6. Bố cục luận án
2.3.2.1.Thuật toán đưa hệ về dạng tam giác
Thuật toán chặt mô hình theo thuật toán 2.3.1 (modal truncation) có nhược điểm là việc chuyển đổi ma trận A của hệ về dạng đường chéo có độ phức tạp tính toán cao, đặc biệt là khi bậc của hệ gốc lớn. Do đó, để giảm độ phức tạp của thuật toán, tác giả đề xuất đưa ma trận A của hệ (1.1) về dạng ma trận tam giác trên thay vì đưa về dạng đường chéo. Quá trình chuyển đổi này sẽ thu được các tính chất tương tự như quá trình đường chéo hóa là:
(i) Ma trận truyền G( )s có thể phân tích thành dạng tương tự như (2.8), (ii) Các điểm cực trội sẽ được định nghĩa như trong tài liệu [67],
(iii) Công thức tính chặn trên của sai số có dạng tương tự như (2.10). Nội dung cụ thể của thuật toán như sau:
Giả sử rằng hệ thống tuyến tính tham số bất biến theo thời gian trong (1.1) là hệ ổn định tiệm cận và ở dạng tối thiểu A B C, , .
Thuật toán 2.3.2. Thuật toán đưa hệ về dạng tam giác Đầu vào: Hệ gốc A B C, , được mô tả như (1.1)
Bước 1: Phân tích Schur của ma trận A: T
A UΔU , trong đó U là ma trận unitary và Δ là ma trận tam giác trên.
Bước 2: Tính Gramian quan sát Q từ phương trình Lyapunov sau:
T 0
ΔQ QΔ CU CU (2.11)
Bước 3: Phân tích Cholesky của T
:
Q Q R R, trong đó R là ma trận tam giác trên.
Bước 4: Tính ma trận không suy biến 1
Bước 5 : Tính 1 1 , , , ,
A B C T AT T B CT . Đầu ra: Hệ tương đương A B C, , .
Định nghĩa 1: Hệ thống tương đương A B C, , trong Thuật toán 2.3.2 được
gọi là quá trình tam giác hóa.
Lý do để A B C, , được gọi là quá trình tam giác hóa là do ma trận A
có dạng ma trận tam giác trên, điều này được chứng minh trong bổ đề sau:
Bổ đề 1. Hệ thống tương đương A B C, , trong Thuật toán 2.3.2 có các tính
chất sau:
(a) Ma trận A có dạng tam giác trên,
(b) Gramian quan sát Q , là nghiệm của phương trình Lyapunov sau:
T T 0, A Q QA C C (2.12) là ma trận đơn vị. Chứng minh bổ đề 1:
(a) Đầu tiên, ta chứng minh A có dạng tam giác trên. Ta có:
1 T -1 T -1 1 . A T AT RU A UR R U AU R RΔR
Do đó A là tích của ba ma trận tam giác trên suy ra A có dạng ma trận tam giác
trên.
(b) Tiếp theo, ta chứng minh Gramian quan sát mới Q là ma trận đơn vị. Thực
tế, từ hai phương trình Lyapunov (2.11) và (2.12) ta có:
T -1 T T -1 . Q R QR R R R R I