Trong mục này, phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh sẽ được nhận bằng cách sử dụng các hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa ở trên. Xét sóng mặt Rayleigh truyền trong mô hình gồm N lớp đặt trên bán không gian thứ (N + 1).
Sóng Rayleigh là một nghiệm không tầm thường của bài toán truyền sóng qP−SV. Ngoài điều kiện liên tục tại các mặt phân cách, hai điều kiện biên khác của bài toán truyền sóng Rayleigh là điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên của lớp và điều kiện tắt dần tại vô cùng.
Điều kiện tự do ứng suất tại z = 0 có dạng
P(1)(0), S(1)(0) T
= (0,0)T, (1.64)
và điều kiện tắt dần tại vô cùng có dạng
f(N+1)(z)→0, (1.65) khi z →+∞. Điều kiện tắt dần tại vô cùng sẽ cho chúng ta thông tin về giá trị đầu của các công thức truy hồi (1.63).
Tại mặt phân cách của lớp thứ N và bán không gian (N+ 1), do điều kiện tắt dần tại vô cùng nên C(uN+1) = 0, khi đó công thức hệ số phản xạ, khúc xạ
(1.60) trở thành
Cd(N+1) =Td(N)C(dN), (1.66)
Cu(N) =Rdu(N)C(dN).
So sánh phương trình (1.62) và (1.66) thấy rằng ở đây T(dN),R(duN) và Tˆ(dN),Rˆ(duN)
là đồng nhất như nhau, có nghĩa là
ˆ
R(duN) =R(duN),Tˆ(dN) =T(dN). (1.67) Như vậy các hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa đã được xác định tại mặt phân cách thứ N và chúng sẽ được dùng làm giá trị đầu cho các công thức truy hồi (1.63), và do đó các hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa sẽ được biết đối với các mặt phân cách từ z(1) đến z(N).
Tại bề mặt tự do của lớp trên cùng chỉ có hiện tượng phản xạ, do đó ta có
C(1)d =Rˆ(0)udC(1)u . (1.68) Hệ số Rˆ(0)ud được xác định từ điều kiện tự do ứng suất (xem phương trình (1.64)) tại mặt trên cùng (z = 0)
Σ(1)(0) =E(1)21Λ(1)d (0)C(1)d +E(1)22Λ(1)u (0)C(1)u = 0. (1.69) Thay phương trình (1.68) vào phương trình (1.69) ta thu được
R(0)ud =−E(1)21
−1
E(1)22Λ(1)u (0). (1.70) Sử dụng phương trình (1.62)2 đối với lớp phân cách z(1) ta có
C(1)u =Rˆ(1)duC(1)d , (1.71) với chú ý rằng Rˆ(1)du được xác định từ các công thức truy hồi.
Từ hai phương trình (1.68) và (1.71) ta có
(I−Rˆ(0)udRˆ(1)du)C(1)d = 0. (1.72) Đây là hệ hai phương trình tuyến tính đối với hai thành phần của vector hệ số C(1)d nên để tồn tại nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ phương
trình này phải bằng không. Điều kiện này cho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh có dạng như sau
det(I−Rˆ(0)udRˆ(1)du) = 0. (1.73) Để tính được phương trình tán sắc này chúng ta phải đi xác định ma trận cấp 2×2, Rˆ(0)ud từ (1.70), và ma trận Rˆ(1)du từ công thức truy hồi (1.63).
Các bước để dẫn đến phương trình tán sắc (1.73) trong mục này được thực hiện tương tự như trong Chen (1993) nhưng được phát triển cho môi trường trực hướng. Chú ý rằng mặc dù phương pháp của Chen giúp cho việc tính toán số ổn định trong miền tần số cao, khắc phục nhược điểm của phương pháp ma trận chuyển (Thomson, 1950 [16]; Haskell, 1953 [10]). Tuy nhiên, do cách khắc phục này mà phương trình tán sắc của Chen sẽ có dạng phức, không giống như phương trình tán sắc nhận được bằng phương pháp ma trận chuyển chỉ có dạng thực hoặc thuần ảo. Điều này làm cho việc giải số phương trình tán sắc của Chen phức tạp hơn. Do đó luận văn sẽ không đi sâu vào tính toán số phương trình tán sắc của Chen mà sẽ tập trung vào việc áp dụng hệ số phản xạ, khúc xạ của Chen vào bài toán tính toán phổ band-gap của sóng phẳng được trình bày trong chương sau.
Phương pháp hệ số R/T trong bài toán tìm band-gaps của sóng mặt
Trong chương này, các phương trình của phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ (R/T)tổng quát hóa được sử dụng cho môi trường phân lớp trực hướng để tìm công thức xác định hệ số khúc xạ của sóng qSH và sóng qP −SV khi truyền qua môi trường này. Công thức nhận được sẽ được sử dụng để tính toán phổ band-gaps của sóng qSH và sóng qP −SV truyền qua môi trường phân lớp trực hướng có cấu trúc tuần hoàn biến đổi theo hàm sin.
Cấu trúc phân lớp tuần hoàn là cấu trúc được cấu tạo từ hai vật liệu khác nhau trở lên với cách sắp xếp tuần hoàn theo một chu kỳ và theo một số hướng nào đó. Cấu trúc tuần hoàn đã được quan tâm từ khá lâu và có nhiều tính chất truyền sóng đặc biệt (ví dụ xem Brillouin, 1946 [3]). Một trong những tính chất đặc biệt trên là cấu trúc này tạo ra những phổ “band gaps”, là những dải tần số mà sóng có tần số đó bị triệt tiêu khi truyền qua cấu trúc này. Với tính chất này, cấu trúc làm từ vật liệu có cấu trúc tuần hoàn có thể có các tính chất như là triệt âm, giảm nhiễu và đây là những tính chất được quan tâm trong lĩnh vực chế tạo vật liệu (ví dụ xem Maldovan và Thomas, 2009 [15]).
Với cấu trúc tuần hoàn theo một phương, có một số phương pháp dùng để tính toán và nghiên cứu band gaps ví dụ như là phương pháp khai triển sóng mặt (Goffaux và Vigneron, 2001 [6]; Kushwaha, 1999 [13]; Wang và các cộng sự, 2009 [19]), phương pháp ma trận chuyển (Wu và các cộng sự, 2009 [20]; Golub và các cộng sự, 2012, 2014 [5, 7, 8]) và một số phương pháp khác. Mỗi phương
pháp có những ưu điểm và nhược điểm đối với từng cấu trúc (Golub và các cộng sự, 2012 [7, 8]). Tuy nhiên, đối với mô hình một lớp hữu hạn có cấu trúc tuần hoàn, phương pháp ma trận chuyển dường như được dùng nhiều hơn. Golub và các cộng sự (2012, 2014 [5, 7, 8]) đã sử dụng phương pháp này để khảo sát band gaps đối với sóng SH và sóng P-SV cho lớp hữu hạn FGM (Functionally Graded Materials) đẳng hướng.
Như đã được phân tích trong Chương 1, phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa không những khắc phục được nhược điểm mất ổn định của phương pháp ma trận chuyển trong miền tần số cao mà còn cho một hình ảnh vật lý rõ ràng về hiện tượng phản xạ và khúc xạ. Vì vậy, chương này sẽ dùng phương pháp R/T để đi khảo sát band-gaps của sóng qSH và qP −SV đối với lớp hữu hạn có cấu trúc tuần hoàn biến đổi theo hàm sin. Hơn nữa vật liệu của lớp sẽ được mở rộng cho trường hợp trực hướng.
2.1 Công thức tính vận tốc sóng trong môi trường trực hướng
Để giải quyết bài toán phản xạ, khúc xạ, chúng ta cần biết vận tốc truyền sóng của các loại sóng khối trong môi trường trực hướng.
Trong môi trường đẳng hướng thuần nhất, đặc trưng bởi các hệ số Lame λ và µ, tồn tại hệ thống 3 sóng P, SV và SH, trong đó vận tốc sóng P là α = r λ+ 2µ ρ và vận tốc sóng SV và SH là β = rµ ρ. Chúng ta thấy rằng vận tốc sóng trong môi trường đẳng hướng là như nhau theo mọi phương. Tuy nhiên, trong môi trường bất đẳng hướng, điều này không còn đúng nữa. Mục này sẽ trình bày các công thức vận tốc sóng của sóngqP, qSV và qSH truyền theo một phương nào đó. Để đi tìm công thức tính vận tốc sóng của sóng qSH truyền theo phương hợp với trục 0z một gócθ, kí hiệu là cSH, ta thay biểu diễn chuyển dịch của sóng qSH có dạng u2 = W ek(p1x1+p3x3−cqSHt) vào phương trình chuyển động (1.19) thu được
c66p21+c44p23 =ρc2qSH, (2.1) trong đó, ω là tần số góc cho trước, p1 = sinθ, p3= cosθ, k=ω/cqSH .
Từ đó, suy racqSH = r
c66p21+c44p23
ρ là vận tốc sóng qSH trong môi trường. Vận tốc truyền sóngcqSH này có giá trị phụ thuộc vào phương truyền sóng, khác với trường hợp trong môi trường đẳng hướng.
Đối với sóng qP −SV, nghiệm chuyển dịch của sóng phẳng có dạng u1 u3 =A d1 d3 eik(x1p1+x3p3−ct), (2.2) trong đó, d= (d1,0, d3) là vector đơn vị chuyển dịch, p= (p1,0, p3) là vector đơn vị truyền sóng. Lấy đạo hàm của các thành phần chuyển dịch u1, u3 theo x1 và x3 ta thu được u1,1 =Ad1ikp1eik(x1p1+x3p3−ct), u3,3 =Ad3ikp3eik(x1p1+x3p3−ct), u1,3 =Ad1ikp3eik(x1p1+x3p3−ct), u3,1 =Ad3ikp1eik(x1p1+x3p3−ct) (2.3)
Và tương tự đối với các thành phần ứng suất ta có
σ11,1 =c11u1,11+c13u3,31 =c11(−k2p21)Ad1+c13(−k2p1p3)Ad3, σ13,3 =c55(u1,33+u3,13) = c55[(−k2p23)Ad1+ (−k2p1p3)Ad3], σ13,1 =c55(u1,31+u3,11) = c55[(−k2p1p3)Ad1+ (−k2p21)Ad3], σ33,3 =c13u1,13+c33u3,33 =c13(−k2p1p3)Ad1+c13(−k2p23)Ad3, ¨ u1 = (−k2c2)Ad1,u¨3= (−k2c2)Ad3. (2.4)
Thay (2.4) vào phương trình chuyển động ta được
(c11p21+c55p23−ρc2)d1+ (c13+c55)p1p3d3= 0 (c13+c55)p1p3d1+ (c55p21+c33p23−ρc2)d3= 0
(2.5)
Hệ phương trình trên tương đương với
(U −ρc2)d1+d3 = 0 V d1+ (Z −ρc2)d3= 0
trong đó
U =c11p21+c55p23, V = (c13+c55)p1p3, Z =c55p21+c33p23.
(2.7)
Để hệ hai phương trình tuyến tính (2.6) đối với d1 và d2 có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ phải bằng 0, ta có
(U −ρc2)(Z−ρc2)−V2 = 0, (2.8) hay
(ρc2)2−(U +Z)ρc2+ (U Z−V2) = 0 (2.9) Đây là phương trình bậc hai đối với ρc2 và do đó nó có hai nghiệm
c2qP = (U+Z)+ √ (U−Z)2+4V2 2ρ c2qSV = (U+Z)− √ (U−Z)2+4V2 2ρ (2.10)
Hai công thức này sẽ cho ta công thức tính vận tốc sóng qP và qSV tương ứng. Lý do chọn nghiệm cho sóng qP và qSV như trên vì chúng ta thông thường coi sóng qP truyền nhanh hơn sóng qSV.
Trong trường hợp đặc biệt, giả sử sóng qP −SV truyền theo một hướng chính của vật liệu, ví dụ theo phương 0x. Khi đó ta có U =c11, V = 0, Z =c55. Khi đó, phương trình (2.9) trở thành
(ρc2)2−(c11+c55)ρc2+c11c55 = 0 (2.11) Phương trình (2.11) có định thức ∆ = (c11+c55)2−4c11c55 = (c11−c55)2. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình, đó là (ρc2)2=c11 và (ρc2)2 =c55. Do đó
c2qP = c11
ρ là vận tốc sóng dọc trong môi trường và c2qSV = c55
ρ là vận tốc sóng ngang trong môi trường.
Trong trường hợp đặc biệt khi vật liệu là đẳng hướng ta có c11 =λ+ 2µ và c55=µ, chúng ta nhận lại được công thức vận tốc truyền sóng của sóng P và SV.
2.2 Bài toán phổ band-gaps
Xét một lớp vật liệu trực hướng, hữu hạn có cấu trúc tuần hoàn theo phương 0z đặt giữa hai bán không gian trực hướng thuần nhất (Hình 2.1). Hai bán không gian trên và dưới được kí hiệu là môi trường (1) và (3) tương ứng. Và lớp tuần hoàn ở giữa được kí hiệu là môi trường (2). Các trục chính vật liệu của hai bán không gian và lớp được giả thiết là có cùng phương.
Xét bài toán truyền sóng trong đó sóng tới qSH (hoặc qP −SV) nằm trong một mặt phẳng đối xứng của vật liệu đi từ bán không gian trên qua lớp vật liệu và truyền vào bán không gian bên dưới. Sóng tới có tần số góc làω. Tại mặt phân cách giữa bán không gian trên và lớp vật liệu, sóng tới sẽ tách làm hai phần. Một phần phản xạ lại vào trong bán không gian trên, và một phần sẽ khúc xạ đi vào lớp vật liệu. Thành phần khúc xạ này sẽ truyền tới mặt phân cách với bán không gian dưới và sẽ khúc xạ qua mặt phân cách này. Bài toán cần xét là đi tìm biên độ của sóng khúc xạ trong bán không gian dưới phụ thuộc vào biên độ của sóng tới.
Hình 2.1: Mô hình một lớp vật liệu phân lớp trực hướng nằm giữa hai bán không gian thuần nhất trực hướng. Sóng tới qSH đi xuống từ bán không gian trên sinh ra hệ 2 sóng phản xạ và khúc xạ.
Giả sử sóng tới từ bán không gian trên là sóng qSH tạo một góc θ với trục z (hay trục x3) có dạng
Hình 2.2: Mô hình một lớp vật liệu phân lớp trực hướng nằm giữa hai bán không gian thuần nhất trực hướng. Sóng tớiqP đi xuống từ bán không gian trên sinh ra hệ 4 sóng phản xạ và khúc xạ.
trong đó k1 = ω c(1)qSH
, (p(1)1 , p(1)3 ) là vector đơn vị của hướng truyền sóng, c(1)qSH là vận tốc truyền sóng theo phương đã cho.
Vì sóng tới qSH tới bề mặt của lớp vật liệu sẽ sinh ra một sóng phản xạ qSH và một sóng khúc xạ qSH nên sóng phản xạ và khúc xạ có dạng sau (xem Hình vẽ 2.1)
uP qSH =PqSHeik1(x1q(1)1 +x3q3(1)), (2.13) uKqSH =KqSHeik3(x1p(3)1 +x3p(3)3 )
,
(2.14) trong đó PqSH, KqSH là biên độ của sóng phản xạ và khúc xạ của sóng qSH, k3 = ω
c(3)SH
, c(3)SH là số sóng và vận tốc của sóng khúc xạ trong bán không gian dưới. q(1)1 , q3(1) là vector đơn vị truyền sóng của sóng phản xạ và p(1)1 , p(1)3 là vector đơn vị truyền sóng của sóng khúc xạ trong bán không gian dưới. Bài toán đặt ra là đi tìm tỉ số giữa biên độ của sóng khúc xạ và sóng tới KqSH/TqSH.
Trong trường hợp sóng tới là sóng qP có dạng
uT qP =TqPeik1(x1p1(1)+x3p3(1)), (2.15) trong đó, p1 = sinθ1, p3 = cosθ1, θ1 là góc tới, k1 = ω/c(1)P là số sóng trong bán
không gian (1), c(1)P là vận tốc sóng qP bán không gian (1) theo hướng truyền sóng. Chỉ số dưới “T” trong công thức của chuyển dịch trên biểu thị đó là sóng tới. Sóng phản xạ và sóng khúc xạ của sóngqP −SV được giả sử có các biên độ
PqP,PqSV,KqP,KqSV và có các góc phản xạ, khúc xạ được biểu diễn như trong Hình vẽ 2.2. Các chữ cái “P” và “K” biểu thị cho sóng phản xạ và sóng khúc xạ. Để đơn giản, ta đã bỏ qua nhân tử e−iωt trong các công thức chuyển dịch trên. Mục đích của bài toán là sẽ đi tìm giá trị biên độ của sóng khúc xạ |KqP| và |KqSV| phụ thuộc vào biên độ của sóng tới TqP. Phổ band-gaps của các sóng tới là các phổ tần số khi biên độ của các sóng khúc xạ này bị triệt tiêu.
2.3 Band-gaps của sóng qSH và sóng qP-SV
Do bài toán truyền sóng trong môi trường không thuần nhất khó có thể giải được bằng phương pháp giải tích nên ta sẽ giải quyết bài toán trên bằng cách xấp xỉ lớp không thuần nhất ở trên thành một chuỗiN các lớp mỏng thuần nhất. Khi đó, ta sẽ coi bán không gian trên là lớp thứ (0), bán không gian dưới là lớp thứ(N+ 1). N lớp xấp xỉ sẽ được đánh số từ 1 cho đến N (xem Hình 2.3).
Hình 2.3: Chia lớp vật liệu không thuần nhất thànhN lớp con thuần nhất
tại mặt phân cách. Giả sử sóng tới là sóng qSH, công thức (1.50)1 tại mặt phân cách này cho ta biên độ của sóng khúc xạ vào trong lớp thứ nhất là
Cd(1)= ˆTd(0)Cd(0) (2.16) trong đó Cd(0) =TqSH. Sóng khúc xạ này sẽ đi xuống mặt phân cách thứ hai và tiếp tục sinh ra sóng khúc xạ vào trong lớp thứ ba có biên độ
Cd(2) = ˆTd(1)Cd(1) = ˆTd(1)Tˆd(0)Cd(0) (2.17) Quá trình này tiếp tục lặp lại cho đến mặt phân cách thứ N và ta có
Cd(N+1)= ˆTd(N)Cd(N) = ˆTd(N)Tˆd(N−1)Tˆd(N−2). . .Tˆd(0)Cd(0) (2.18) Vì vậy, để tính được biên độ của sóng khúc xạ KqSH = Cd(N+1) chúng ta cần tính tích Tˆd(N)Tˆd(N−1)Tˆd(N−2). . .Tˆd(0). Giá trị này sẽ được tính từ công thức truy hồi (1.53) và các giá trị đầu của Rˆ(duN) và Tˆd(N) trong công thức truy hồi (1.53) sẽ được tính từ điều kiện như sau. Tại mặt phân cách giữa lớp thứ N và bán không gian, do không có sóng nào từ bán không gian dưới đi lên nên công thức hệ số phản xạ khúc xạ (1.42) sẽ trở thành
Cd(N+1) =Td(N)Cd(N), (2.19) Cu(N) =Rdu(N)Cd(N).
So sánh công thức này với công thức định nghĩa của hệ số R/T tổng quát hóa (1.50) ta có
ˆ
Rdu(N) =R(duN),Tˆd(N) =Td(N). (2.20) Tương tự như vậy đối với sóng tới qP, công thức (1.62)1 tại mặt phân cách này cho ta biên độ của sóng khúc xạ vào trong lớp thứ nhất
C(1)d =Tˆ(0)d C(0)d (2.21) trong đó C(0)d = TqP. Sóng khúc xạ này sẽ đi xuống mặt phân cách thứ hai và tiếp tục sinh ra sóng khúc xạ vào trong lớp thứ ba có biên độ
Quá trình này tiếp tục lặp lại cho đến mặt phân cách thứ N và ta có
Cd(N+1) =Tˆd(N)C(dN) =Tˆd(N)Tˆ(dN−1)Tˆd(N−2). . .Tˆ(0)d C(0)d (2.23) Vì vậy, để tính biên độ của sóng khúc xạ KqP = C(dN+1) chúng ta cần tính tích
ˆ
Td(N)Tˆ(dN−1)Tˆ(dN−2). . .Tˆ(0)d . Giá trị này sẽ được tính từ công thức truy hồi (1.63) bắt đầu với giá trị trong phương trình (1.67).
2.4 Tính toán số phổ band-gaps của sóng qP
Do các công thức tính toán hệ số khúc xạ của sóng qSH và qP −SV có dạng giống nhau nên mục này sẽ minh họa ví dụ tính toán số phổ band-gaps cho sóng tới qP.
Mô hình dùng cho tính toán số là một lớp nằm giữa hai bán không gian. Bán không gian trên là vật liệu Graphite/epoxy và bán không gian dưới là vật liệu Glass/epoxy với các tính chất vật liệu được cho trong Bảng 1 (xem Liu và Xi, 2002, Chương 3 [9]). Lớp ở giữa được giả sử là có tính chất vật liệu biến thiên liên tục theo hàm sin từ bán không gian trên xuống bán không gian dưới. Số chu kỳ biến đổi trong lớp được giả thiết là bằng N. Đây là một mô hình giả