Biến đổi Fourier

5. Các bước thực hiện

4.2.5. Biến đổi Fourier

Biến đổi Fuorier ( FT ) là một phép toán biến đổi hàm từ miền thời gian sang miền tấn số

Hình 4.23: Chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số.[4]

Nếu xem f( ) là tích chập của f( t ) và tần số sóng .

(4.16) Phần thực là

(4.17)

Một vector từ hóa, bắt đầu tại + X, quay quanh trục Z theo chiều kim đồng hồ . Mxlà một hàm của thời gian và có dạng hàm cosin

Biến đổi Fuorier cho biên độ đỉnh là +ע và -ע bởi FT không thể phân biệt được giữa vector quay + tại +ע và vector quay – tại –ע

My là một hàm của thởi gian và có dạng hàm –sin

Biến đổi Fuorier cho biên độ đỉnh là +ע và -ע bởi FT không thể phân biệt được giữa vector quay + tại +ע và vector quay – tại –ע

Giải pháp là phải đưa cả Mx và My thực hiện cùng biến đổi Fuorier. Đầu ra gồm 2 thành phần thực và ảo

Hình 4.24: Biến đổi Fuorier với đầu vào gồm 2 phần thực và ảo [4].

Biến đổi Fuorier thực sử dụng đầu vào gồm 2 phần thực và ảo .

Nếu cho Mx là đầu vào thực và My là đầu vào ảo. Thực hiện biến đổi Fuorier sẽ cho kết quả đầu ra cũng gồm 2 phần thực và ảo

Với hàm sau f(t) = e-at e-i2pnt Mx ( thực ) My ( ảo )

Trongbiến đổi Fuorier phổ cộng hưởng từ, đầu ra thực của biến đổi Fuorier được lấy trong phổ miền tần số .

Tương tự, chúng ta có biến đổi Fuorier với đầu vào hàm cosin là phần ảo và đầu vào hàm sin là phần thực

Mx (ảo ) My (thực )

Để đạt được phổ hấp thụ với đầu ra thực, phổ miền tần số hoặc thời gian phải có sự bù pha. Quá trình này tương ứng với biến đổi đồng nhất

(4.18) Phổ NMR bao gồm cả thành phần bù pha tuyến tính và hằng số = m Φ + b (4.19)

Trong ảnh cộng hưởng từ, tín hiệu Mx và My hiếm khi được hiển thị mà thay vào đó là hiển thị các tín hiệu từ tính. Các tín hiệu từ tính này là cân bằng với tổng bình phương của Mx và My

 Một số tính chất của biến đổi Fuorier một chiều - Tuyến tính:

Cả f1 và f-

1-1 đều là các toán tử tuyến tính. Ta có

FT{f(x)+g(x)}=FT{f(x)}+FT{g(x)}=F(ξ)+G(ξ) FT1-1{F(x)+G(x)}=FT1-1{F(x)}+FT1-1{G(x)}=f(ξ)+g(ξ) - Đối xứng:

Nói chung hàm biến đổi Fuorier là một hàm phức, tuy nhiên nếu f(x) là một hàm thực thì : F(ξ)=F*(-ξ)

Trong đó F*(-ξ) là hàm liên hợp phức của F(ξ)

Các hàm có tính chất này đôi khi được gọi là Hermitian

Nếu f(x) là hàm thực và chẵn tức : f(x)=f(-x) thì biến đổi Fuorier của nó cũng là hàm thực và chẵn, ta có : F(ξ)=F*(ξ)=F(-ξ)

Mặt khác, nếu f(x) là thực và lẻ : f(x)=f(-x) thì biến đổi của nó là thuần tuý ảo và lẻ : F(ξ)= -F*(ξ)= -F(-ξ) [3].

4.2.6. Cặp biến đổi Fuorier

Cặp biến đổi Fuorier là 2 hàm, 1 trong miền tần số và 1 trong miền thời gian tương ứng. Sau đây là một số cặp biến đổi Fuorier với biên độ của chúng sau biến đổi có thể không xét đến do không thích hợp trong ảnh cộng hưởng từ

a. Luôn là hằng số

b. Thực: cos(2pnt), ảo: -sin(2pnt)

c. Hàm comb ( một chuỗi các hàm delta tạo bởi T )

d. Suy giảm hàm mũ e-at với t > 0

e. Xung vuông độ rộng T 4.2.7. Định lý cuốn

Định lý qua trọng nhất liên quan đến biến đổi Fuorier là định lý cuốn. Định lý phát biểu biến đổi Fuorier của phép chập 2 hàm thì bằng với tích của biến đổi riêng mỗi hàm và ngược lại

Nếu f( ) = FT( f(t) ) g( ) = FT( g(t) )

thì f( ) g( ) = FT( g(t) f(t) ) f( ) g( ) = FT( g(t) f(t) )

Một ứng dụng khác của định lý cuốn là làm giảm nhiễu. Nếu áp dụng định lý cuốn với hàm Lorentrian, sau đó biến đổi Fuorier thì tín hiệu trong miền thời gian sẽ tăng lên nhiều lần bởi sự suy giảm hàm mũ

Hình 4.25: Biến đổi Fuorier áp dụng định lý cuốn với hàm Lorentrian [4].

- Kết luận: Chương này đề cập đến những vấn đề chuyên sâu, cho ta cái nhìn về các thành phần, cấu trúc của máy cộng hưởng từ. Các bộ phận phần cứng của máy như : nam châm, cuộn RF, Gradient… sẽ được trình bày tại đây đồng thời đưa ra một số các khái niệm toán học cơ bản được sử dụng trong tạo ảnh cộng hưởng từ

CHƯƠNG 5: CÁC KHÁI NIỆM TRONG TẠO ẢNH CỘNG HƯỞNG TỪ

5.1. SỰ CHUYỂN TIẾP

Các hạt có thể trải qua quá trình chuyển tiếp giữa 2 mức năng lượng bởi sự hấp thụ photon. Một hạt từ trạng thái năng lượng thấp hơn hấp thụ một photon và nhảy lên mức năng lượng cao hơn. Năng lượng của photon này phải phù hợp chính xác với hiệu mức năng lượng giữa 2 trạng thái năng lượng. Năng lượng E của photon bị chiếm chỗ liên hệ với tần số của nó theo hằng số Planck ( h = 6,626.10-34 J.s )

E = ψ . h (5.1)

Trong tạo ảnh cộng hưởng từ hạt nhân và MRI, số lượng tử ψ được gọi là tần số Larmor

Sự chuyển tiếp giữa 2 mức năng lượng của hạt nhân có thể được giải thích thông qua cơ học lượng tử với đặc trưng của mômen góc spin

Biên độ của mômen góc spin cho bởi: P  I(I1) (5.2)

Ở đó: P là vecto, nên hướng của nó phải được gắn vào 1 điểm nào đó. Trong 1 từ trường, đặt dọc theo trục z, các giá trị có thể có của các thành phần theo phương z của moment góc được cho bởi:

Pz .mI (5.3) Ở đó: mI = I, (I-1), (I-2), (I-3),...-I

Vì vậy đối với proton, với spin 1/2, sẽ có 2 giá trị có thể đối với PZ là: 

2 1

 . Biểu thức miêu tả trạng thái spin của proton hạt nhân có thể được viết lại là:

2 1  hoặc 2 1  và biểu thức để mô tả trạng thái của spin như sau:

z mI mI 2

1

I   (5.4)

Ở đó IZ là toán tử miêu tả phép đo của mômen góc dọc theo trục z. Tương tự các toán tử dùng để đo mômen góc dọc theo trục x và y, vì vậy ta có một hệ thống các biểu thức cho spin 1/2 như sau:[6]

2 1 2 1 2 1 I 2 1 2 1 2 1 IZ    Z    1 i 2 1 i 2 1 2 1 I 2 1 i 2 1 2 1 I 2 1 2 1 2 1 I 2 1 2 1 2 1 I X X Y Y                   (5.5)

Để đo năng lượng của hệ thống spin, ta cần phải xây dựng toán tử Hamilton. Với năng lượng của một mômen từ đặt trong một từ trường. Hạt nhân có một mômen từ,  - tỷ lệ thuận với mômen góc.

Hằng số tỉ lệ của hạt nhân , còn được gọi là hệ số từ hồi chuyển .

Hệ số từ hồi chuyển là một đặc điểm riêng của các hạt nhân, và đối với các proton có giá trị là: 2,675.108 ra/s/I. Khi mômen này được đặt trong một từ trường B, nó sẽ có một năng lượng là:

E = -.B (5.7)

Kết hợp (5.5) và (5.6), một toán tử Hamilton có thể được định nghĩa như sau: H..B.I (5.8)

Khi đó, với giả thiết từ trường B được đưa vào song song với trục z, toán tử Hamilton trở thành:

H..BZ.IZ (5.9)

được biết đến là toán tử Hamilton Zeeman. Sử dụng biểu thức Schrodinger, năng lượng tìm ra là: I Z I I Z I Z Z I I m B E m m B m I B m E m H               (5.10)

Vậy đối với 1 proton có:

2 1

m , 1 dịch chuyển giữa 2 trạng thái, miêu tả một thay đổi về năng lượng:

EBZ (5.11)

Hình 5.1: Lược đồ mức năng lượng của một proton sau tương tác Zeeman [4]

Hiện tượng này được gọi là hiện tượng phân chia Zeeman, như đã chỉ ra trên (hình 5.1)

Trạng thái "spin down": có năng lượng cao hơn trạng thái năng lượng "spin up". Những dịch chuyển giữa hai trạng thái có thể được kích thích bằng hấp thụ hay phát ra một photon, có tần số 0 , chẳng hạn: Z Z B 2 h B E            (5.12)

Biểu diễn tần số dưới dạng tần số góc cho ta biểu thức Larmor, là cơ sở của hiện tượng cộng hưởng từ hạt nhân (NMR).

 = .B0 (5.13)

đặc tính tần số , gọi là tần số Larmor. Từ trường ngoài (B0) vẫn được giả thiết là nằm dọc theo trục z, và được đánh chỉ số dưới là "0" để phân biệt với từ trường RF đưa vào.

Bằng cách miêu tả theo thuyết cơ học lượng tử hạt nhân nguyên tử, đã chỉ ra phương pháp thực hiện NMR. Những dịch chuyển giữa hai trạng thái năng lượng "spin up" và "spin down", có thể xảy ra bằng cách hấp thụ hay phát ra bức xạ điện từ với tần số cho bởi biểu thức Larmor. Tần số này đối với một hạt nhân cụ thể, tinh khiết cao phụ thuộc vào từ trường đặt vào B

Trong một hệ thống thực, không chỉ có một hạt nhân đứng độc lập, mà có rất nhiều hạt nhân, tất cả chúng có thể chiếm giữ 1 trạng thái spin cụ thể nào đó. Điều này có nghĩa là học thuyết cần phải được sử dụng để xem xét, đánh giá một cái nhìn toàn diện hơn về spin.

5.2. BIỂU ĐỒ MỨC NĂNG LƯỢNG

Năng lượng giữa 2 trạng thái spin có thể được biểu diễn qua biểu đồ mức năng lượng Ta biết: Ψ = γ.B và E = ψ.h (5.14)

năng lượng của proton cần để tạo ra sự chuyển tiếp giữa 2 trạng thái spin là: E = h.γ.B (5.15)

Hình 5.2: Sự chênh lệch mức năng lượng giữa 2 trạng thái [4]

Trong đó năng lượng của photon phụ thuộc vào hiệu mức năng lượng giữa 2 trạng thái spin khi sự hấp thụ năng lượng xảy ra

Trong các thí nghiệm về cộng hưởng từ hạt nhân, tần số proton nằm trong dải tần số vô tuyến. Phổ quang học cộng hưởng từ, tần số này trong khoảng 60 đến 800 MHz đối với phân tử H2. Trong ảnh cộng hưởng từ chuẩn đoán, dải tần này là 15 đến 80 MHz

5.3. THỐNG KÊ BOLTZMAN

Khi các spin trong từ trường có sự sắp xếp trong 1 hoặc 2 vị trí định hướng . Tại nhiệt độ phòng, số lượng các spin ở mức năng lượng thấp hơn, N+ , có sự trội hơn không đáng kể về số lượng so với các spin ở mức năng lượng cao hơn, N-, thống kê Boltzman cho thấy kT E e N N     (5.16)

E là hiệu mức năng lượng giữa 2 trạng thái spin K là hằng số Boltzman k= 1,3805.10-23 J/K T là nhiệt độ tuyệt đối ( K )

Khi nhiệt độ giảm, tỉ số N- / N+ giảm còn khi nhiệt độ tăng, tỉ số này sẽ tiến tới 1

Các tín hiệu trong máy phân tích phổ cộng hưởng từ hạt nhân là kết quả từ sự khác biệt giữa các mức năng lượng được hấp thụ bởi các spin, mà từ đó tạo ra một dịch chuyển từ trạng thái năng lượng thấp sang trạng thái có năng lượng cao, và năng lượng phát ra bởi các spin đồng thời cũng tạo ra một dịch chuyển từ trạng thái năng lượng cao về trạng thái năng lượng thấp. Vì vậy tín hiệu này tỉ lệ thuận với sự khác biệt về mật độ giữa hai trạng thái năng lượng. Cộng hưởng từ hạt nhân có độ nhạy quang phổ tốt hơn vì nó có khả năng phát hiện những khác biệt dù nhỏ nhất của mật độ. Đó là do sự cộng hưởng hay chuyển đổi năng lượng ở một tần số cụ thể giữa các spin và quang phổ kế, điều này đem đến độ nhạy cho NMR.

Sự khác nhau giữa năng lượng hấp thụ bởi spin tạo ra sự chuyển trạng thái từ mức năng thấp lên mức năng lượng cao hơn, hoặc sự phát xạ của spin khi chuyển trạng thái từ mức năng lượng cao xuống mức năng lượng thấp hơn nói chung đều tạo ra năng lượng bởi spin, tạo ra tín hiệu trong phổ kết quả cộng hưởng từ hạt nhân (NMR). Vì thế tín hiệu

này tương ứng với sự khác nhau giữa các trạng thái. Đây là sự cộng hưởng hoặc sự thay đổi năng lượng tại tần số riêng biệt giữa spin và quang phổ kế, tạo ra mật độ phổ NMR Hai nhân tố khác có tác động đến tín hiệu NMR là sự đa dạng tự nhiên của các đồng vị và tính đa dạng sinh học

Sự đa dạng tự nhiên của đồng vị là sự phân mảnh trong hạt nhân, có cùng số khối

Ví dụ như có 3 đồng vị của H2 là 1H, 2H, 3H. Sự đa dạng tự nhiên của 1H là 99,985% Bảng sau cho thêm một số loại đồng vị hạt nhân đáng quan tâm trong MRI.[5].

Bảng 5.3: Hàm lượng tự nhiên của một số nguyên tố [4].

Nguyên tố

Kí hiệu Sự đa dạng tự nhiên Hidro 1H 99,985 1H 0,015 Carbon 13C 1,11 Nitrogen 14N 99,63 15N 0,37 Natri 23Na 100 Phosphorus 31P 100 Kali 39K 93,1 Calcium 43Ca 0,145 Sự đa dạng sinh học tồn tại trong một dạng phân tử Bảng 5.4: Hàm lượng sinh học Phân tử Sự đa dạng Hidro 0,63 Natri 0,00041 Phosphorus 0,0024 Carbon 0,94 Oxygen 0,26 Calcium 0,0022 Nitrogen 0,015

5.4. CÁC GÓI SPIN

Để diễn tả NMR trên phương diện vi mô, ta sẽ gặp trở ngại do tính cồng kềnh của nó, do đó xét trên phương diện vĩ mô sẽ thuận lợi hơn rất nhiều. Bước đầu tiên trong việc phát triển phương diện vĩ mô đó là định nghĩa khái niệm về gói spin. Gói spin là một nhóm các spin có cường độ từ trường bằng nhau.

Tại bất kỳ thời điểm nào, từ trường tạo bởi các spin bên trong mỗi gói spin có thể được biểu diễn bằng một vector độ từ hoá. Kích thước của mỗi vector sẽ tỷ lệ thuận với (N+ - N-).

Vector tổng của các vector độ từ hoá từ tất cả các gói spin được gọi là độ từ hoá mạng lưới. Để thích nghi với hệ thống toạ độ của cộng hưởng từ hạt nhân thông thường, từ trường ngoài và vector độ từ hoá mạng lưới ở trạng thái cân bằng đều nằm dọc theo trục Z.

5.5. KHÔNG GIAN K

Không gian K là nơi chứa các tín hiệu MR (dữ liệu thô).

Không gian K chỉ đơn giản là một mảng các số, tuy nhiên, khi bạn nhìn thấy không gian K, thì lúc đó là những con số này đã được chuyển đổi thành các mức xám đồ. Vậy những con số này biểu diễn một kiểu dữ liệu nào đó, mà trên đó có những thông số ta quan tâm. Mảng như vậy được gọi là không gian K

*/ Từ không gian K có thể tìm được ảnh MR bằng một loạt các công thức tính toán, đó là biến đổi Fourier.

*/ Lưu ý là ảnh sẽ được tạo ra từ dữ liệu này, trong đó phần quan trọng nhất, chiếm nhiều thông tin nhất là phần nằm giữa không gian K.

*/ Để có thể tạo ra được 1 ảnh MR hoàn chỉnh, chúng ta cần điền đầy tất cả khoảng trống của không gian K, từng dòng một.

Đây là đồ thị biểu diễn của một trong nhiều tín hiệu MR dùng để tạo một ảnh đơn. Chúng ra lấy mẫu biên độ của tín hiệu, số hóa nó. Và các mức khác nhau được minh họa ở đây sử dụng các giá trị thang xám khác nhau (từ đen tới trắng).

Trên đây chỉ là một dòng trong không gian K, chúng ta cần thu nhiều tín hiệu MR dưới các điều kiện ảnh khác nhau để điền đầy tất cả các khoảng trống trên không gian K. Đây là lí do vì sao việc thu tín hiệu dữ liệu MR cần phải mất một số thời gian.

Không gian K còn được gọi là không gian dữ liệu thô

Vậy có thể định nghĩa không gian K là một mảng dữ liệu hay mảng các con số mà qua biến đổi Fourier sẽ cho ta được ảnh MR.

Ta có thể thấy rằng thông tin nó chứa đựng có thể thay đổi rất nhiều. Việc đoán xem ảnh sẽ biến đổi như thế nào là việc không thể được, nhưng có một vài đặc điểm về chất lượng ảnh khi nhìn vào dữ liệu thô. Không gian K càng mịn, thì sẽ cho ảnh càng chi