3.3.1. Giới thiệu
Hệ mã hóa trên đƣờng cong Elliptic là một hệ mã hóa công khai. Trong hệ mã hóa công khai, mỗi user hoặc thiết bị tham gia giao tiếp thƣờng có một cặp khóa, một công khai và một bí mật. Chỉ có những ngƣời dùng cụ thể biết khóa riêng trong khi khóa công khai đƣợc phân phối cho tất cả ngƣời dùng tham gia vào các giao tiếp. Một số thuật toán khóa công khai có thể yêu cầu một tập các hằng số đƣợc xác định trƣớc để các thiết bị tham gia vào các giao tiếp có thể biết đến (ví dụ nhƣ miền thông số của đƣờng cong là các hằng số đƣợc xác định trƣớc).
Hệ mã hóa trên đƣờng cong Elliptic có thể thực hiện trong 3 trƣờng. Trƣờng số thực, trƣờng nguyên tố (là trƣờng hữu hạn Fp với p là số nguyên tố), trƣờng nhị phân. Phép toán chính trên đƣờng cong là phép cộng, phép nhân, phép nhân đôi trên tọa độ các điểm. Các phép toán này có thể thực hiện trên tất cả các trƣờng. Tuy nhiên trong mã hóa, hệ thống xử lý trên trƣờng nguyên tố đƣợc sử dụng nhiều hơn cả, nó phù hợp cho mục đích xây dựng các phần mềm. Sơ đồ dƣới đây đƣa ra mô hình phân cấp của hệ mã hóa trên đƣờng cong Elliptic.
Elliptic Curve Cryptography Fields
Real number field Prime field 2m galois field Point Addition Point Multiplication Point doubling
Cryptographic algorithms
Bảng 3.3. mô hình phân cấp của hệ mã hóa trên đƣờng cong Elliptic
Trong trƣờng nguyên tố, cho p là số nguyên tố (p>3). Các phép toán của hệ mã hóa EC đƣợc xác định trên đƣờng cong Elliptic y2 = x3 + ax + b (1), trong đó a, b Fp và . Mỗi giá trị khác nhau của “a” và “b” cho ta một đƣờng cong khác nhau. Tất cả các điểm (x, y), x, y Fp thỏa mãn phƣơng trình (1).
toàn và tốc độ xử lý cao hơn. Ƣu điểm chính của hệ mật đƣờng cong Elliptic là hệ mật mã này sử dụng khóa có độ dài nhỏ nhơn so với RSA. Một khóa 160-bit trên hệ mật có độ an toàn tƣơng đƣơng khóa 1024-bit trong RSA. Từ đó làm tăng tốc độ xử lý, do số phép toán dùng để mã hóa và giải mã ít hơn và yêu cầu các thiết bị có khả năng tính toán thấp hơn. Mặt khác tăng tốc độ và làm giảm năng lƣợng cần sử dụng trong quá trình mã hóa và giải mã. Với cùng một độ dài khóa thì ECC có nhiều ƣu điểm hơn so với các giải thuật khác, nên trong vài năm tới có thể ECC là giải thuật trao đổi khóa công khai đƣợc sử dụng phổ biến.