
Tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 65 Vậy là nghiệm cần tìm.
Ví dụ 8: Tìm nghiệm phương trình vi phân
thoả mãn điều kiện ban đầu: ; ; . Giải:
Dùng phương pháp đại số phân tích vế phải thành tổng các phân thức đơn giản ta được:
Tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 66 Ví dụ 9: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
Giải:
Giả sử: ; . Ta có:
Tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 67 Ví dụ 10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Giải:
Giả sử ; . Ta có:
Tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:
Ta được nghiệm tổng quát:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 68 Giải:
Giả sử ; . Ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 69 là nghiệm cần tìm.
3.1.2.Ứng dụng giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang
3.1.2.1. Hàm bậc thang Heaviside 3.1.2.1.1. Định nghĩa
a) gọi là hàm bậc thang Heaviside, cũng được gọi là hàm bậc thang đơn vị, hàm bậc thang này nhận giá trị 0 khi đối số âm và nhận giá trị 1 khi đối số dương.
b) Hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside: Cho số thực ta có:
Nếu thì đồ thị của sẽ được tịnh tiến qua phải (trái) 1 đơn vị so với đồ thị của .
c) Hàm khoảng được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside:
Thật vậy: 1)
1
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 70 2)
3)
Hàm Heaviside , hàm tịnh tiến và hà khoảng thường được sử dụng để mô tả hàm liên tục từng khúc.
Vậy:
Ví dụ: Mô tả hàm sau sử dụng hàm bậc thang Heaviside
Giải:
Từ là hàm khả vi từng khúc trên khoảng và . Vậy:
3.1.2.1.2. Biến đổi Laplace thuận của hàm Heaviside
a) Biến đổi Laplace của hàm Heaviside: +)
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 71
+) Có: và nên
b) Biến đổi Laplace của hàm tịnh tiến Heaviside: +)
Chứng minh:
nên ta đổi biến
ta được :
Ví dụ 1: Biến đổi Laplace của hàm sau:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 72 Ta có:
Kết quả này giống với kết quả mà ta nhận được trong Ví dụ 4 mục 2.1.2 trong Chương II bằng cách sử dụng định nghĩa phép biến đổi Laplace.
Ví dụ 2: Với hàm
Ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 73
3.1.2.1.3. Biến đổi Laplace ngược của hàm Heaviside
Cho hàm liên tục từng đoạn và thì:
3.1.2.2. Ứng dụng giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang
Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân
với
với điều kiện ban đầu: . Giải:
+ Ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 74 + Dùng phép biến đổi Laplace ngược ta có:
Suy ra:
Vậy nghiệm phương trình là:
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân với
và điều kiện ban đầu: ; . Giải:
+
+ Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình đã cho ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 75 + Dùng biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh
ta có:
Do đó:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình vi phân
với điều kiện ban đầu: . Giải:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 76 + Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình vi phân đã cho:
+ Dùng biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 77 Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân sau
với Giải:
+
+ Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình đã cho:
Giả sử ; . Ta có:
+ Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 78 Suy ra
khi đó ta có nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân sau với
Giải: + Có:
+ Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình vi phân đã cho ta có:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 79 Giả sử ; . Ta có:
+ Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:
ta được nghiệm của phương trình là: