a) Phép toán hai ngôi
Cho G là một tập hơp. Phép toán hai ngôi (*) là một ánh xạ: (*):
,
Ví dụ: G = Z. Phép toán (*) là phép (+)
b) Nhóm
Một tập , với một phép toán hai ngôi * trên G đƣợc gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
- Tồn tại phần tử trung lập e G: e * x = x * e = x,
- Tồn tại phần tử nghịch đảo : * x = x * = e
Cấp của nhóm G là số phần tử của nhóm, ký hiệu |G|. Cấp của nhóm có thể là nếu G có vô hạn phần tử.
Nhóm Cyclic: Nhóm (G, *) đƣợc gọi là nhóm Cyclic nếu nó đƣợc sinh ra bởi một trong các phần tử của nó. Tức là có phần tử g G mà với mỗi a G, đều tồn tại số n N để gn = a. Khi đó g là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của nhóm G.
Ví dụ: (Z+
,*) gồm các số nguyên dƣơng là nhóm Cyclic có phần tử sinh là 1.
Cấp của nhóm Cyclic: Cho (G,*) là nhóm Cyclic với phần tử sinh là g, và phần tử trung lập e. Nếu tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất n mà gn = e thì G sẽ chỉ gồm có n phần tử khác nhau: e, g, g1, g2,…, gn-1. Khi đó G đƣợc gọi là nhóm Cyclic hữu hạn cấp n. Nếu không tồn tại số tự nhiên n để gn = e thì G có cấp vô hạn.
c) Vành
Vành là một tập R với 2 toán tử + (cộng) và * (nhân)thỏa mãn các điều kiện sau: <R,+> là nhóm Abel
<R,*> là nửa nhóm
Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z X ta có: x(y + z) = xy + xz và
(y + z) x = yx + zx
Nếu phép nhân là giao hoán thì R đƣợc gọi là vành giao hoán
d) Trƣờng
Giả sử F là tập hợp khác rỗng, trên đó có hai phép toán đóng hai ngôi bất kỳ, chẳng hạn ký hiệu là + (cộng) và * (nhân). F là một trƣờng nếu và chỉ nếu:
(F,+) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "0" (F\{0},*) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "1" Các phép toán cộng và nhân có tính chất phân phối:
a(b+c) = ab + ac
Số phần tử của một trƣờng đƣợc gọi là bậc của một trƣờng. Một trƣờng có số phần tử hữu hạn đƣợc gọi là trƣờng hữu hạn, một trƣờng có số phần tử vô hạn đƣợc gọi là trƣờng vô hạn.
Trƣờng hữu hạn là trƣờng chứa hữu hạn các phần tử. Mọi trƣờng hữu hạn có một số nguyên tố là đặc số của trƣờng. Một trƣờng F có đặc số thì với mọi , ⏞
e. Trƣờng hữu hạn Trƣờng hữu hạn Fp:
Cho p là số nguyên tố. Trƣờng hữu hạn Fp bao gồm tập các số nguyên {0,1,2,..,p- 1}cùng với các phép toán:
Phép cộng: Nếu a, b Fp , ta có a + b = r, với r là phần dƣ khi chia a + b cho p và
. Đây gọi là phép cộng modulo p.
Phép nhân: Nếu a, b Fp , ta có a.b = s, với s là phần dƣ khi chia a.b cho p và
. Đây gọi là phép nhân modulo p. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Phép nghịch đảo: Nếu a Fp (a 0), phép nghịch đảo của a modulo p, ký hiệu là a-1, nếu tồn tại duy nhất số nguyên c Fp sao cho a.c = 1.
Trƣờng hữu hạn :
Trƣờng , kí hiệu , đƣợc gọi là trƣờng hữu hạn nhị phân. Khi đó tồn tại m phần từ trong sao cho mỗi phẩn tử
có thể viết duy nhất dƣới dạng:
với
Một bộ đƣợc gọi là cơ sở của trên F2. Với mỗi cơ sở nhƣ vậy thì một phần tử của trƣờng có thể biểu diễn dƣới dạng xâu bit ( ).