Hệ số Hilbert của vành và môđun Cohen Macaulay
3.2 Hệ số Hilbert thứ và thứ nhất của vành Cohen-Macaulay
Định lý sau nêu lên các đặc trưng cơ bản của môđun CM.
Định lý 3.2.1. Cho(A,m) là vành Noether địa phương, M làA-môđun hữu hạn sinh với dimM = d. Các mệnh đề sau tương đương:
(i) M là môđun CM.
(ii) Mọi iđêan tham số q = (x1, . . . , xd) ta có e0q(M) = `A(M/qM). (iii) Tồn tại iđêan tham số q = (x1, . . . , xd) ta có e0q(M) =`A(M/qM).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử (x1, . . . , xd) là hệ tham số của M và q = (x1, . . . , xd). Vì M là môđun CM nên (x1, . . . , xd) là dãy chính quy. Khi đó ta có đẳng cấu Gq(M) ∼= M/qM[X
1, . . . , Xd]. Ta có e0q(M) = `A(M/qM). (ii) ⇒ (iii) Hiển nhiên.
(iii) ⇒ (i) Giả sử q = (x1, . . . , xd) là iđêan tham số thỏa mãn e(q, M) =
`A(M/qM). Đặt B = M/qM[X1, . . . , Xd], ta có toàn cấu ψ : B −→
Gq(M). Do đó tồn tại iđêan thuần nhất bcủa B sao choGq(M) ∼= B/b. Gọi
ϕB(n) , ϕb(n) lần lượt là đa thức Hilbert của B và b. Khi đó, với n đủ lớn
ϕB(n) = `A(M/qM) n+ 1−d d−1 . Ta có `A(qn/qn+1) = ϕB(n)−ϕb(n)
Ta lại thấy `A(qn/qn+1) và ϕB(n) đều có bậc cao nhất là d−1 và hệ số của bậc cao nhất là e
0
q(M)
(d−1)! nên ϕb(n) có bậc không vượt quá d−2. Ta đi chứng minh b = (0). Thật vậy, giả sử b 6= (0), ta có thể chọn một phần tử thuần nhất khác không là f(X) ∈ b. Vì qlà iđêan tham số nên mr ⊂q. Đặt
m/q= m. Ta cómr = (0). Do vậy có thể thay f bởi tích củaf với một phần tử nào đó của m. Giả sử f 6= 0 mà mf = 0. Khi đó
b ⊃ f B ∼= (M/mM)[X 1, . . . , Xd], và do đó nếu degf = pthì ϕb(n) > n−p+d−1 d−1 (∗), trong đó n−p+d−1 d−1
là độ dài của thành phần thuần nhất bậc n − p trong
(M/mM)[X1, . . . , Xd]. Từ (∗) ta thấy ϕb(n) có bậc lớn hơn d − 2 (mâu thuẫn với nhận xét trên). Do vậy b = (0). Khi đó ta có đẳng cấu
Gq(M) ∼= B = (M/qM)[X
1, . . . , Xd].
Vậy (x1, . . . , xd) làM -dãy. Suy ra M là môđun Cohen-Macaulay.
Sau đây ta sẽ tìm hiểu đặc trưng của vành Cohen-Macaulay qua hệ số Hilbert thứ nhất. Ta nói rằng A là không trộn lẫn nếu dimA/pb = d với
mọi p ∈ AssAb, trong đó Ab là đầy đủ của A theo tôpô I-adic. Wolmer V. Vasconcelos đã đưa ra giả thuyết:
Giả sử rằng A là không trộn lẫn. Khi đó A là vành Cohen - Macaulay địa phương khi và chỉ khi e1q(A) = 0 với iđêan tham số qcủa A.
Ghezzi, Hong và Vasconcelos đã chứng minh giả thuyết trên là đúng [3] nếu A là một miền nguyên và là ảnh đồng cấu của một vành Cohen - Maccaulay. Mandal và Verma [7] chứng minh rằnge1q(A) ≤ 0với mọi iđêan tham số q trong một vành Noether địa phương tùy ý A và chứng minh rằng
e1q(A) < 0 nếu depthA = d−1.
Trước hết ta nhắc lại một số kết quả chuẩn bị sau.
Mệnh đề 3.2.2. Giả sử (A,m) là vành Noether địa phương, M là A-môđun
dimM = d.Khi đóM làA-môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khiHmi(M) = 0với mọi i = 0, ..., d−1.
Định nghĩa 3.2.3. Giả sửA là vành Noether, I là một iđêan của A. Phần tử
a ∈ I được gọi là phần tử siêu bề mặt củaI (superficial element) nếu tồn tại số tự nhiên c sao cho:
(I : aA)∩Ic = In−1
với mọin > c.
Mệnh đề 3.2.4 ([5]). Giả sử (A,m) là vành Noether địa phương với d = dimA > 1 và có môđun chính tắc. Giả sử dimA/p = d với mọi p ∈
Ass(A)\ {m}. Khi đó các điều sau là đúng: (i) Hm1(A) là môđun hữu hạn sinh;
(ii) TậpF = {p∈ Spec(A) | dimAp > depth(Ap = 1)}là tập hữu hạn; (iii) Giả sử k = A/m là trường vô hạn và I là iđêanm-nguyên sơ củaA. Khi đó tồn tại a ∈ I \mI mà a là phần tử siêu bề mặt của I và dimA/p =
d−1 với mọi p∈ AssA(A/aA)\ {m}.
Chú ý nếu A là vành đầy đủ, tức A = Abthì A có môđun chính tắc. Đặt AsshA = {p ∈ AssA|dimA/p = d} và giả sử 0 = Tp∈AssAI(p)
trong A. Ta đặt:
UA(0) = \
p∈AsshAI(p)
và gọi nó là thành phần không trộn lẫn của0 trong A.
Định lý 3.2.5. Giả sử(A,m)là vành Noether địa phương vớid = dimA > 0
và cho q là một iđêan tham số trong A. Khi đó ba điều kiện sau là tương đương với nhau:
(i) A là vành Cohen - Macaulay.
(ii) A không trộn lẫn và e1q(A) ≥0.
(iii) A không trộn lẫn và e1q(A) = 0.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (ii) ⇒ (i). Cho q = (a1, a1, ..., ad) với
a1, ..., aq là hệ tham số của A. Theo [9] ta có thể giả sử trường k = A/m là vô hạn và A là đầy đủ. Theo [6] khẳng định đúng với d ≤ 2. Giả sử d ≥ 3
và khẳng là định đúng với d−1. Theo Mệnh đề 3.2.4 tồn tại x = a1 là phần tử siêu bề mặt của iđêan tham số q và Ass(A/xA) \ {m} = Assh(A/xA). Do đó thành phần không trộn lẫn U = UA(0) của (0) trong A = A/xA có độ dài hữu hạn. Do đó U = Hm0(A). Theo [6], ta có
e1q(A/U) = e1q(A) =e1q(A) ≥0.
Mặt khác dimA/U = d−1 nên theo giả thiết quy nạp, ta có vành A/U là Cohen-Macaulay. Do đó Hmi (A) = 0 với mọi i 6= 0, d−1. Từ dãy khớp
0−→ A −→x A −→ A−→ 0
của các A- môđun, ta có các dãy khớp dài
ã ã ã −→ Hm1(A) −→x Hm1(A) −→ Hm1(A) −→ ã ã ã ã ã ã −→ Hmi−1(A) −→ Hmi(A) −→x Hmi (A) −→ ã ã ã ã ã ã −→Hmd−2(A) −→ Hmd−1(A) −→x Hmd−1(A) −→ ã ã ã
các môđun đối đồng điều địa phương. Do đó ta có Hmi (A) = (0) với mọi
Hm1(A) = xHm1(A) vì Hm1(A) = (0). Vì vậy Hm1(A) = (0) vì A- môđun
Hm1(A) là hữu hạn sinh. Do đó Alà một vành Cohen - Macaulay theo Mệnh đề 3.2.2.
ChoAlà một vành Noether địa phương với iđêan tối đạimvàd = dimA >
0. Cho U = UA(0) và đặt B = A/U. Giả sử rằng U 6= (0) với dimAU = t. Khi đó t < d. Cho qlà một iđêan tham số trong A. Khi đó ta có
lA(A/qn+1) = lA(B/qn+1B) + lA(U/qn+1 ∩U)
với mọi số nguyên n ≥ 0. Do đó, hàm lA(U/qn+1 ∩ U) là một đa thức với
n 0với bậc tvà tồn tại các số nguyên {sqi(U)}0≤i≤t thỏa mãn
lA(U/qn+1 ∩U) = t X i=0 (−1)isiq(U) n+t−i t−i với n 0, s0q(U) =e0q(U) ≥ 1 và lA(A/qn+1) = d X i=0 (−1)ieiq(B) n+d−i d−i + t X i=0 (−1)isiq(U) n+t−i t−i .
So sánh hệ số các đa thức, ta có hệ quả sau. Bổ đề 3.2.6. Với các giả thiết ở trên, ta có
(−1)d−iedq−i(A) =
(
(−1)d−iedq−i(B) + (−1)t−istq−i(U) 0 ≤ i ≤ t,
(−1)d−ieqd−i(B) t+ 1 ≤i ≤d.
Do đóe1q(A) = e1q(B)−e0q(U)nếut= d−1vàe1q(A) = eq1(B)vớit ≤ d−2.
Từ đó ta có e1q(A) ≤ eq1(B) và dấu bằng xảy ra nếu t ≤d−2.
Hệ quả 3.2.7. qlà một iđêan tham số trong vành Noether địa phương Avới
d= dimA > 0. Khi đó các khẳng định sau là đúng: (i) e1q(A) ≤0.
Chứng minh. (i) Ta có thể giả sử A là đầy đủ. Vì
e1q(A) ≤ e1q(A/U)
với U = UA(0). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử A là không trộn lẫn. Giả sử e1q(A) > 0, theo Định lý 3.2.5 A là vành Cohen - Macaulay và
e1q(A) = 0. Do đó e1q(A) ≥ 0.
(ii) Ta có thể giả sử rằng trường A/m là vô hạn. Theo [6] hệ quả đúng khid = 1. Giả sử d ≥ 2 và chọn một phần tử x ∈ q mq để x là phần tử siêu bề mặt của q. Ta có
e1q(A) =e1q(A/xA)
theo [6]. Theo quy nạp thì e1q(A/xA) < 0. Do đó e1q(A) < 0.
Định lý 3.2.8. Cho U = UA(0) là thành phần không trộn lẫn của (0) trong
A và cho qlà một iđêan tham số của A. Xét hai điều kiện sau: (i) e1q(A) = 0.
(ii) Vành địa phương A/U là Cohen - Maccaulay và dimAU ≤ d−2. Khi đó ta luôn có(ii) ⇒(i). (i) ⇒(ii)đúng khiAlà ảnh đồng cấu của một vành Cohen - Macaulay, do đó hai điều kiện trên là tương đương với nhau. Chứng minh. Theo Bổ đề 3.2.6, ta có (ii) ⇒ (i). Giả sử rằng A là một ảnh đồng cấu của một vành Cohen - Macaulay. Chúng ta sẽ chứng minh
(i) ⇒ (ii). Đặt U = UA(0) và đặt C = A/U. Khi đó C là một vành địa phương không trộn lẫn vìC là ảnh đồng cấu của một vành Cohen - Macaulay và dimC/P = d với mọi P ∈ AssC. Nếu U 6= 0 thì A là không trộn lẫn, theo Định lý 3.2.5 ta cóAlà vành Cohen - Macaulay. Giả sử rằngU 6= (0)và đặtt = dimAU. Khi đót ≤ d−2. Hơn nữa theo Hệ quả 3.2.7 và e0q(U) ≥ 1,
e1q ≤ 0, ta có
e1q(A) = e1q(C)−e0q(U) < 0
Do đóe1q(C) =e1q(A) = 0theo Bổ đề 3.2.6 và kéo theo C là một vành Cohen - Macaulay theo Định lý 3.2.5.
Chú ý rằng nếuAkhông là ảnh đồng cấu của một vành Cohen - Maccaulay thì(i) ⇒(ii) nhìn chung không đúng. Chúng ta gọi những vành địa phương
A với e1q(A) = 0 với một iđêan tham số q của A là vành Vasconcelos. Hiển nhiên rằng vành Cohen - Macaulay là vành Vasconcelos.
Hệ quả 3.2.9. Cho A là một vành Noether địa phương với iđêan tối đại m
và d = dimA > 0. Cho q là iđêan tham số của A. Giả sử rằng eiq(A) = 0
với 1 ≤i ≤ d. Khi đó A là một vành Cohen - Macaulay.
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng A là đầy đủ m - adic. Đặt U = UA(0). Khi đóe0q(A) =eq0(A/U) vìdimAU < d. Mặt khác, theo Định lý 3.2.8 A/U
là vành Cohen - Macaulay. Do đó:
lA(A/qn+1) = lA(A/[U +qn+1]) +lA(U/qn+1U)
với n≥ 0. Ta có lA(U/qn+1U) = (0) với n 0 vì
lA(A/qn+1) = e0q(A) n+d d với mọin 0 và lA(A/[U +qn+1) =e0q(A/U) n+d d
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số kết quả nghiên cứu về vành và môđun Cohen - Macaulay, cụ thể.
Trình bày một cách có hệ thống định nghĩa, các tính chất của dãy chính quy; độ sâu của môđun; vành và môđun Cohen - Macaulay. Chứng minh chi tiết nếu A là vành Cohen - Macaulay khi đó một vành đa thức A[x1, ..., xn]
cũng là vành Cohen - Macaulay, do đó bất kì vành Cohen - Macaulay là catenary phổ dụng.
Trình bày chi tiết hệ số Hilbert của vành và môđun. Đặc trưng vành Cohen - Macaulay qua hệ số thứ không và thứ nhất của đa thức Hilbert.