2 Phương pháp hệ số R/T trong bài toán tìm band-gaps của sóng
2.4 Tính toán số phổ band-gaps của sóng qP
Do các công thức tính toán hệ số khúc xạ của sóng qSH và qP −SV có dạng giống nhau nên mục này sẽ minh họa ví dụ tính toán số phổ band-gaps cho sóng tới qP.
Mô hình dùng cho tính toán số là một lớp nằm giữa hai bán không gian. Bán không gian trên là vật liệu Graphite/epoxy và bán không gian dưới là vật liệu Glass/epoxy với các tính chất vật liệu được cho trong Bảng 1 (xem Liu và Xi, 2002, Chương 3 [9]). Lớp ở giữa được giả sử là có tính chất vật liệu biến thiên liên tục theo hàm sin từ bán không gian trên xuống bán không gian dưới. Số chu kỳ biến đổi trong lớp được giả thiết là bằng N. Đây là một mô hình giả thiết, tuy nhiên mô hình này có thể được tạo ra bằng cách cho hai bán không gian trên và dưới có biên hình răng lược phân bố dày bị ép đan xen vào nhau. Do áp lực của lực ép, các biên hình răng lược có thể bị nén biến đổi theo hàm sin với N chu kỳ. Khi đó miền biên của hai bán không gian có thể được xấp xỉ bởi một lớp có độ dày bằng độ cao của biên và có tính chất biến đổi theo hàm sin cấu trúc hai lớp bán không gian có biên phân chia dạng này đã được nghiên cứu trong Phạm Chí Vĩnh (2010) [18]. Như vậy các tính chất của lớp có thể được tính theo công thức
P(2)(x2) =P(1)+P(3)−P(1)sin (πx2/h), (2.24) trong đó h là độ dày của một chu kỳ, P đại diện cho các hằng số vật liệu của lớp. Chú ý rằng để đảm bảo tính liên tục của tính chất vật liệu, phần dưới cùng của lớp ở giữa chỉ gồm một nửa chu kỳ của lớp vật liệu. Để áp dụng phương pháp trình bày trong phần trên, chúng ta sẽ chia mỗi chu kỳ biến đổi của lớp thành M = 20 lớp con trực hướng thuần nhất. Số lớp con này là đủ lớn để lớp
không thuần nhất được xấp xỉ bởi các lớp mỏng thuần nhất. Số chu kỳ được chọn cho tính toán số của mục này làN = 50. Các hằng số vật liệu cij được tính toán qua các thông số vật liệu trong Bảng 1 (Ví dụ xem Ting, 1996 [17]). Trong trường hợp này ta có các hằng số vật liệu của bán không gian trên làc(1)11 = 30.04, c(1)13 = 0.18, c(1)33 = 0.75, c(1)66 = 0.37 và của bán không gian dưới là c(3)11 = 143.21, c(3)13 = 3.11,c(3)33 = 9.32, c(3)66 = 4.79. Hình 2.4 biểu thị đường cong của tỷ số biên độ sóng khúc xạ bên trong bán không gian dưới và biên độ của sóng tới qP trong bán không gian trên có góc nghiêng bằng 30o trong miền tần số biến thiên từ 0 Hz đến 5 Hz. Chú ý rằng trong môi trường vật liệu bất đẳng hướng, vận tốc của sóng qP thay đổi theo góc tới và nó được tính bởi công thức (2.10) hoặc bởi công thức trong Chattopadhyay và Rajneesh (2006) [4]. Trong miền tần số này chúng ta có thể quan sát được có một phổ band gaps có độ rộng từ khoảng 1 Hz đến 2.35 Hz. Chú ý rằng, về mặt lý thuyết, một lớp hữu hạn không thể triệt tiêu hoàn toàn năng lượng của sóng khúc xạ. Tuy nhiên, năng lượng của sóng khúc xạ có thể rất nhỏ và thông thường trong tính toán, phổ band gaps được tính khi tỷ số biên độ của sóng khúc xạ và sóng tới nhỏ hơn 10−3 (xem Golub và các cộng sự, 2014 [5]).
Kí hiệu E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) ν12 ρ(g/cm3)
Graphite/epoxy 30 0.75 0.375 0.25 1.9
Glass/epoxy 142.17 9.255 4.795 0.334 1.9 Bảng 1: Thông số vật liệu của Graphite/ epoxy và Glass/ epoxy
Luận văn đã thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp phản xạ và khúc xạ tổng quát hóa cho mô hình phân lớp trực hướng và nhận được công thức tính toán hệ số khúc xạ của sóng truyền qua mô hình phân lớp trên. Các hệ thức nhận được là kết quả mở rộng cho môi trường đẳng hướng đã được đưa ra bởi Chen năm 1993. Với các kết quả mới nhận được này, luận văn đã tính toán số phổ band gaps của một mô hình một lớp trực hướng có cấu trúc tuần hoàn biến đổi liên tục theo hình sin nằm giữa hai bán không gian trực hướng. Đây là một mô hình về nguyên tắc có thể tạo ra bằng cách cho hai bán không gian trực hướng với biên có độ nhám cao hình răng lược bị ép xen kẽ vào nhau. Những hướng nghiên cứu tiếp theo: mở rộng các kết quả nghiên cứu trong luận văn đối với môi trường có tính bất đẳng hướng và có cản nhớt.
đã công bố
Các công trình liên quan đến luận văn
1. Trần Thanh Tuấn, Trương Thị Thùy Dung (2013). Sự phản xạ và khúc xạ của sóng SH trong môi trường phân lớp không thuần nhất. Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XI, HCM 2013, pp 1265-1274. 2. Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Mai, Tran Thanh Tuan (2014). Dis- persion equation of Rayleigh surface waves in stratified layer by ray and R/T theories. International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA-3) Hanoi, October 15-16, 2014, pp. 602 - 608.
3. Trương Thị Thùy Dung, Trần Thanh Tuấn (2015). Phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ (R/T) tổng quát hóa cho môi trường phân lớp trực hướng và ứng dụng trong bài toán tìm band-gaps của sóng qP −SV. Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XII, Đà Nẵng 2015. (Accepted)
Các công trình khác
4. Tran Thanh Tuan, Raul Palau Clares, Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Thu, Tran Ngoc Trung (2014). Amplification of the surface layer to the body waves. International Conference on Engineering Mechanics and Automa- tion (ICEMA-3) Hanoi, October 15-16, 2014, pp. 588 - 594.
5 Nguyễn Thị Lưu, Trương Thị Thùy Dung, Lê Thị Huệ, Trần Thanh Tuấn (2015) Công thức chính xác và xấp xỉ của phương trình tán sắc và tỷ số H/V của sóng Rayleigh trong mô hình một lớp trực hướng đặt trên bán không gian trực hướng.Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XII, Đà Nẵng 2015.(Accepted)
[1] Aki, K. and Richards, P. G (1980), Quantitative Seismology: Theory and Methods, W. H. Freeman, San Francisco.
[2] Brekhovskikh, L. M.Waves in stratified media.Izd. Akad. Nauk SSSR, Mos (1973).
[3] Brillouin, L. (1946). "Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices, ser". International Series in Pure and Applied Physics.
[4] Chattopadhyay and Rajneesh (2006). "Reflection and refraction of waves at the interface of an isotropic medium over a highly anisotropic medium", Acta Geophysica, 54 (3), pp. 239-249.
[5] Fomenko, S. I., Golub, M. V., Zhang, C., Bui, T. Q., and Wang, Y. S. (2014). "In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally graded phononic crystals". International Journal of Solids and Structures, 51 (13), 2491-2503.
[6] Goffaux, C., Vigneron, J.P. (2001). "Theoretical study of a tunable phononic band gap system". Physical Review B 64, 075118.
[7] Golub, M.V., Fomenko, S.I., Bui, T.Q., Zhang, C., Wang, Y.S. (2012). "Trans-mission and band gaps of elastic SH waves in functionally graded periodic laminates". International Journal of Solids and Structures 49, 344–354.
scattering in periodically layered composites with a damaged layer".Journal of Sound and Vibration 331, 1829–1843.
[9] G. R. Liu and Z. C. Xi. (2002).Elastic waves in anisotropic laminates. CRC press.
[10] Haskell, N. A., (1953). "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bull. seism. Soc. Am., 43, 17-34.
[11] J. D. Achenbach (1975).Wave Propagation in Elastic Solids, North-Holland publishing company Amsterdam, New York, Oxford .
[12] Kennett, B. L. N. (1983), Seismic Wave Propagation in Stratified Media, Cambridge University Press, New York.
[13] Kushwaha, M.S. (1999). "Band gap engineering in phononic crystals". Re- cent Research Developments in Applied Physics 2, 743–855.
[14] Luco, J. E. and Apscl, R. J., (1983). "On the Green’s function for a layered half-space, Part I", Bull. seism. SOC. Am., 73, 909-929.
[15] Maldovan, M., Thomas, E.L. (2009). Periodic Materials and Interference Lithography for Photonics, Phononics and Mechanics. Wiley-VCH Verlag GmbH and Co. KGaA, Weinheim, Germany.
[16] Thomson, W. T., (1950). "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", J. uppl. Phys., 21, 89-93.
[17] Ting.T.C.T. (1996). Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Ox- ford Unversity Press NewYork.
[18] Vinh, P. C., Tung, D. X. (2010). "Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces". Mech. Res. Comm. 37, pp. 285-288.
[19] Wang, Y.Z., Li, F.M., Kishimoto, K., Wang, Y.S., Huang, W.H. (2009). "Elastic wave band gaps in magnetoelectroelastic phononic crystals". Wave Motion 46, pp. 47–56.
dimensional phononic crystals with functionally graded materials". Smart Materials and Structures 18, 115013.
[21] Xiaofei Chen (1993), "A systematic and efficient method of computing nor- mal modes for multilayered half-space", Geophys. J. Int. 115, pp. 391-409.