1. Khối nĩn:
Sxq=πrl , với r là bán kính đáy và l là độ dài đường sinh. Stp = Sxq + Sđáy , với Sđáy = πr2
1 2
3
V = πr h , với h là chiều cao.
2. Khối trụ:
Sxq =2πrl , với r là bán kính đáy và l là độ dài đường sinh. Stp = Sxq +2Sđáy , với Sđáy = πr2
V=πr h2 , với h là chiều cao.
Chú ý: h = l. 3. Khối cầu: S=4πr2 , với r là bán kính. 4 3 3 V= πr , với r là bán kính.
II. CÁ C DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:
1. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích của khối nĩn, khối trụ, khối cầu. Áp dụng cơng thức Áp dụng cơng thức
2. Tính diện tích thiết diện của khối trịn xoay tạo bởi một mặt phẳng:
Chú ý:
+ Thiết diện của hình nĩn tạo bởi mặt phẳng chứa trục là tam giác cân.
+ Thiết diện của hình trụ tạo bởi mặt phẳng song song hoặc chứa trục là hình chữ nhật. + Thiết diện của hình nĩn hoặc hình trụ tạo bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục là hình trịn . + Thiết diện của hình cầu S(I;r) tạo bởi mặt phẳng (P) là hình trịn (C) cĩ :
* tâm H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên (P)
* bán kính là r'= r2−h2 , ( với h là khoảng cách từ I đến mp(P) )
3. Xác định tâm và tính bán kính
P.Pháp: Xác định một điểm I thỏa điều kiện cách đều các đỉnh của hình chĩp
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp cần tìm (theo định nghĩa)
Cách chung:
+ Xác định trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy (là đường thẳng vuơng gĩc mặt đáy tại tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy ) chẳng hạn (d)
+ Vẽ mặt phẳng trung trực của một cạnh bên chẳng hạn (P)
+ Giao điểm của (P) và (d) chính là tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp đã cho
BÀI TẬP MẶT NĨN
Bài 1:Một hình nĩn cĩ thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn b)Tính thể tích của khối nĩn
ĐS: a) Sxq = 2πa2 ; Stp = 3πa2 ; b) V =
3 33 3 πa
Bài 2: Một hình nĩn cĩ chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuơng. a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn
b)Tính thể tích của khối nĩn ĐS: a) Sxq = πa2 2 ; Stp = πa2( 2 1)+ ; b) V = 3 3 πa
Bài 3:Một hình nĩn cĩ đường sinh bằng b và thiết diện qua trục là tam giác vuơng. a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b)Tính thể tích của khối nĩn ĐS: a) Sxq = 2 2 πb ; Stp = πb ( 2 1)2 + ; b) V = 3 12 πb
Bài 4:Một hình nĩn cĩ đường cao bằng a,thiết diện qua trục cĩ gĩc ở đỉnh bằng 1200. a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn
b)Tính thể tích của khối nĩn
ĐS: a) Sxq =2πa2 3 ; Stp = πa2(2 3 3)+ ; b) V = πa3
Bài 5:Một hình nĩn cĩ đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nĩn bằng 2πa2.Tính thể tích của hình nĩn HD: * Sxq = 2πa2 ⇒r =a * Tính: SO = a 3 V 3 3 3 π = a
Bài 6: Cho hình nĩn đỉnh S cĩ chiều cao bằng a. Thiết diện qua đỉnh của hình nĩn hợp với đáy một gĩc 30 0 cĩ diện tích bằng 4a2. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nĩn đĩ.
ĐS: 3 2 7 56 , 3 xq a S =πa V = π
Bài 7: Cho hình nĩn đỉnh S cĩ bán kính đáy bằng 2a. Một thiết diện qua đỉnh của hình nĩn cách tâm của đường trịn đáy một khoảng bằng
2
a
và cắt đường trịn đáy theo một dây cung cĩ độ dài bằng 2a.Tính diện tích xung quanh, thể tích của khối nĩn đĩ.
ĐS: 2 3 2 517 4 33 , 11 33 xq a a S = π V = π
Bài 8: Cắt hình nĩn đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuơng cân cĩ cạnh huyền bằng a 2
a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn b)Tính thể tích của khối nĩn
c)Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nĩn sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nĩn một gĩc 600. Tính diện tích tam giác SBC
HD: a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuơng cân tại S nên A∧ = B∧ = 450
Sxq = 2 2 2 a π ; S tp = 2 2 1 2 ( + π) a Bài 9:
a) Một khối nĩn đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa (đvdt).Tính thể tích khối nĩn đã cho. khối nĩn đã cho. ĐS: 3 3 3 π = a V
b) Một khối nĩn cĩ gĩc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9π(đvdt).Tính thể tích khối nĩn đã cho. đã cho.
ĐS: V= π9 3
Bài 10: Cắt một hình nĩn cĩ đỉnh S bởi mặt phẳng (P) đi qua trục của hình nĩn ta được thiết diện là tam giác SAB vuơng cân tại S và cĩ cạnh huyền AB=a 2 (A,B thuộc đường trịn đáy).
a)Tính diện tích xung quanh hình nĩn và thể tích khối nĩn tương ứng theo a. ĐS: 2 2 2 xq a S =π ; 3 2 V 12 a π =
b)Mặt phẳng (Q) đi qua S và cắt đường trịn đáy của hình nĩn tại điểm B, C và tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nĩn một gĩc600 . Tính độ dài BC theo a. ĐS: BC 2 3
3
a
=
Bài 11: Một khối chĩp đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.Tính thể tích khối nĩn và diện tích xung quanh của hình nĩn cĩ đỉnh S, đáy là hình trịn (O) theo a. ĐS : V 3 33 27 a π = ; 2 2 3 3 xq a S = π
BÀI TẬP MĂT TRỤ
Bài 1:Một hình trụ cĩ bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuơng. a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b)Tính thể tích của khối trụ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ĐS: a) Sxq = 4πR2 ; Stp = 5πR2 ; b) V = 2πR3
Bài 2: Cho một hình trụ cĩ hai đáy là hai đường trịn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2. a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b)Tính thể tích của khối trụ
ĐS: a) Sxq = 2 2 πR2 ; Stp = 2 ( 2 1+ π) R2 ; b) V = πR3 2
Bài 3: Một hình trụ cĩ bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b)Tính thể tích của khối trụ
c)Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên
ĐS: a) Sxq = 270π(cm2) ; Stp = 120π(cm2)
b) V = 175π(cm3) ; c) St d = 56 (cm2) ( thiết diện là hình chữ nhật)
Bài 4: Một hình trụ cĩ bán kính r và chiều cao h = r 3
a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b)Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c)Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho gĩc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
ĐS: a) Sxq = 2 3 πr2 ; Stp = 2 ( 3 1+ π) r2 ; b) V = πr3 3
c) * Kẻ O’H ⊥A’B ⇒O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO’ của hình trụ O’H = 3
2
r
Bài 5: Một hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 50cm và cĩ chiều cao h = 50cm a)Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b)Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c)Một đoạn thẳng cĩ chiều dài 100cm và cĩ hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đĩ đến trục hình trụ
ĐS: a) Sxq = 5000π(cm2) ; Stp = 10000π(cm2)
b) V = 125000π(cm3) ; c) Khoảng cách O’H = 25(cm)
Bài 6: Một hình nĩn cĩ bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một tam giác vuơng cân. a) Tính diện tích xung quanh của hình nĩn và thể tích khối nĩn tương ứng.
b) Tính bán kính đáy của hình trụ nội tiếp trong hình nĩn ấy, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuơng.
ĐS: a) Sxq R 2 , V2 1 R3 3
= π = π ; b) r = R 3
Bài 7: Một hình trụ cĩ bán kính đáy bằngr và chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho theo r
b) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy của hình trụ sao cho gĩc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bắng 300 .Tính khoảng cách giữa thẳng AB và trục của hình trụ theo r.
ĐS: a) = π 2 = π 3 xq
S 2 r 3 , V r 3 ; b) d(OO’,AB)=r 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2
BÀI TẬP MẶT CẦU
Bài 1:Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a. SA = 2a và vuơng gĩc với mp(ABCD).
a)Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b)Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu ĐS: b) r = 2 SC = 6 2 a ; S = 2 2 6 4 6 2 π ÷÷ = π a a ; V = πa3 6
Bài 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a , SA⊥(ABCD) và SA = a . a) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp theo a .
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đĩ.
HD: b)Gọi O là trung điểm SCmặt cầu S(O; 2 SC ) ĐS: a) r =SC = a 3 2 2 ; b)S= π3 a2; 3 3 2 π = a V
Bài 3: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, SA⊥(ABC) , SA= AB=3 ,a BC =4a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC.
ĐS: 34 2 a r =
Bài 4: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, SA⊥(ABC) , SA= AB= AC=a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC. ĐS: 3
2
a r =
Bài 5:Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD),SA= AB a= , BC=2a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD. ĐS: 3
2
a r=
Bài 6: Cho hình chĩp đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC. b) Tính diện tích mặt cầu, thể tích của khối cầu đĩ.
ĐS: a) 6 33 a r = ; b) 48 2 ; 96 3 11 11 33 a a S = π V = π
Bài 7:Cho tứ diện ABCD cĩ DA = 5a và vuơng gĩc với mp(ABC), ∆ABC vuơng tại B và AB=3a, BC= 4a.
a)Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một mặt cầu.Xác định tâm và bán kính mặt cầu đĩ.
b)Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khới cầu nêu trên.
HD:a) Gọi O là trung điểm của CDChứng minh:OA = OB = OC = OD =1
2CD A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; CD2 ) ; Bán kính 5 2 A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; CD2 ) ; Bán kính 5 2
2a a r= ; b)S=50πa2 ; 125 2 3 3 π = a V
Bài 8:Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a. a)Xác định mặt cầu (S) đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b)Tính bán kính, diện tích và thể tích của (S)
HD: a) Gọi O là tâm hình vuơng (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS b) r = OA = 2 2 a ; S = 2a2π ; V = 3 2 3 a π
Bài 9: Cho tứ diện đều cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện đã cho. ĐS: 3 2
12 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a V = b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. ĐS: 6
4
a R=
Bài 10: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD tâm O, cạnh bằng a. Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một gĩc 450 .
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD. ĐS: 2
2
a
b) Chứng tỏ điểm O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp đã cho.
Bài 11: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, , SA = SB = SD = a, BAD∧ =1200. a) Tính thể tích khối chĩp đã cho. ĐS: 3 2
6
a V =
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD. ĐS: 6
4
a R IS= =
Bài 12: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, ABC∧ =600, BC = a , SB vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) và SB=a 2.
a) Tính thể tích khối chĩp S.ABC theo a.
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên SA và SC. Chứng minh rằng các điểm A,B,C,E,F cùng thuộc một mặt cầu.Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đĩ theo a.
ĐS: a) 3 6 24 a V = ; b) R 2 a =
Bài 13: Cho hình chĩp S.ABC cĩ cạnh SA = x và tất cả các cạnh cịn lại bằng a. a) Khi x = a,
i)Tính thể tích khối chĩp đã cho theo a
ii) Xác định tâm và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD theo a. b) Khi x≠a . Tính thể tích khối chĩp đã cho theo a và x.
ĐS: a) i) 3 2 6 a V = ; ii) S = 2πa2 ; b) 1 2 2 V ax 3a - x 6 =
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN : 1. Tọa độ 1 điểm , tọa độ 1 vectơ: