2. CÁC THUẬT TỐN VẼ ĐƯỜNG
PHÉP BIẾN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ TỌA ĐỘ
Để thuận tiện cho việc mơ tả đối tượng, thơng thường đối tượng sẽ được mơ tả trong các hệ tọa độ cục bộ gắn với chúng. Tuy nhiên để cĩ thể hiển thị tồn bộ một ảnh bao gồm nhiều đối tượng thành phần, các mơ tả này phải được chuyển về một hệ tọa độ chung duy nhất. Việc chuyển đổi này thường được chia làm hai loại : chuyển từ các hệ tọa độ khơng phải là hệ tọa độ Descartes như hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ elliptic, … sang hệ tọa độ Descartes, và chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes. Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau.
Hình 3.6 – Phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ
Giả sử ta cĩ hệ tọa độ (I) cĩ gốc tọa độ O và các vector đơn vị lần lượt là . Hệ tọa độ (II) là ảnh của hệ tọa độ (I) qua phép biến đổi T(M), cĩ gốc tọa độ là O’ và các vector đơn vị lần lượt là . Lúc này một điểm bất kì trong hệ tọa độ (I) sẽ được biến đổi thành điểm
trong hệ tọa độ (II). Vấn đề đặt ra ở đây là mối liên hệ giữa với như thế nào. Người ta chứng minh được rằng .
Hình 3.7 – Tọa độ của một điểm qua phép biến đổi hệ tọa độ
TĨM TẮT
Các phép biến đổi hình học cho phép dễ dàng thao tác lên các đối tượng đã được tạo ra. Chúng làm thay đổi mơ tả về tọa độ của các đối tượng, từ đĩ đối tượng sẽ được thay đổi về hướng, kích thước và hình dạng. Các phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm tịnh tiến, quay và biến đổi tỉ lệ. Ngồi ra một số phép biến đổi khác cũng thường được áp dụng đĩ là phép đối xứng và biến dạng.
Cĩ hai quan điểm về phép biến đổi hình học đĩ là : biến đổi đối tượng và biến đổi hệ tọa độ. Biến đổi đối tượng thay đổi tọa độ của các điểm mơ tả nĩ theo một quy tắc nào đĩ, cịn biến đổi hệ tọa độ sẽ tạo ra một hệ tọa độ mới và tất cả các điểm mơ tả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới.
Các phép biến đổi hình học đều được biểu diễn dưới dạng ma trận thuần nhất 3x3 để tiện cho việc thực hiện các thao tác kết hợp giữa chúng. Trong hệ tọa độ thuần nhất, tọa độ của một điểm được mơ tả bởi một vector dịng bao gồm ba giá trị, hai giá trị đầu tương ứng với tọa độ Descartes của điểm đĩ, và giá trị thứ ba là 1. Với cách biểu diễn này, ma trận của phép biến đổi cĩ được từ sự kết hợp của các phép biến đổi cơ sở sẽ bằng tích của các ma trận của các phép biến đổi thành phần.
Các phép biến đổi khơng làm thay đổi kết cấu về tính cân xứng của đối tượng như tịnh tiến, quay được gọi là các phép biến đổi bảo tồn kết cấu đối tượng, thuật ngữ tiếng Anh gọi là rigid-body transformation.
Việc chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau thường gặp trong cơng đoạn chuyển các mơ tả tọa độ của các đối tượng thành phần trong các hệ tọa độ cục bộ về các vị trí tương ứng trong một hệ tọa độ chung. Giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau, người ta thường sử dụng các phép biến đổi bảo tồn kết cấu như là tịnh tiến, quay.
1. Cho biết ma trận các phép biến đổi dùng để biến đổi một hình trịn thành hình ellipse và ngược lại.
2. Cho biết ma trận các phép biến đổi dùng để biến đổi một hình vuơng thành hình chữ nhật, hình bình hành và ngược lại.
3. Xây dựng và cài đặt cấu trúc dữ liệu và các hàm dùng để thực hiện một phép biến đổi affine bất kì.
4. Cho biết ma trận của phép tỉ lệ với tâm tỉ lệ là điểm bất kì.
5. Cho biết ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng y=mx+b bất kì. 6. Cho biết ma trận của phép lấy đối xứng qua tâm là điểm bất kì.
7. Cho biết ma trận của phép biến dạng theo phương của đường thẳng y=mx+b.
8. Chứng minh rằng ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng tương đương với kết hợp của phép lấy đối xứng qua trục hồnh và phép quay quanh gốc tọa độ một gĩc 900.
9. Chứng minh rằng ma trận của phép lấy đối xứng qua đường thẳng tương đương với kết hợp của phép lấy đối xứng qua trục tung và phép quay quanh gốc tọa độ một gĩc 900.
10. Trong phép biến đổi tỉ lệ, được gọi là các hệ số tỉ lệ theo phương của trục hồnh và phương của trục tung. Hãy cho biết cơng thức của phép biến đổi tỉ lệ theo phương của các trục nghiêng so với trục hồnh (các trục này trực giao với nhau) một gĩc với các hệ số tỉ lệ theo các phương trên là .
11. Chứng minh rằng cặp hai phép tỉ lệ là giao hốn, nghĩa là . Tương tự cho cặp hai phép quay.
12. Chứng minh rằng phép đồng dạng và phép quay tạo thành một cặp thao tác cĩ tính giao hốn, nhưng phép biến đổi tỉ lệ thường và phép quay thì khơng vậy.
13. Trình bày ma trận của phép biến dạng dưới dạng tích ma trận của các phép quay và các phép tỉ lệ.
14. Trình bày ma trận của phép quay dưới dạng tích ma trận của các phép biến dạng và tỉ lệ.
15. Chứng minh rằng phép quay quanh gốc tọa độ cĩ thể được phân tích thành ba phép biến dạng. Đây là cách để quay một ảnh nhanh vì phép biến dạng thường được thực hiện bằng cách di chuyển tồn bộ các khối điểm ảnh (block pixels).
16. Chứng minh một phép biến đổi affine bất kì cĩ thể được phân tích thành tích của các phép tịnh tiến, tỉ lệ và quay.
17. Chứng minh cơng thức tính tọa độ của một điểm khi thực hiện phép biến đổi giữa các hệ tọa độ
18. Hệ tọa độ nhận được bằng cách quay quanh gốc tọa độ một gĩc rồi tịnh tiến theo vector tịnh tiến hệ tọa độ . Hãy cho biết cơng thức tọa độ của điểm P trong hệ tọa độ nếu là tọa độ của P trong hệ tọa độ .
19. Viết chương trình minh họa các bước kết hợp các phép biến đổi cơ sở để tạo thành phép quay một điểm quanh tâm bất kì. Thực hiện tương tự cho phép tỉ lệ cĩ tâm tỉ lệ là điểm bất kì.
20. Viết chương trình cho phép người dùng sử dụng các phép biến đổi đã học thao tác lên một đối tượng cho trước.
Thảo luận Chương 4
Hiển thị đối tượng hai chiều
Chương này sẽ đề cập tới các kĩ thuật để hiển thị các đối tượng hai chiều trên các thiết bị như màn hình, máy in, …
Các hệ đồ họa cho phép người dùng mơ tả các hình ảnh bằng hệ tọa độ thế giới thực. Nĩ cĩ thể là bất kì hệ tọa độ Descartes nào mà người dùng cảm thấy thuận tiện nhất khi sử dụng. Các hình ảnh được mơ tả trong hệ tọa độ thực sau đĩ sẽ được các hệ đồ họa ánh xạ vào hệ tọa độ thiết bị. Thơng thường các hệ đồ họa cho phép người dùng xác định vùng nào của hình ảnh được hiển thị và nĩ sẽ được hiển thị ở đâu trên màn hình. Ta cĩ thể chọn một vùng hay một số vùng để hiển thị cùng một lúc, các vùng này cĩ thể đặt ở các nơi khác nhau trên màn hình hay lồng vào nhau. Quá trình biến đổi này địi hỏi các phép biến đổi như dịch chuyển, quay, biến đổi tỉ lệ; và các thao tác loại bỏ các vùng hình ảnh nằm ngồi vùng được định nghĩa, ….
4.1. Qui trình hiển thị các đối tượng hai chiều.