- Công thức tính: V𝝈= 𝜹
Chương 7: Dãy số biến động theo thời gian Câu 1: Nêu ý nghĩa, đặc điểm dãy số biến động theo thời gian
1. Khái niệm
- Dãy số biến động theo thời gian là dãy các trị số của chỉ tiêu thống kê được sắp xếp theo thứ tự thời gian
- Ví dụ: Có tài liệu về tình hình sản xuất lương thực tại tỉnh X như sau
Năm 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Sản lượng (tấn) 4000 4500 4800 5500 6000 7000
2. Đặc điểm:
- DSBĐTTG có 2 thành phần: thời gian và chỉ tiêu thống kê + Thời gian: ngày, tháng, quý, năm…
độ dài giữa hai thời gian liền nhau gọi là khoảng cách thời gian + Chỉ tiêu thống kê: Thường là các trị số cụ thể
Biểu diễn dạng mức độ: số tuyệt đối, số tương đối, bình quân
+ Khi thời gian thay đổi thì: Trị số của chỉ tiêu thống kê thường thay đổi theo Nội dung của chỉ tiêu ổn định trong một thời gian dài 3. Ý nghĩa:
- Cho phép nghiên cứu xu thế biến động của hiện tượng - Nghiên cứu đặc điểm biến động của hiện tượng
- Được dùng để dự đoán mức độ của hiện tượng trong tương lai
4. Phân loại theo đặc điểm thời gian trong dãy số: Dãy số thời điểm và Dãy số thời kỳ
- Dãy số thời kỳ là dãy số phản ánh mặt lượng của hiện tượng kinh tế xã hội qua những thời kỳ nhất định. Đối với dãy số thời kỳ, các mức độ chỉ số có thể cộng lại với nhau, thời kỳ càng dài trị số càng lớn
- Dãy số thời điểm là dãy số phản ánh mặt lượng của hiện tượng qua các thời điểm nhất định. Các trị số trong dãy số thời điểm không cộng trực tiếp được với nhau vì không có ý nghĩa kinh tế thực tiễn
5. Yêu cầu xây dựng
- Nội dung, phương pháp, đơn vị tính toán, phạm vi tính của các chỉ tiêu trong dãy số trước và sau phải thống nhất
- Khoảng cách thời gian giữa các mức độ trong dãy số nên cố gắng bằng hoặc gần bằng nhau (nhất là dãy số thời kỳ)
Câu 2: Nêu nội, dung công, thức điều kiện áp dụng của chỉ tiêu tính mức độ bình quân theo thời gian. Lấy ví dụ minh họa
1. Mức độ bình quân theo thời gian là mức độ đại biểu của các mức độ trong dãy số biến động theo thời gian. Nó phản ánh mức độ điển hình về một chỉ tiêu kinh tế xã hội trong một thời trong một giai đoạn nhất định
2. Công thức:
a. Đối với dãy số thời kỳ (tính theo phương pháp số bình quân cộng giản đơn)
𝒀̅=𝒀𝟏+𝒀𝟐+⋯+𝒀𝒏
𝒏 =∑ 𝒀𝒏
𝒏 Trong đó: 𝑌̅: mức độ bình quân theo thời gian n: số mức độ tham gia bình quân Yi: các mức độ của dãy số
-Ví dụ: Tình hình sản xuất của 1 doanh nghiệp các năm như sau:
Năm 2009 2010 2011 2012
Yêu cầu: Tính giá trị sản xuất bình quân giai đoạn 2009- 2012
𝑌̅=∑ 𝑌𝑛𝑛 =70+80+85+1004 = 83,75(𝑡ỷ đ)
b. Đối với dãy số thời điểm
TH1: Dãy số thời điểm có khoảng cách thời gian đều nhau
Giả định: giữa các thời điểm, sự biến động về mức độ xảy ra từ từ, tăng giảm dần đều đặn Như vậy, chỉ số bình quân giữa hai thời điểm là đại biểu của thời gian có hai thời điểm đó. Với giả thiết ấy, ta đã biến một dãy số thời điểm thành một dãy số thời kỳ
- Công thức: 𝒀̅= 𝒀𝟏 𝟐+𝒀𝟐+⋯+𝒀(𝒏−𝟏)+𝒀𝒏 𝟐 𝒏−𝟏 = 𝒀𝟏+𝒀𝒏 𝟐 + ∑𝒏−𝟏𝒊=𝟐𝒀𝒊 𝒏−𝟏
Trong đó: n: tổng các mức độ trong dãy số thời điểm
n-1: số khoảng cách thời gian giữa các mức độ trong dãy số thời điểm Yi: mức độ thứ i trong dãy số (i=1, 𝑛̅̅̅̅̅)
- Có thể coi đây là dạng đặc biệt của số bình quân gia quyền trong đó quyền số của mức độ đầu và cuối đều = 0,5 các quyền số của mức độ còn lại =1
TH2: Dãy số thời điểm có khoảng cách thời gian không đều nhau ( tính theo phương pháp số bình quân cộng gia quyền)
- Công thức: 𝒀̅=𝒀𝟏.𝒕𝟏+𝒀𝟐.𝒕𝟐+⋯+𝒀𝒏.𝒕𝒏.
𝒕𝟏+𝒕𝟐+⋯+𝒕𝒏 =∑ 𝒀𝒊.𝒕𝒊∑ 𝒕𝒊
Trong đó: Yi: lượng biến có trong khoảng thời gian ti ti: khoảng cách thời gian có lượng biến Yi
- Ví dụ 1: Tài liệu về giá trị hàng tồn kho của một doanh nghiệp trong 6 tháng đầu năm 2014 Ngày 01/01 01/02 01/03 01/04 01/05 01/06 01/07
GTHTK (trđ) 60.2 75,8 73,2 68 75,6 77 80,5
Yêu cầu: xác định giá trị hàng tồn kho bình quân 6 tháng đầu 2014 của doanh nghiệp
𝒀̅= 𝒀𝟏+𝒀𝒏 𝟐 + ∑𝒏−𝟏𝒊=𝟐𝒀𝒊 𝒏−𝟏 = 𝟔𝟎,𝟐+𝟖𝟎,𝟓 𝟐 +𝟕𝟓,𝟖+𝟕𝟑,𝟐+𝟔𝟖+𝟕𝟓,𝟔+𝟕𝟕 𝟕−𝟏 = 73,325 (𝑡𝑟đ)
- Ví dụ 2: Tình hình có số công nhân tại một doanh nghiệp như sau + Ngày 1/1 doanh nghiệp có 600 công nhân
+ 9/1 nhận thêm 300 công nhân + 18/1 nhận thêm 20 công nhân + 26/1 cho thôi việc 5 công nhân
Từ 26/1 đến cuối tháng số công nhân không thay đổi
𝒀̅=∑ 𝒀𝒊.𝒕𝒊∑ 𝒕𝒊 =𝟔𝟎𝟎.𝟖+𝟔𝟑𝟎.𝟗+𝟔𝟓𝟎.𝟖+𝟔𝟒𝟓.𝟔𝟑𝟏 = 630 (𝐶𝑁)
Câu 3: Phân tích nội dung, bản chất, điều kiện áp dụng công thức:
𝑌̅ = 𝑌1 2 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌𝑛 − 1 + 𝑌𝑛 2 𝑛 − 1 1. Nội dung
- Đây là công thức tính mức độ bình quân theo thời gian đối với dãy số thời điểm có khoảng cách thời gian đều nhau. Các trị số của dãy số thời điểm không thể cộng trực tiếp với nhau vì con số cộng không có ý nghĩa kinh tế thực tiễn
-Giả định giưã các thời điểm, biến động về mức độ xảy ra từ từ và phát triển theo chiều hướng tăng hoặc giảm dần đều đặn
Như vậy, trị số bình quân giữa 2 thời điểm là đại biểu của thời gian có 2 thời điểm đó - Với giả thiết này, ta đã biến một dãy số thời điểm thành một dãy số thời kì
2. Bản chất: 𝑌̅ = 𝑌1̅̅̅̅ + 𝑌2̅̅̅̅ + ⋯ + 𝑌̅(𝑛 − 1) 𝑛 − 1 Trong đó: 𝑌̅ =𝑌𝑖+𝑌(𝑖+1)2 => 𝑌̅ = 𝑌1+𝑌2 2 +𝑌2+𝑌3 2 +⋯+𝑌(𝑛−1)+𝑌𝑛 2 𝑛−1 = 𝑌1 2+𝑌2+⋯+𝑌𝑛−1+𝑌𝑛 2 𝑛−1
- Đây là công thức bình quân theo thứ tự thời gian. Có thể coi đây là dạng đặc biệt của công thức số bình quân cộng gia quyền, trong đó quyền số của mức độ đầu và cuối đều là f1=fn=0,5 còn các quyền số của các mức độ còn lại là f2=f3=…=f(n-1)
3. Điều kiện áp dụng:
- Nội dung, phương pháp, đơn vị tính của các chỉ tiêu trong dãy số trước và sau phải nhất thiết bằng nhau
- Khoảng cách thời gian giữa các mức độ phải bằng nhau hoặc gần bằng nhau
- Giả định rằng trị số bính quân giữa hai thời điểm là đại biểu của thời gian có 2 thời điểm đó 4. Ví dụ: Có tài liệu công nhân của doanh nghiệp các ngày đầu tháng 1, 2, 3, 4, năm 2014
Ngày 1/1 1/2 1/3 1/4
Số CN (ng) 520 500 480 540
Ta thấy các mức độ tại các thời điểm thời gian tương đối đồng đều. Do vậy, có thể cho rằng mức độ tại các thời điểm chưa biết trong chuỗi thời gian có thay đổi tương đối đều đặn
Coi đầu tháng sau là cuối tháng trước, ta có:
Số công nhân bình quân của một ngày trong mỗi tháng 1, 2, 3 là:
𝑌1 ̅̅̅̅=𝑌1+𝑌2 2 =520+500 2 = 510 (𝑛𝑔) 𝑌2 ̅̅̅̅=𝑌2+𝑌3 2 =500+480 2 = 490 (𝑛𝑔) 𝑌3 ̅̅̅̅=𝑌3+𝑌42 =480+540 2 = 510 (𝑛𝑔)
=> Số công nhân quý 1 năm 2014:
𝑌̅ = 𝑌1̅̅̅̅ + 𝑌2̅̅̅̅ + 𝑌3̅̅̅̅ 3 = 510 + 490 + 510 3 = 503,33 Hoặc: 𝑌̅ = 𝑌1+𝑌4 2 +𝑌2+𝑌3 4−1 = 520+540 2 +500+480 3 = 503,33
Câu 4: So sánh điểm giống và khác nhau giữa các công thức:
(1) 𝑡̅ =𝑛−1√𝜋𝑡𝑖 (2) 𝑡̅ = √𝑌𝑛 𝑌1 𝑛−1 (3) 𝑡̅ = √𝑌𝑛 𝑌𝑜 𝑛
1. Các công thức (1), (2), (3) gọi là công thức tính tốc độ phát triển bình quân của dãy số biến động theo thời gian
Trong đó: 𝑡̅ : tốc độ phát triển bình quân (mức độ đại biểu của các tốc độ phát triển liên hoàn) ti: tốc độ phát triển liên hoàn
Yn: mức độ cuối cùng của dãy số biến động theo thời gian
Y1: mức độ đầu tiên của dãy số biến động theo thời gian (các ký hiệu từ 1->n) n: số mức độ của dãy số (khi đánh số Yi từ Y1->Yn)
n-1: số khoảng thời gian trong dãy số tuyệt đối số tốc độ phát triển liên hoàn tham gia bình quân
Yo: mức độ đầu tiên của dãy số (nếu các Yi kí hiệu theo t từ 0->n) 2. Giống nhau:
- Đều là công thức tính tốc độ phát triển bình quân để đánh giá mức độ biến hình của tốc độ phát triển với sự biến động của một hiện tượng
- Nếu điều kiện tài liệu cho phép sử dụng cả 3 công thức này trong bài toán đều cho kết quả như nhau
- Bản chất của 3 công thức là số bình quân nhân 3. Khác nhau:
a. Về hình thức: (1) t̅= √∏n ti i=2 n-1 (2) 𝑡̅ = √𝑌𝑛 𝑌1 𝑛−1 (3) 𝑡̅ = √𝑌𝑛 𝑌𝑜 𝑛 b. Điều kiện áp dụng:
(1) khi đề bài cho biết các tốc độ phát triển liên hoàn ti ( 𝑖 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅ ) và ti tương đối đều đặn (2) cho biết số các tốc độ phát triển liên hoàn và mức độ Yn, Y1 (đầu tiên và cuối cùng) (3) cho biết số mức độ của dãy số (n) và mức độ Yo, Yn (đầu tiên và cuối cùng)
c. Vai trò:
(1) Không thể dự báo mức độ phát triển trong tương lai nếu không có y1
(2), (3) có thể dùng để dự báo mức độ phát triển trong tương lai của hiện tượng Công thức ngoại suy theo dãy số thời gian Yn=Yo.𝑡̅𝑛
Yn=Y1 .𝑡̅𝑛−1
4. Ví dụ: có tình hình sản xuất của một doanh nghiệp như sau
Năm 2004 2005 2006 2007 2008
GTSX (tỷ đ) (yi) 35 38 40 42 46 Tốc độ pt liên hoàn
(ti)
_ 1,086 1,053 1,05 1,095
Yêu cầu: tính tốc độ phát triển bình quân về giá trị sản xuất 2004 - 2008
Dự đoán giá trị sản xuất 2010 của doanh nghiệp 𝑡̅ = √𝑌𝑛 𝑌𝑜 𝑛 = √46 35 4 = 1,071 Dự đoán GTSX 2010: Y6=Y2010=Yo.𝑡̅6= 35. 1,0716= 52,82 𝑡ỷ đ
Câu 5: Các chỉ tiêu phân tích dãy số thời gian và ý nghĩa. Mối liên hệ giữa chúng
1. Mức độ bình quân theo thời gian
Mức độ bình quân theo thời gian phản ánh mức độ điển hình về một chỉ tiêu kinh tế xã hội trong một giai đoạn nhất định
- Với dãy số tuyệt đối thời kỳ =>𝑌̅ =∑ 𝑌𝑖
𝑛 trong đó: Yi: các mức độ của dãy số n: số mức độ tham gia bình quân - Với dãy số tuyệt đối thời điểm khoảng cách đều nhau:
𝑌̅ =
𝑌1+𝑌𝑛
2 +∑𝑛−1𝑖=2𝑌𝑖
𝑛−1 trong đó: Yi: các mức độ trong dãy số
- Với dãy số tuyệt đối thời điểm khoảng cách không đều nhau:
𝑌̅ =∑ 𝑌𝑖.𝑡𝑖∑ 𝑡𝑖 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó: 𝑌𝑖: lượng biến trong thời gian ti ti: khoảng thời gian có lượng biến Yi 2. Lượng tăng giảm tuyệt đối
- là chỉ tiêu đánh giá sự thay đổi về mức độ tuyệt đối của hiện tượng qua thời gian, đó là hiệu số giữa các mức độ của một dãy số thời kỳ
- Chỉ tiêu này đánh giá sự thay đổi quy mô của hiện tượng trong một khoảng thời gian nhất định. Hiện tượng tăng chỉ tiêu mang dấu (+), hiện tượng giảm, chỉ tiêu mang dấu (-)
- Gồm 3 loại:
+ Lượng tăng giảm tuyệt đối định gốc: ∆i=yi-y1 (i=2,n̅̅̅̅ )
Là lượng tăng giảm tuyệt đối của kỳ nghiên cứu so với kỳ được chọn làm gốc cho mọi so sánh ( thường là Y1)
Có tác dụng quan trọng để đánh giá sự thay đổi quy mô hiện tượng trong một thời gian dài + Lượng tăng giảm tuyệt đối liên hoàn: δi=yi-y(i-1) (i=2,n̅̅̅̅ )
Là lượng tăng giảm tuyệt đối của kỳ nghiên cứu so với kỳ trước liền kề + Lượng tăng giảm tuyệt đối bình quân: δ̅=yn-y1n-1
Lượng tăng giảm tuyệt đối bình quân có ý nghĩa khi tính toán cho các lượng biến tăng giảm tuyệt đối liên hoàn
Giúp ta thấy rõ mức độ tăng của δi
3. Tốc độ phát triển (chỉ tính cho dãy số thời kỳ)
- Là một chỉ tiêu tương đối động thái biểu hiện sự thay đổi của hiện tượng nghiên cứu theo thời gian
+ Tốc độ phát triển định gốc: Ti=𝑦1𝑦𝑖 (i=2,n̅̅̅̅ )
Biểu hiện quan hệ so sánh giữa mức độ kỳ nghiên cứu so với kỳ gốc cố định + Tốc độ phát triển liên hoàn: ti=y(i-1)yi (i=2,n̅̅̅̅ )
Biểu hiện quan hệ so sánh giữa mức độ kỳ nghiên cứu với mức độ kỳ liền trước nó Nói lên sự thay đổi về số tương đối của hiện tượng giữa hai kỳ liền nhau
+ Tốc độ phát triển bình quân:
Là một chỉ tiêu tương đối nói lên tốc độ phát triển điển hình của hiện tượng trong giai đoạn nhất định
t=̅ √∏n ti
i=2 n-1
= n-1√yny1 => Yn=Y1. 𝑡̅𝑛−1
* Nếu Yo là mức độ đầu tiên trong dãy số có (n+1) mức độ mức độ Yi, n mức độ ti t=̅ √∏n ti
i=1 n-1
=√n ynyo => Yn=Yo.𝑡̅𝑛
Ta có thể dùng công thức ngoại suy trên để dự đoán mức độ phát triển trong tương lai của hiện tượng và rộng ra là dự đoán các hiện tượng kinh tế xã hội dựa trên luật phát triển đã xác định.
4. Tốc độ tăng ( chỉ tính cho dãy số thời kỳ)
- Biểu hiện tốc độ tăng thêm (%) của thời kỳ sau so với thời kỳ trước về một chỉ tiêu kinh tế xã hội nào đó
- Chỉ tiêu này dùng để so sánh sự biến động của các hiện tượng khác nhau về quy mô ( 1 ưu điểm mà các chỉ tiêu khác không có)
+ Tốc độ tăng định gốc: đánh giá cường độ thay đổi trong cả một giai đoạn gồm nhiều kỳ Là tỉ số so sánh giữa mức độ tăng tuyệt đối định gốc với mức độ định gốc cố định Bằng tốc độ phát triển định gốc trừ 1
Ai = ∆iy1 = yi-y1y1 = Ti-1 + Tốc độ tăng lên hoàn
Là tỉ số so sánh giữa lượng tăng tuyệt đối liên hoàn với mức độ kỳ gốc liên hoàn ai =y(i-1)δi =yi-y(i-1)y(i-1) = ti-1
Phản ánh tốc độ tăng thêm trong từng thời kỳ nghiên cứu (%) Đánh giá cường độ biến động của hiện tượng qua từng kỳ + Tốc độ tăng bình quân
Là một chỉ tiêu tương đối biểu hiện tốc độ điển hình của hiện tượng nghiên cứu trong giai đoạn nhất định a̅=t-1(lần) ; a̅ ̅=t̅-100(%)
5. Giá trị tuyệt đối của 1% tăng liên hoàn gi=y(i-1)100
- Là lượng tăng tuyệt đối ứng với 1% của tốc độ tăng từng kỳ
- Là chỉ tiêu biểu hiện kết quả kinh tế thực tế do tốc độ tăng lên đem lại
- Chỉ tiêu này chỉ tính cho tốc độ tăng lên hoàn và nếu tính cho tốc độ tăng định gốc, trị số của nó không đổi cho các kỳ tính toán và sẽ không có ý nghĩa kinh tế
- Tổng lượng tăng giảm tuyệt đối liên hoàn = lượng tăng giảm tuyệt đối định gốc
- Lượng tăng giảm tuyệt đối quân= trung bình cộng của lượng tăng giảm tuyệt đối liên hoàn - Tốc độ phát triển định gốc= tích các tốc độ phát triển liên hoàn
- Tốc độ phát triển liên hoàn = thương của 2 tốc độ phát triển định gốc kề nhau - Tốc độ tăng định gốc = tốc độ phát triển định gốc trừ 1 (lần)
- Tốc độ tăng liên hòan = Tốc độ phát triển liên hòan trừ 1 (lần) - Tốc độ bình quân = tốc độ phát triển bình quân trừ 1 (lần)
* Chú ý: các lượng tăng giảm tuyệt đối bình quân, tốc độ tăng giảm bình quân, tốc độ phát triển bình quân chỉ tính cho một dãy số có cùng xu hướng phát triển cùng tăng hoặc cùng giảm