2 Phương pháp hệ số R/T trong bài toán tìm band-gaps của sóng
2.3 Band-gaps của sóng qSH và sóng qP-SV
Do bài toán truyền sóng trong môi trường không thuần nhất khó có thể giải được bằng phương pháp giải tích nên ta sẽ giải quyết bài toán trên bằng cách xấp xỉ lớp không thuần nhất ở trên thành một chuỗiN các lớp mỏng thuần nhất. Khi đó, ta sẽ coi bán không gian trên là lớp thứ (0), bán không gian dưới là lớp thứ(N+ 1). N lớp xấp xỉ sẽ được đánh số từ 1 cho đến N (xem Hình 2.3).
Hình 2.3: Chia lớp vật liệu không thuần nhất thànhN lớp con thuần nhất
tại mặt phân cách. Giả sử sóng tới là sóng qSH, công thức (1.50)1 tại mặt phân cách này cho ta biên độ của sóng khúc xạ vào trong lớp thứ nhất là
Cd(1)= ˆTd(0)Cd(0) (2.16) trong đó Cd(0) =TqSH. Sóng khúc xạ này sẽ đi xuống mặt phân cách thứ hai và tiếp tục sinh ra sóng khúc xạ vào trong lớp thứ ba có biên độ
Cd(2) = ˆTd(1)Cd(1) = ˆTd(1)Tˆd(0)Cd(0) (2.17) Quá trình này tiếp tục lặp lại cho đến mặt phân cách thứ N và ta có
Cd(N+1)= ˆTd(N)Cd(N) = ˆTd(N)Tˆd(N−1)Tˆd(N−2). . .Tˆd(0)Cd(0) (2.18) Vì vậy, để tính được biên độ của sóng khúc xạ KqSH = Cd(N+1) chúng ta cần tính tích Tˆd(N)Tˆd(N−1)Tˆd(N−2). . .Tˆd(0). Giá trị này sẽ được tính từ công thức truy hồi (1.53) và các giá trị đầu của Rˆ(duN) và Tˆd(N) trong công thức truy hồi (1.53) sẽ được tính từ điều kiện như sau. Tại mặt phân cách giữa lớp thứ N và bán không gian, do không có sóng nào từ bán không gian dưới đi lên nên công thức hệ số phản xạ khúc xạ (1.42) sẽ trở thành
Cd(N+1) =Td(N)Cd(N), (2.19) Cu(N) =Rdu(N)Cd(N).
So sánh công thức này với công thức định nghĩa của hệ số R/T tổng quát hóa (1.50) ta có
ˆ
Rdu(N) =R(duN),Tˆd(N) =Td(N). (2.20) Tương tự như vậy đối với sóng tới qP, công thức (1.62)1 tại mặt phân cách này cho ta biên độ của sóng khúc xạ vào trong lớp thứ nhất
C(1)d =Tˆ(0)d C(0)d (2.21) trong đó C(0)d = TqP. Sóng khúc xạ này sẽ đi xuống mặt phân cách thứ hai và tiếp tục sinh ra sóng khúc xạ vào trong lớp thứ ba có biên độ
Quá trình này tiếp tục lặp lại cho đến mặt phân cách thứ N và ta có
Cd(N+1) =Tˆd(N)C(dN) =Tˆd(N)Tˆ(dN−1)Tˆd(N−2). . .Tˆ(0)d C(0)d (2.23) Vì vậy, để tính biên độ của sóng khúc xạ KqP = C(dN+1) chúng ta cần tính tích
ˆ
Td(N)Tˆ(dN−1)Tˆ(dN−2). . .Tˆ(0)d . Giá trị này sẽ được tính từ công thức truy hồi (1.63) bắt đầu với giá trị trong phương trình (1.67).