1. Vẽ 5 điểm phõn biệt A, B, C, D, E, sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, ba điểm B, C, D thẳng hàng, ba điểm B, C, E khụng thẳng hàng.
a. Căn cứ vào kiến thức nào mà ta cú thể làm được như vậy ?
b. Giải thớch vỡ sao bốn điểm A, B, C, D cựng thuộc một đường thẳng ?
c. Vẽ cỏc đường thẳng, mỗi đường thằng đi qua ớt nhất 2 điểm trong 5 điểm núi trờn. Cú bao nhiờu đường thẳng trong hỡnh vẽ ? (cỏc đường thẳng trựng nhau chỉ kể một đường thẳng)
Giải:
a. Xột hai điểm B và C.
Theo tiờn đề (sự xỏc định đường thẳng), cú một và chỉ một đường thẳng BC. Theo tiờn đề (vị trớ của điểm và đường thẳng), tồn tại điểm A thuộc đường thẳng BC, tồn tại điểm D thuộc đường thẳng BC, tồn tại điểm E thuộc đường thẳng BC.
b. Bốn điểm A, B, C, D cựng thuộc đường thẳng BC.
c. Cú 5 đường thẳng, đú là cỏc đường thẳng AD, EA, EB, EC, ED ( Đường thẳng AD đại diện cho cỏc đường thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD).
………
2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Vẽ cỏc đường thẳng đi qua từng cặp 2 điểm. Cú thể cú bao nhiờu đường thẳng trong hỡnh vẽ? (cỏc đường thẳng trựng nhau chỉ kể là một đường thẳng).
Giải:
a. Nếu cả 5 điểm thẳng hàng thỡ cú một đường thẳng.
b. Nếu chỉ cú 4 điểm thẳng hàng thỡ cú 5 đường thẳng (Vớ dụ 1). c. Nếu chỉ cú ba điểm thẳng hàng thỡ cú 8 đường thẳng (hỡnh a).
Hình b Hình a
B
A C D
d. Nếu khụng cú ba điểm nào thẳng hàng thỡ ta cú lập luận như sau:
Chọn một điểm, nối điểm đú với 4 điểm cũn lại, ta được 4 đường thẳng. Làm như vậy với 5 điểm ta được 4. 5 đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đó được tớnh 2 lần, do đú tất cả chỉ cú
4.5
10 (đ ờng thẳng)
2 = . (hỡnh b).
……….
3. Cho 10 điểm, trong đú khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi tất cả cú bao nhiờu đường thẳng. Nếu thay 10 điểm bởi n điểm thỡ số đường thẳng là bao nhiờu?
Giải:
Chọn một điểm, nối điểm đú với 9 điểm cũn lại ta được 9 đường thẳng. Làm như vậy với 10 điểm, ta được 10.9 đường thẳng, nhưng như vậy mỗi đường thẳng được tớnh 2 lần, do đú chỉ cú tất cả 10.9
45 (đ ờng thẳng). 2 =
Vậy nếu thay 10 điểm bởi n điểm thỡ ta sẽ cú n.(n - 1)
(đ ờng thẳng). 2
………..
4. Điểm C nằm giữa hai điểm A và B, điểm D nằm giữa hai điểm A và C. Bằng lập luận, hóy chứng tỏ rằng điểm C nằm giữa hai điểm D và B. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giải:
Ta sẽ chứng tỏ rằng cỏc tia CD và CB là đối nhau.
Thật vậy: C nằm giữa A và B nờn cỏc tia CA và CB đối nhau (1). D nằm giữa A và C nờn cỏc tia CA và CD trựng nhau (2).
Từ (1) và (2) suy ra cỏc tia CB và CD đối nhau. Vậy C nằm giữa D và B.
……….
5. Điểm C nằm giữa hai điểm A và B, điểm M nằm giữa hai điểm A và C, điểm N nằm giữa hai điểm C và B.
a. Tia CM trựng với tia nào? Tại sao? b. Tia CN trựng với tia nào? Tại sao?
c. Dựng lập luận để chứng tỏ rằng hai tia CM và CN đối nhau. Giải:
a. Tia CM trựng tia CA vỡ M nằm giữa A và C. b. Tia CN trựng với tia CB vỡ N nằm giữa C và B.
c. Cỏc tia CM, CA trựng nhau, cỏc tia CN, CB trựng nhau. Mà cỏc tia CA, CB đối nhau (vỡ C nằm giữa A và B). Suy ra cỏc tia CM, CN đối nhau.
...
6. Cho đường thẳng a và hai điểm A, B thuộc cựng một nửa mặt phẳng bờ a và khụng thuộc a.
a. Giải thớch vỡ sao đường thẳng a khụng cắt đoạn thẳng AB?
b. Vẽ điểm C khụng thuộc a sao cho đường thẳng a cắt đoạn thẳng AC. Giải thớch vỡ sao đường thẳng a cắt đoạn thẳng BC?
Giải:
a. Đường thẳng a khụng cắt đoạn thẳng AB vỡ hai điểm A, B thuộc cựng một nửa mặt phẳng bờ a và khụng thuộc a
b. Đường thẳng a cắt đoạn thẳng AC (A và C khụng thuộc a) nờn A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a, mà A và B thuộc cựng một nửa mặt phẳng bờ a, nờn B và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a
(B và C khụng thuộc a). Do đú đường thẳng a cắt đoạn thẳng BC. ……….
7. Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B, điểm O nằm ngoài đường thẳng AB. Trong cỏc tia OA, OB, OC, tia nào nằm giữa hai tia cũn lại, tia nào khụng nằm giữa hai tia cũn lại? Giải thớch tại sao?
Giải:
Tia Oy cắt đoạn thẳng AB (A, B khụng trựng O) tại điểm C nằm giữa A và B. Do đú tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
Tia Ox khụng cắt đoạn thẳng BC nờn tia Ox khụng nằm giữa hai tia Oy, Oz. Tương t ự, tia Oz khụng nằm giữa hai tia Ox, Oy.
………..
8. Cho tia Oc nằm giữa hai tia Oa, Ob khụng đối nhau, tia Om nằm giữa hai tia Oa và Oc, tia On nằm giữa hai tia Oc và Ob. Chứng tỏ rằng tia Oc nằm giữa hai tia Om và On.
Giải:
Lấy cỏc điểm A và B khụng trựng O sao cho A thuộc tia Oa , B
CA B A B a C O B A z y x C M N B a m c n
thuộc tia Ob. Tia Oc nằm giữa hai tia Oa, Ob nờn cắt đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Cũng vậy, tia Om cắt đoạn AC tại điểm M nằm giữa A và C, tia On cắt đoạn CB tại N nằm giữa C và B. Tia Oc cắt đoạn MN tạ C nằm giữa M và N nờn tia Oc nằm giữa hai tia Om và On.
………
9. Cho hai tia Oa, Ob khụng đối nhau. Lấy cỏc điểm A và B khụng trựng O sao cho A thuộc tia Oa, B thuộc tia Ob. Gọi C là điểm nằm giữa A và B. Gọi M là điểm khụng trựng O thuộc tia đối của tia OC. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a. Tia OM cú cắt đoạn AB khụng? Vỡ sao? b. Tia OB cú cắt đoạn AM khụng? Vỡ sao? c. Tia OA cú cắt đoạn BM khụng? Vỡ sao?
d. Trong ba tia OA, OB, OM cú tia nào nằm giữa hai tia cũn lại khụng? Giải:
a. Tia OM khụng cắt đoạn AB. Vỡ đường thẳng OM cắt đoạn AB tại C nhưng C khụng thuộc tia OM.
b. Tia OB khụng cắt đoạn AM. Vỡ tia OB và đoạn thẳng AM thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ MC. Cỏc điểm của chỳng thuộc bờ chung là O và M lại khụng trựng nhau. Do đú tia OB khụng cắt đoạn thẳng AM.
c. Giải thớch tương tự ta cũng cú tia OA khụng cắt đoạn BM.
d. Từ cỏc cõu a, b, c ta suy ra trong ba tia OA, OB, OM khụng cú tia nào nằm giữa hai tia cũn lại.
...
10. Cho tam giỏc ABC. Đường thẳng a khụng đi qua cỏc đỉnh của tam giỏc và cắt cạnh BC của tam giỏc ấy. Chứng tỏ rằng đường a cắt một và chỉ một trong hai cạnh AB, AC.
Giải: B O A a M C A B C a A B C a
Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng: một nửa mặt phẳng chứa B, nửa mặt phẳng kia chứa C.
Điểm A khụng nằm trờn a thuộc một trong hai nửa mặt phẳng trờn . Nếu A thuộc nửa mặt phẳng chứa B thỡ đường thẳng a khụng cắt đoạn thẳng AB (vỡ A và B thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ a), cắt đoạn thẳng AC (vỡ A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ a).
Tương tự ta cũng cú: Nếu A thuộc nửa mặt phẳng chứa C thỡ đường thẳng a khụng cắt cạnh AC, mà cắt cạnh AB.
Vậy đường thẳng a cắt một và chỉ một trong hai cạnh AB, AC.
Ta cú định lý (định lý Pỏp – nhà toỏn học cổ Hi Lạp thế kỷ III): Nếu một đường thẳng khụng đi qua cỏc đỉnh của tam giỏc và cắt một cạnh của tam giỏc ấy thỡ nú cắt một và chỉ một trong hai cạnh cũn lại.
...
11. Cho tam giỏc ABC, điểm D nằm giữa A và C, điểm E nằm giữa A và B. Chứng tỏ rằng:
a. Tia BD cắt đoạn thẳng CE.
b. Cỏc đoạn thẳng BD và CE cắt nhau. Giải:
a. Tia BD cắt đoạn AC tại D nằm giữa A và C nờn tia BD nằm giữa hai tia BA, BC. Do đú tia BD cắt đoạn thẳng CE.
b. Từ cõu a suy ra đưởng thẳng BD cắt đoạn thẳng CE. Gọi giao điểm duy nhất của chỳng là M, như vậy M cũng là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE (1). Lập luận tương tự, đường thẳng CE cắt đoạn thẳng BD. Gọi giao điểm duy nhất của chỳng
là N, như vậy N cũng là giao điểm của hai đường thẳng CE và BD (2). BD và CE là hai đường thẳng phõn biệt nờn từ (1) và (2) suy ra M trựng với N.. Ta cú M thuộc cả hai đoạn thẳng CE và BD, hai đoạn thẳng này lại khụng cựng thuộc một đường thẳng, do đú chỳng cắt nhau.
...
12. Trờn đường thẳng a lấy cỏc điểm A, B, C sao cho AB = 4 cm, BC = 1cm. Tớnh độ dài AC.
Giải:
Điểm C khụng xỏc định duy nhất trờn đường thẳng a. Do đú ta phải xột hai trường hợp: a. C thuộc tia đối của tia BA.(H.1)
Khi đú B nằm giữa A và C nờn: AC = AB + BC = 4 + 1 = 5 (cm). A B C E D H.1 a A B C
b. C thuộc tia BA. (hỡnh 2)
Khi đú C nằm giữa B và A (vỡ BC < BA),
do đú : AB = AC + CB => 4 = AC + 1 => AC = 4 – 1 = 3 (cm). ……….
13. Cho ba điểm A, B, C trờn mặt phẳng. Biết rằng AB = 2 cm, AC = 3 cm, BC = 4 cm. Chứng tỏ rằng: a. A khụng nằm giữa B và C. b. B khụng nằm giữa A và C. c. C khụng nằm giữa A và B. d. Ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng. Giải: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a. Giả sử A nằm giữa B và C, ta cú BA + AC = BC, tức là 2 + 3 = 4, điều này vụ lý. Vậy A khụng nằm giữa B và C.
b. Giả sử B nằm giữa A và C, ta cú AB + BC = AC, tức là 2 + 4 = 3, điều này vụ lý. Vậy B khụng nằm giữa A và C.
c. Giả sử C nằm giữa A và B, ta cú AC + CB = AB, tức là 3 + 4 = 2, điều này vụ lý. Vậy C khụng nằm giữa A và B.
d. Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng thỡ phải cú một điểm nằm giữa hai điểm cũn lại, như vậy trỏi với cỏc kết quả ở trờn. Vậy ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng.
………
14. Điểm B nằm giữa hai điểm A và C sao cho AC = 5 cm, BC = 3 cm. a. Tớnh AB. b. Trờn tia đối của tia BA, lấy điểm D sao cho BD = 5 cm. Giải thớch vỡ sao cỏc tia BD, BC trựng nhau. c. Chứng tỏ AB = CD. Giải: a. B nằm giữa A và C nờn: AB + BC = AC => AB + 3 = 5 => AB = 2 (cm). b. B nằm giữa A và C nờn
cỏc tia BA, BC đối nhau. Theo đề bài cỏc tia BA, BD đối nhau, vậy cỏc tia BD, BC trựng nhau. c. C và D thuộc cựng một tia gốc B và BC < BD nờn C nằm giữa B và D, do đú BC + CD = BD => 3 + CD = 5 => CD = 2 (cm). Vậy AB = CD.
...
15. Cho gúc xOy khỏc gúc bẹt. Giải thớch vỡ sao xOy 180ã < 0. Giải:
Vẽ tia Oz là tia đối của tia Ox (hỡnh vẽ) Thỡ tia Oz khụng trựng tia Oy. Cỏc gúc xOy và yOz kề bự nờn xOy yOz 180ã + ã = 0.
D
A B C
O x
z y
Vỡ yOz 0 nên xOy 180ã > 0 ã < 0
...
16. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Ox, vẽ cỏc tia Oy, Oz khụng thuộc bờ của nửa mặt phẳng. Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox. Lấy A, B, C là cỏc điểm khụng trựng O theo thứ tự thuộc cỏc tia Ox, Oz, Ox’.
a. Giải thớch vỡ sao đường thẳng Oy cắt một và chỉ một trong hai cạnh BA, BC cư tam giỏc ABC ?
b. Giải thớch vỡ sao Oy cắt một và chỉ một trong hai đoạn thẳng BA, BC?
c. Cho biết xOy xOzã < ã , giải thớch vỡ sao tia Oy khụng thể cắt đoạn thẳng BC, vỡ sao tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz?
Giải:
a. Đường thẳng Oy khụng đi qua cỏc đỉnh của tam giỏc ABC và cắt cạnh AC nờncắt một và chỉ một trong hai cạnh BA, BC (Định lý Pỏp).
b. Tia đối của tia Oy khụng thể cắt cỏc đoạn thẳng BA, BC, mà đường thẳng Oy cắt một và chỉ một trong hai đoạn thẳng ấy.
c. Giả sử tia Oy cắt cạnh BC thỡ tia Oy nằm giữa hai tia Ox’ và Oz nờn
ã ã ã
x Oy yOz x Oz.′ + = ′ Do đú x Oy x Oz,ã′ < ã′
ã ã ã ã
0 0
suy ra 180 −x Oy 180 - x Oz, tức là xOy xOz, ái với đề bài.′ > ′ > tr
Tia Oy cắt một trong hai đoạn thẳng BA, BC (cõu b) mà tia Oy khụng cắt đoạn thẳng BC nờn tia Oy căt đoạn thẳng BA, suy ra tia Oy nằm giữa hai tia ế và Oz. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
...
17. Cho hai gúc kề nhau xOy, xOz mà xOy xOz 180ã + ã = 0.
a. Gọi Oy’ là tia đối của tia Oy. Chứng tỏ rằng cỏc tia Oy’ và Oz trựng nhau. b. Hai tia Oy và Oz cú vị trớ như thế nào đối với nhau?
Giải: a. Cỏc tia Oz, Oy’ thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Ox (1) Cỏc gúc xOy, xOy’ kề bự nờn:
ã 0 ã
xOy′ =180 − xOy,
mà xOz 180ã = 0 −xOyã (theo đề bài). Suy ra xOyã ′ =xOz (2).ã
Chứng tỏ Oy’ và Oz trựng nhau. y' O z x y C B A x x' z
b.Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Ox, ta cú cỏc tia Oz và Oy’ mà
ã ã
xOy =xOz′ nờn cỏc tia Oz và Oy’ trựng nhau. Vậy Oy và Oz là hai tia đối nhau. ...
18. Cho tam giỏc ABC cú Â = 800. Điểm D nằm giữa B và C sao cho BAD 20ã = 0. Trờn nửa mặt phẳng chứa B cú bờ AC, vẽ tia Ax sao cho CAx 25ã = 0, tia này cắt CB ở E.
a. Chứng tỏ rằng E nằm giữa D và C. b. Tớnh DAEã ?
Giải:
a. D nằm giữa B và C nờn tia AD nằm giữa hai tia AB, AC. nờn:BAD DAC BACã + ã = ã
=> 200 +DAC 80ã = 0 ⇒ DAC 60ã = 0. Trờn cựng nửa mặt phẳng cú bờ AC, ta cú cỏc tia AE,
AD mà CAE CAD nên tia AE nằm giữa hai tiaã < ã AC, AD. Do đú E nằm giữa D và C. b. DAE 60ã = 0 −250 =350.
...
19. Trờn tia Ax lấy cỏc đểm B và C sao cho AB = 8 cm, AC = 3 cm.
a. O là điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết rằng
ã 0 ã 0 ã
AOC 40 , COB 50 . Tính AOB= = ?
b. Trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 4 cm. Tớnh EB ? Giải:
a. C, B thuộc tia Ax mà AC < AB nờn C nằm giữa A và B, do đú:
ã ã ã 0 0 0
AOB AOC COB 40= + = +50 =90
b. C nằm giữa A và B nờn cỏc tia AC, AB trựng nhau, mà cỏc tia AC, AE đối nhau, nờn cỏc tia AB, AE đối nhau.
Vậy A nằm giữa E và B. Do đú: EB = EA + AB = 4 + 8 = 12 (cm) A B A x E C B C A x E D