có chỉ số tăng lần lượt là và . Giả sử khi đó cũng là hàm gốc với chỉ số tăng
Chứng minh: Dễ thấy:
+ trơn từng khúc trên nửa trục thực + ( khi
+ Có:
Vậy suy ra ( là gốc với chỉ số tăng Ta thấy:
Trong định lý trên ta đã rút ra công thức Mellin từ giả thiết là biến đổi Laplace của một hàm gốc nào đó. Vấn đề đặt ra là phải thỏa mãn điều kiện
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 46 gì để có thể là biến đổi Laplace của một hàm gốc nào đó.Ta có định lý dưới đây.
2.2.2.3. Định lý 3
Cho hàm thỏa mãn các điều kiện sau: 1) giải tích trong miền
2) Khi trong miền thì hàm tiến về 0 đều theo .
3) Với mọi có:
Khi đó hàm xác định trên là biến đổi Laplace của hàm f định bởi:
Định lý dưới đây cho phép ta tìm hàm gốc của một hàm chính quy tại vô cực.
2.2.2.4. Định lý 4
Giả sử , nếu tại lân cận điểm tức là tại những giá trị mà với là số dương khá lớn, hàm ảnh khai triển được thành chuỗi Laurent sau đây:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 47 do đó định lý trên cũng có nghĩa là:
Ví dụ 1: Tìm hàm thỏa mãn định bởi:
Giải:
Trước hết ta khai triển hàm thành chuỗi Laurent trong lân cận của .
Theo định lý 4 ta sẽ có:
Ví dụ 2: Tìm hàm gốc của các hàm sau:
Giải:
Khi học về chuỗi Laurent ta đã biết khai triển thành chuỗi Laurent của các hàm:
Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 48 Sử dụng định lý 4 ta chỉ cần khai triển các hàm đã cho thành chuỗi Laurent trong lân cận điểm rồi áp dụng công thức (2.2.3).