Định nghĩa 2.2.1. Cho(A,m)là vành Noether địa phương vàM làA- môđun hữu hạn sinh. Ta nói rằng M là môđun Cohen - Macaulay nếu M = 0 hoặc
depthM = dimM. Vành A được gọi là vành Cohen -Macaulay nếu nó là
A− môđun Cohen - Macaulay.
Như vậy vành Noether địa phương là Cohen - Macaulay nếu chiều của nó bằng độ dài chung các dãy A- chính quy tối đại trongm. Tính chất Cohen - Macaulay được bảo toàn qua đẳng cấu vành và môđun.
Ví dụ 2.2.2. Cho A là vành Noether địa phương. Nếu dimA = 0 thì A là Cohen - Macaulay vì m là một iđêan nguyên tố liên kết của A nên không có phần tử nào của m là chính quy. Nếu dimA = d ≥ 1 thì A là Cohen - Macaulay khi và chỉ khi tồn tại một dãy A- chính quy trong m có độ dài là
d.
Nhắc lại rằng với môđun M trên một vành Noether địa phương A, các phần tử không tối tiểu của Ass(M) được gọi là các iđêan nguyên tố nhúng của M. Vì vành Noether có một chuỗi giảm các iđêan nguyên tố nên mọi iđêan nguyên tố liên kết củaM chứa một iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu. Định lý 2.2.3. Cho (A,m) là một vành Noether địa phương và M là A- môđun hữu hạn sinh. Khi đó:
(i) Nếu M là môđun Cohen - Macaulay và p ∈ Ass(M) thì ta có
depth(M) = dim(A/p), dẫn đến M không có các iđêan nguyên tố nhúng.
(ii)Nếua1, ..., arlà dãyM- chính quy trongmvàM0 = M/(a1, ..., ar)M
thì M là Cohen - Macaulay khi và chỉ khi M0 là Cohen- Macaulay.
(iii) Nếu M là Cohen- Macaulay thì với mỗi p ∈ Spec(A), Ap- môđun
Mp là Cohen- Macaulay và nếu Mp 6= 0 ta có depthp(M) = depthAp(Mp). Chứng minh. (i)VìAss(M) 6= ∅nênM khác không. Theo giả thiếtdepth(M) = dimM. Ta có p ∈ Supp(M) nên p ⊇ Ann(M), suy ra dimM ≥ dim(A/p). Mặt khác dim(A/p) ≥ depthM. Vì vậy depth(M) = dim(A/p).
Nếu p ∈ Ass(M) là một iđêan nguyên tố nhúng thì tồn tại một iđêan nguyên tố tối tiểu q ∈ Ass(M) với q ⊂ p. Nhưng theo trên dimA/p = dimA/q. Điều này là vô lý dẫn đến M không có iđêan nguyên tố nhúng.
(ii) Theo Bổ đề Nakayama ta có M = 0 khi và chỉ khi M0 = 0. Giả sử
M 6= 0, khi đó dimM0 = dimM −r theo Mệnh đề 2.1.26 và depthM0 = depthM −r theo Bổ đề 2.1.28.
(iii) Ta giả sử rằng Mp 6= 0, do đó p ⊇ AnnM. Ta biết rằng dimMp ≥
depthApMp ≥ depthp(M), chúng ta sẽ chứng minh depthM0 = dimMp
bằng phương pháp quy nạp theodepthp(M). Nếudepthp(M) = 0 thì không có phần tử nào củap là chính quy trênM, do đó pchứa trong p0 ∈ Ass(M). NhưngAnn(M) ⊆ p⊆ p0 và các iđêan nguyên tố liên kết củaM là các iđêan nguyên tố tối tiểu qua iđêan Ann(M) theo (i). Do đó p = p0 và p là phần tử tối tiểu của Supp(M). Chiều của Mp là độ dài của chuỗi lớn nhất trong
Supp(Mp). Nếu p0Ap ⊂ ... ⊂ psAp = pAp là chuỗi có độ dài s = dimMp
thìp0Ap là tối tiểu và do đóp0 ∈ Ass(M). Điều đó dẫn đếnp0 = pvàs = 0. Bây giờ ta giả sử depthp(M) > 0, lấy một phần tử M- chính quy a ∈ p và đặt M1 = M/aM. Phần tử a/1∈ Ap là Mp- chính quy. Do đó ta có:
dim(M1)p = dimMp/aMp = dimMp −1
và depthp(M1) = depthp(M) − 1. Vì M1 là Cohen - Macaulay theo (ii), theo giả thiết quy nạp ta códim(M1)p = depthp(M1). Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.4. Cho (A,m) là vành Noether địa phương và a1, ..., ar là dãy
A- chính quy trong m. A0 là vành A/(a1, ..., ar). Khi đó A là vành Cohen- Macaulay khi và chỉ khiA0 là vành Cohen - Macaulay.
Chứng minh. Cho I = (a1, ..., ar). Hiển nhiên rằng A0 là một vành Cohen - Macaulay khi và chỉ khi nó là môđun Cohen - Macaulay trên A. Chiều của
A0 khi A0 là một A- môđun và chiều của A0 khiA0 là một môđun trên chính nó là bằng nhau. Mặt khác, hiển nhiên dãy b1, ..., bs ∈ m là một dãy A0 -
chính quy khi và chỉ khi b1 +I, ..., bs +I ∈ m/I là một dãy A0- chính quy. Do vậy depthAA0 = depthA0 A0.
Hệ quả 2.2.5. Cho A là một vành địa phương Cohen - Macaulay và p là iđêan nguyên tố. Khi đóAp là vành Cohen - Macaulay địa phương vàht(p) = dimAp = depthpA.
Chứng minh. Hệ quả này được suy ra từ Định lý 2.2.3. Ta hiểu dimAp là chiều Krull của vành.
Bổ đề 2.2.6. Cho A là một vành Noether, I là một iđêan thực sự và a ∈ I
là phần tử chính quy. Khi đó ht(I)/(a) =ht(I)−1.
Chứng minh. Các nguyên tố tối tiểu của iđêan I/(a) của A/(a) tương ứng với các iđêan nguyên tố tối tiểu của I. Ta chỉ cần chứng minh I = p là một iđêan nguyên tố của A. Ta tham khảo một chứng minh ngắn gon trong [1], Hệ quả 5.4.8.
Bổ đề 2.2.7. Cho A là vành địa phương Cohen - Macaulay và I là iđêan thực sự với ht(I) = r ≥ 1. Khi đó ta có thể chọn a1, ..., ar ∈ I sao cho
ht(a1, ..., ai) =i với 1 ≤i ≤ r.
Chứng minh. Chúng ta khẳng định rằng tồn tại một phần tử chính quya ∈ I. Trái lại nếu mọi phần tử củaI là một ước của không trên Athì I chứa trong hợp của số hữu hạn các iđêan nguyên tố trong Ass(A) và do đó chứa trong
p∈ Ass(M). Theo Định lý 2.2.3 thì các iđêan nguyên tố là tối tiểu và do đó
I ⊆ p, suy ra ht(I) = 0. Điều này mâu thuẫn.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh quy nạp theo r. Với r = 1, a ∈ I là chính quy. Theo Định lý PID của Krull thì ht(a) = 1. Giả sử r > 1, a ∈ I
là chính quy. Theo Bổ đề 2.2.6 thì ht(I)/(a) = r −1, do đó theo giả thiết quy nạp, tồn tại a1, ..., ar−1 ∈ I, ht(a, a1, ..., ai)/(a) =i với 1≤ i ≤ r−1. Do vậy
ht(a, a1, ..., ai) = i+ 1
Định lý 2.2.8. Cho (A,m) là vành Cohen - Macaulay. Khi đó:
(i) Với mọi iđêan thực sựI của A ta có:
ht(I) = depthI(A) =G(I),
ht(I) + dim(A/I) = dimA.
(ii) A là catenary.
(iii) Với mỗi dãy a1, ..., ar ∈ m các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) Dãy a1, ..., ar là A- chính quy;
(2) ht(a1, ..., ar) = i với 1≤ i ≤ r;
(3) ht(a1, ..., ar) = r;
(4) Tồn tại hệ tham số của A chứa {a1, ..., ar}. Chứng minh. Chứng minh(iii):
(1) ⇒(2) theo Bổ đề 2.1.22. (2) ⇒(3) là tầm thường.
(3) ⇒(4). NếudimA = r ≥ 1thì(a1, ..., ar)làm- nguyên sơ, do đó điều này là hiển nhiên. NếudimA > r thìmkhông là iđêan nguyên tố tối tiểu của
(a1, ..., ar). Do đó ta có thể lấyar+1 ∈ mmà không thuộc bất kì iđêan nguyên tố tối tiểu của (a1, ..., ar). Theo cách xây dựng ht(a1, ..., ar+1) ≥ r + 1 nên
ht(a1, ..., ar+1) = r + 1 theo Định lý iđêan chính của Krull. Tiếp tục quá trình này ta xây dựng được hệ tham số của A. Chú ý rằng điều này là đúng với mọi vành Noether địa phương.
(4) ⇒(1). Ta chứng minh rằng mọi hệ tham sốx1, ..., xn của vành Cohen - Macaulay là một dãy A- chính quy. Ta chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp theo n. Đặt I = (x1, ..., xn) và đặt A0 = A/x1. Nếu n = 1
và (x1) là m- nguyên sơ. thì khi đó x1 là chính quy. Nếu không thì x1 ∈ p
với p ∈ Ass(A), điều này kéo theo m = p là iđêan nguyên tố tối tiểu của 0 (vì theo Định lý 2.2.3 thì mọi iđêan nguyên tố của Ass(M) là tối tiểu), mâu thuẫn với dimA = 1. Bây giờ ta giả sử n > 1. Do A là Cohen - Macaulay, các chiềudim(A/p) vớip ∈ Ass(A)đều bằng nhau và bằng n = dimA. Với
p∈ Ass(A) ta có
r(I +p) =r(r(I) +r(p)) = r(m+ p) = m
Do đó iđêan p+ I là m- nguyên sơ. Kéo theo p+ I/p là một iđêan m/p- nguyên sơ trong vành A/p có số chiều là n. Theo Định lý iđêan chính của Krull, p+ I/p không thể sinh ra bởi ít hơn n phần tử. Điều này chỉ ra rằng
x1 ∈/ p với p ∈ Ass(A) do đó x1 là chính quy. Đặt A0 = A/(x1). Theo Hệ quả 2.2.4 A0 là vành Cohen - Macaulay và nó có số chiều bằng n−1 theo Mệnh đề 2.1.26. Các ảnh củax2, ..., xn trong A0 lập thành tập các hệ số của
A0. Do đó x2 + (x1), ..., xn+ (x1) tạo thành một dãy A0- chính quy (A0 như là A0- môđun) theo giả thuyết quy nạp và x2, ..., xn là một dãy A0 - chính quy (A0 là A- môđun). Vậy x1, ...xn là một dãy A- chính quy.
(i) Cho I là một iđêan thực sự của A. Nếu ht(I) = 0 thì tồn tại một iđêan nguyên tố p tối tiểu của I với ht(p) = 0. Do p tối tiểu của 0 nên ta có p ∈ Ass(A) và mọi phần tử của I linh hóa tử một phần tử khác không của A, nên không tồn tại dãy A- chính quy trong I và G(I) = 0. Bây giờ ta giả sử rằng ht(I) = r với r ≥ 1. Sử dụng Bổ đề 2.2.7, ta xây dựng được
a1, ..., ar ∈ I, với ht(a1, ..., ai) = i, 1 ≤ i ≤ r. Khi đó dãy a1, ..., ar là dãy
A- chính quy theo (iii), do đór ≤ G(I). Ngược lại, nếub1, ..., bs là một dãy
A- chính quy trong I thì ht(b1, ..., bs) = s ≤ ht(I) theo Bổ đề 2.1.22. Vậy
ht(I) = G(I).
Đầu tiên chứng minh biểu thức thứ hai theo iđêan nguyên tố p. Đặt
dimA= depthA = nvàht(p) =r. Nếur = 0thìdim(A/p) = depthA = n
theo định lý 2.2.3(i). Nếur ≥ 1, doAp là vành địa phương Cohen - Macaulay và ht.p = dimAp = depthp(A), ta có thể tìm được một dãy A- chính quy
a1, ..., ar trong p. Khi đó A/(a1, ..., ar) là vành Cohen - Macaulay n − r
chiều,plà một iđêan nguyên tố tối tiểu của a1, ..., ar, nêndim(A/p) =n−r
Bây giờ cho I là một iđêan thực sự tùy ý với ht.I = r. Ta có:
dim(A/I) = Sup{dim(A/p)|p ∈ V(I)}.
= Sup{dimA−ht(p)|p ∈ V(I)}.
Tồn tại một iđêan nguyên tốptối tiểu của I với ht(p) =r, do đó hiển nhiên rằng dim(A/I) = dimA−r.
(ii) Nếuq ⊂plà các iđêan nguyên tố của A. DoAp là Cohen - Macaulay nên ta có dim(Ap) = ht(q)Ap + dimAp/qAp, do đó A là xích.
Định nghĩa 2.2.9. Ta nói vành Noether A là Cohen - Macaulay nếu Ap là vành Cohen - Macaulay địa phương với mọi iđêan nguyên tố p của A.
Dễ thấy tính chất Cohen - Macaulay được bảo toàn qua đẳng cấu vành. Bổ đề 2.2.10. Cho A ⊆ B là vành Noether khác không với B nguyên trên
A và giả sử rằng B là một A- môđun phẳng. Nếu A là Cohen - Macaulay thì B cũng là Cohen- Macaulay.
Chứng minh. Cho q là một iđêan nguyên tố của B và p= q∩A. Khi đó Bq
là phẳng trên Ap. Theo Bổ đề 2.1.3, ta có
depthBq(Bq) ≥ depthAp(Ap) = dim(Ap).
Mặt khác dim(Bq) ≤ dim(Ap). Do đó depthBq(Bq) ≥ dim(Bq) Vậy Bq là Cohen - Macaulay.
Định nghĩa 2.2.11. Cho A là một vành Noether và I là một iđêan thực sự. Đặt AssA(A/I) = {p1, ...,ps} là các iđêan nguyên tố liên kết của I. Ta nói rằng I không trộn lẫn nếu htpi = ht(I) với mọi i. Trong trường hợp này thì tất cả các pi là tối tiểu và A/I không có các iđêan nguyên tố nhúng. Ta nói rằng Định lý về sự không trộn lẫn đúng trong A nếu điều sau là đúng:
Cho r ≥ 0, nếu I là iđêan thực sự có độ cao r được sinh bởi r phần tử, khi đó I không trộn lẫn.
Chú ý rằng một iđêan không trộn lẫn khi và chỉ khi A/I không có các iđêan nguyên tố nhúng và với r = 0 thì điều kiện này có nghĩa là A không có các iđêan nguyên tố nhúng.
Bổ đề 2.2.12. . Cho A là vành Noether. Nếu định lý không trộn lẫn đúng trong Am, với mọi iđêan tối đại m thì định lý không trộn lẫn đúng trên A. Chứng minh. Cho I là iđêan thực sự có độ cao r được sinh bởir phần tử với
r ≥ 0. Đặt I = q1 ∩ ...qn là một phân tích nguyên sơ tối tiểu với qi là pi- nguyên sơ với 1≤ i ≤ n. Giả sử một trong những nguyên tố liên kết, chẳng hạn p1 là một iđêan nguyên tố nhúng của I, cho m là một iđêan tối đại chứa
p1. Sắp xếpqi để các iđêan nguyên tố p1, ...,ps chứa trongmcòn ps+1, ...,pn
thì không. Khi đó phân tích sau là một phân tích nguyên sơ tối tiểu của iđêan
IAm
IAm = q1Am ∩...qsAm.
Do vậy {p1Am, ...,psAm} là các iđêan nguyên tố tối tiểu của IAm. Vì p1 là nhúng, tồn tại 1 ≤ i ≤ s với pi ⊂ p1, do đó piAm ⊂ p1Am. Nhưng điều này mâu thuẫn, vì IAm có độ cao r, được sinh bởi r phần tử và định lý không trộn lẫn đúng trong Am. Như vậy định lý không trộn lẫn đúng trong A. Bổ đề 2.2.13. Cho A là một vành Noether và giả sử Định lý về sự không trộn lẫn đúng trongA. Nếu a ∈ A là chính quy thì Định lý về sự không trộn lẫn đúng trong A/(a).
Chứng minh. Cho I là iđêan thực sự của A và chứa a. Giả sử iđêan I/(a)
có độ cao r và được sinh ra bởi r phần tử trong A/(a). Theo Bổ đề 2.2.6 thì iđêan I có độ cao r + 1 và được sinh ra bởi r + 1 phần tử trong A
do đó I không trộn lẫn. Nếu {p1, ...,pn} là các iđêan nguyên tố liên kết của I thì các iđêan nguyên tố liên kết của I/(a) là {p1/(a), ...,pn/(a)}. Vì
ht(pi)−1 = ht(I)−1 = ht(I)/(a) nên I/(a) không trộn lẫn.
Bổ đề 2.2.14. Cho A là vành Noether và định lý về sự không trộn lẫn đúng trong A. Khi đó, nếu I là một iđêan thực sự với ht(I) = r ≥ 1 ta có thể chọn a1, ..., ar ∈ I sao cho ht(a1, ..., ar) =i với 1 ≤i ≤r.
Chứng minh. Chứng minh tương tự Bổ đề 2.2.7 trừ trường hợp chứng minh
I chứa một phần tử chính quy và trong bước quy nạp chúng ta sử dụng Bổ đề 2.2.13.
Định lý 2.2.15. ChoAlà một vành Noether. Khi đó Alà Cohen - Macaulay khi và chỉ khi định lý về sự không trộn lẫn đúng trong A.
Chứng minh. Giả sử định lí về sự không trộn lẫn đúng trong A và p là một iđêan nguyên tố có độ caor ≥0. Ta biết rằng:
r = dimAp ≥ depth(Ap) ≥ depthpA
theo Bổ đề 2.1.19. Nếu r = 0 thì không tồn tại phần tử chính quy thuộc
p, do đó depthpA = 0, tương đương với dimAp = 0 = depth(Ap) nên
Ap là Cohen - Macaulay. Nếu r ≥ 1 thì theo Bổ đề 2.2.14 ta có thể tìm
a1, ..., ar ∈ p sao cho ht(a1, ..., ar) = i, với 1 ≤ i ≤ r. iđêan (a1, ..., ar)
không trộn lẫn theo giả thuyết nên ai+1 không thuộc iđêan nguyên tố liên kết của A/(a1, ..., ar). Do vậy a1, ..., ar là một dãy A- chính quy trong p và
depthp(A) ≥r nên dimAp = r = depth(Ap), Ap là Cohen - Macaulay. Ngược lại, giả sử A là Cohen - Macaulay. Hiển nhiên rằng định lý về sự không trộn lẫn đúng trongAm với các iđêan tối đại m. Ta có thể bỏ đi trường hợp A là vành Cohen - Macaulay. Theo Bổ 2.2.3 thì 0 không trộn lẫn. Cho
(a1, ..., ar) là một iđêan có độ cao r > 0. Khi đó a1, ..., ar là một dãy A- chính quy theo Định lý 2.2.8, vậy nênA/(a1, ..., ar) là Cohen - Macaulay và
(a1, ..., ar) không trộn lẫn.
Hệ quả 2.2.16. Một vành NoetherAlà Cohen - Macaulay khi và chỉ khi Am
là vành Cohen - Macaulay địa phương với mọi iđêan tối đại m. Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.2.15 và Bổ đề 2.2.12.
Hệ quả 2.2.17. Cho A là vành Cohen - Macaulay. Nếu a1, ..., ar ∈ A sao cho ht(a1, ..., ai) = i với 1≤ i ≤ r thì a1, ..., ar là một dãy A- chính quy. Định lý 2.2.18. Cho A là vành Cohen - Macaulay. Khi đó vành đa thức
A[x1, ..., xn] cũng là Cohen - Macaulay. Do đó vành Cohen - Macaulay là catenary phổ dụng.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với n = 1. Cho q là iđêan nguyên tố củaB = A[x]và đặt p = q∩A. Ta phải chỉ ra rằng Bq là Cohen - Macaulay. Ta biết Bq đẳng cấu với Ap[x]qAp[x] với qAp[x] là iđêan nguyên tố của Ap[x]
thu hẹp thành pAp. Vì Ap là Cohen - Macaulay nên ta có thể không chứng minhBq là Cohen - Macaulay trong trường hợp Alà vành Cohen - Macaulay địa phương và p = q∩ A là iđêan tối đại. Khi đó B/BpB ∼= k[x] với k là một trường. Do đó hoặc q = pB hoặc q = pB +f B với f ∈ B = A[x] là một đa thức monic bậc dương. Mặt khác ta có: