Hệ số Hilbert của vành và môđun Cohen Macaulay
3.1Đa thức Hilbert và số bộ
Cho A là vành Artin (do đó A là Noether). Ta có `A(A) < ∞. Đặt B =
A[x1, . . . , xm], tức B là A-đại số hữu hạn sinh. Bn là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n. Khi đó B = ⊕
n≥0Bn. Cho M = ⊕
n≥0Mn là một B-môđun phân bậc hữu hạn sinh, thì Mn là A-môđun.
Khi đó ta có mệnh đề về độ dài của Mn như sau.
Mệnh đề 3.1.1. Cho A, B và M như trên, ta có `A(Mn) < ∞.
Theo mệnh đề trên độ dài của Mn luôn là hữu hạn, hơn nữa nó còn là một hàm đa thức với hệ số hữu tỷ được chỉ ra trong định lý sau đây.
Định lý 3.1.2 (Định lý đa thức Hilbert). Cho A là vành Artin. Đặt B =
A[x1, . . . , xm], khi đó B = ⊕
n≥0Bn là vành phân bậc với B0 = A, Bn là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n. Cho M = ⊕
n≥0Mn là một B-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại một đa thức hệ số hữu tỷ PM(n) sao cho `A(Mn) = PM(n) với n đủ lớn.
Đa thức PM(n) chỉ ra trong định lý trên được gọi là đa thức Hilbert của môđun M. Chú ý với mọi đa thứcf(x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f(n) ∈ Z, với mọin ∈ Z và degf = d thì ta luôn có thể viết f(x) được dưới dạng
f(x) = a0 x+d d −a1 x+d−1 d−1 +ã ã ã+ (−1)dad,
trong đóa0, a1, . . . , ad là các số nguyên xác định duy nhất, a0 > 0. áp dụng điều trên cho đa thức HilbertPM(n), ta có các số nguyên a0, a1, . . . , ad;a0 >
0sao cho PM(n) = a0 n+d d −a1 n+d−1 d−1 + ã ã ã+ (−1)dad
với degPM(n) = d và hệ số cao nhất của đa thức PM(n) là a0/d!.
Ví dụ giả sử R = k[X0, X1, . . . , Xr], với k là một trường. Số đơn thức bậc n là n+r r , do vậy `k(Rn) = n+r r với ∀ n≥ 0 và vế phải là PR(n). Do đó PR(X) = 1/r!(X +r)(X + R−1). . .(X + 1).
Giả sử A là vành Noether địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m. Định nghĩa 3.1.3. Một iđêan I của (A,m) được gọi là iđêan định nghĩa nếu tồn tạin > 0 sao cho mn ⊆ I ⊆ m. Khi đó √mn ⊆ √I ⊆ √m hay √I = m
nên ta có I là m-nguyên sơ.Vậy I là iđêan định nghĩa nếu và chỉ nếu I là
m-nguyên sơ.
Cho I là iđêan định nghĩa của (A,m) và M là A-môđun hữu hạn sinh. Giả sử {a1, . . . , an} là hệ sinh của I. Đặt A∗ = GI(A) = ⊕
n≥0In/In+1. Khi đó ta có đẳng cấu A∗ ∼= A/I[a
1, . . . , an] với ai = ai + I2 ∈ I/I2. Ta có dim(A/I) = 0 nên A/I là vành Artin tức là `(A/I) < ∞. Do vậy
`A(InM/In+1M) < ∞. Theo định lý đa thức Hilbert, với n đủ lớn tồn tại đa thức hệ số hữu tỉ PM,I0 (n) thỏa mãn
`A(InM/In+1M) =PM,I0 (n). Định nghĩa 3.1.4. Đặt PM,I(n) = n X k=0 PM,I0 (n) = n X k=0 `A(IkM/Ik+1M) =`A(M/In+1M).
Khi đó PM,I(n) với n đủ lớn được gọi là Đa thức Hilbert - Samuel của
Mệnh đề 3.1.5. Cho(A,m) là vành địa phương Noether và M là A-môđun hữu hạn sinh chiều d. Khi đó bậc của đa thức PM,I(n) bằng d không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I.
Định nghĩa 3.1.6. Cho I là iđêan m-nguyên sơ của A. M là A-môđun hữu hạn sinh. Ta có `A(M/In+1M) = PM,I(n), degPM,I(n) = d với n đủ lớn. Khi đó tồn tại các số nguyên e0, e1, . . . , ed, e0 > 0 sao cho
PM,I(n) =e0 n+d d −e1 n+d−1 d−1 +ã ã ã+ (−1)ded.
Các số e0, . . . , ed gọi là hệ số Hilbert của M đối với I. Kí hiệu là eiI(M). Đặc biệt, số nguyên dươnge0 trong biểu diễn trên được gọi là số bội của M
đối vớiI. Kí hiệu là e0I(M).
Nhận xét 3.1.7. Với các giả thiết như trên ta có các công thức (i) e0I(M) = lim
n→∞
d!
nd `A(M/InM). Nếu d = 0 thì e0I(M) =`A(M). (ii) e0I(M) > 0 khi dimM = d.
(iii) erI(M) =e0I(M)rd.
(iv) Nếu I, I0 là các iđêan m-nguyên sơ và I ⊃ I0 thì eI0(M) ≤ eI00(M). Định lý 3.1.8. Cho q= (x1, . . . , xd) là một iđêan tham số. Khi đó
(i) e0q(M) ≤ `A(M/qM).
(ii) e0q(M) = `A(M/qM) khi và chỉ khi Gq(M) = ⊕
n≥0qnM /qn+1M ∼=
M/qM[T1, ..., Td].