Sai hỏng H2 đƣợc tạo ra bằng cách lấp đầy 7 lỗ không khí nằm trong một lục giác đều bằng vật liệu nền từ cấu trúc tinh thể quang tử mạng tam giác trên. Chƣơng trình tạo ra cấu trúc tinh thể quang tử sai hỏng H2 phải bổ sung một số câu lệnh dùng để lấp đầy 7
thể quang tử sai hỏng H2. Hình ảnh tinh thể quang tử sai hỏng H2 với hằng số mạng a, bán kính lỗ khí r=0.3a, vật liệu nền Si có n=2.9 đƣợc thể hiện ở hình 3.6.
Hình 3.6 Cấu trúc tinh thể quang tử sai hỏng H2 3.3.2 Cấu trúc vùng
Cấu trúc vùng của tinh thể quang tử 2D mạng tam giác sai hỏng H2 cho mode điện từ trƣờng TE đƣợc biểu diễn trong hình 3.7.
Hình 3.7 Cấu trúc vùng cho mode TE của tinh thể quang tử sai hỏng H2
Từ kết quả trên ta thu đƣợc bề rộng vùng cấm tinh thể quang tử sai hỏng H2 ứng với thông số r/a=0.3 có tổng độ rộng là 22,8316%, nhỏ hơn so với trƣờng hợp không sai hỏng 3,5816%. Đặc biệt, trong vùng cấm quang tử có sự xuất hiện của tần số cho phép ánh sáng truyền qua đƣợc trình bày trong bảng 3.2. Các tần số ánh sáng này đƣợc gọi là tần số cộng hƣởng, mỗi tần số tƣơng ứng với một mode cộng hƣởng đƣợc đặt tên từ M3 đến M6. Trong đó, mode M6 còn đƣợc gọi là mode Whispering Gallery là mode cộng hƣởng có nhiều ứng dụng và đƣợc quan tâm khảo sát.
Bảng 3.2. Các tần số ánh sáng trong vùng cấm cho phép truyền qua tinh thể quang tử sai hỏng H2
r/a=0.3
Tần số ánh sáng truyền qua trong
vùng cấm
Bƣớc sóng ánh sáng truyền qua trong vùng cấm tƣơng ứng (nm) 0.2543 1572.9453 0.2922 1368.9254 0.3001 1332.8890 0.3130 1277.9553 0.3162 1265.0221
3.3.3 Mối quan hệ giữa vùng cấm và bán kính lỗ khí
Thực hiện nhiều lần mô phỏng cho các giá trị khác nhau của r/a, ta có đƣợc kết quả đƣợc trình bày qua bảng 3.3.
Bảng 3.3. Sự phụ thuộc của độ rộng vùng cấm vào bán kính lỗ khí của tinh thể quang tử sai hỏng H2 STT Tỉ lệ r/a Độ rộng vùng cấm (%) 1 0.15 0 2 0.20 6.5871 3 0.22 10.9617 4 0.24 10.9617 5 0.26 9.1144 6 0.28 19.3799 7 0.30 22.8316 8 0.32 25.5955 9 0.34 25.5956 10 0.36 27.6721 11 0.38 34.0683 12 0.40 33.3353 13 0.42 32.1683 14 0.44 7.9180 15 0.50 3.7562
Từ bảng số liệu trên, ta biểu diễn sự phụ thuộc của độ rộng vùng cấm quang tử của tinh thể quang tử sai hỏng H2 vào tỉ lệ r/a nhƣ hình 3.8.
Hình 3.8 Đồ thị sự phụ thuộc độ rộng vùng cấm vào bán kính lỗ khí của tinh thể quang tử không sai hỏng
Đối với tinh thể quang tử sai hỏng H2, độ rộng vùng cấm của tinh thể quang tử vẫn có sự phụ thuộc vào tỉ lệ r/a, khi tỉ lệ này thay đổi, độ rộng vùng cấm tinh thể quang tử sai hỏng H2 không thay đổi đáng kể cho với trƣờng hợp tinh thể quang tử không sai hỏng. Nhƣng nhìn chung độ rộng vùng cấm của tinh thể quang tử sai hỏng H2 vẫn tăng khi tỉ lệ r/a tăng, khi tỉ lệ này tăng lên quá lớn thì độ rộng vùng cấm giảm nhanh.
3.3.4 Phân bố điện từ trường
Khi tinh thể quang tử có sai hỏng, độ rộng vùng cấm thay đổi không nhiều nhƣng trong vùng cấm sẽ xuất hiện những tần số ánh sáng cho phép truyền qua. Các tần số này đƣợc gọi là tần số cộng hƣởng. Cƣờng độ điện từ trƣờng ứng với các tần số cộng hƣởng này sẽ tập trung tại nơi có tính đối xứng của mạng vị phá vỡ - vị trí sai hỏng. Do đó, trong cấu trúc sẽ có sự phân bố lại điện từ trƣờng. Tại vị trí sai hỏng, sự phân bố điện từ trƣờng cho phép chúng ta có đƣợc hình ảnh đặc trƣng của mode cộng hƣởng. Ví dụ nhƣ trong sai hỏng H2, các mode có hình ảnh phân bố điện từ trƣờng khác nhau tƣơng ứng với các vị trí mode cộng hƣởng tìm thấy đƣợc.
Một cách tổng quát, đối với sai hỏng H2, có 7 dạng mode cộng hƣởng tƣơng ứng với các tần số cộng hƣởng xác định. Các mode cộng hƣởng đƣợc đặt tên tƣơng ứng từ M1 đến M7, với mode M6 là mode Whispering Gallery mà ta khảo sát.
M1 M2 M3 M4
M5 M6 M7
Hình 3.9 Các mode cộng hưởng tại vị trí sai hỏng của tinh thể quang tử H2
Với mẫu cấu trúc tinh thể quang tử mạng tam giác 2D sai hỏng H2 với lỗ khí có bán kính r=0.3a thì tại vị trí sai hỏng sự phân bố của điện từ trƣờng tạo thành 4 loại mode cộng hƣởng ứng với các tần số 0.2922 (λ=1368.9254 nm); 0.3001 (λ=1332.8890 nm); 0.2543 (λ=1572.9453 nm) và 0.3130 (λ=1277.9553 nm); 0.3162 (λ= 1265.0221 nm) trong vùng cấm quang tử, và sự tập trung điện từ trƣờng tại vị trí sai hỏng đƣợc biểu diễn trong bảng 3.4.
Bảng 3.4. Các mode cộng hưởng trong tinh thể quang tử sai hỏng H2 ứng
với ti lệ r/a=0.3 M3 M4 M5 M6 Mode cộng hƣởng f 0.2922 0.3001 0.2543; 0.3130 0.3162 λ (nm) 1368.9254 1332.8890 1572.9453; 1277.9553 1265.0221
Trong đó, hai mode cộng hƣởng với tần số 0.2543; 0.3130 có sự phân bố điện từ trƣờng tại vị trí sai hỏng đối xứng, do đó ta xếp vào chung một loại mode cộng hƣởng M5.
Với cấu trúc tinh thể quang tử sai hỏng H2 đã khảo sát, thực hiện nhiều lần mô phỏng với các tỉ lệ r/a khác nhau trong khoảng giá trị tỉ lệ r/a từ 0.3 đến 0.42 ta thu đƣợc bảng 3.5.
Bảng 3.5. Tần số mode cộng hưởng theo tỉ lệ r/a trong tinh thể quang tử sai hỏng r/a M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 0.30 0.2922 0.3001 0.2543 0.3130 0.3162 0.32 0.2586 0.2591 0.2701 0.2704 0.2958 0.3033 0.3171 0.3238 0.34 0.2586 0.2591 0.2701 0.2704 0.2958 0.3033 0.3171 0.3238 0.36 0.2610 0.2621 0.2722 0.2726 0.298 0.306 0.3198 0.3461 0.3283 0.3415 0.3421 0.38 0.2894 0.2906 0.3101 0.3715 0.3205 0.3787 0.3337 0.3711 0.3487 0.3212 0.3229 0.3593 0.3601 0.40 0.2946 0.3120 0.3733 0.3325 0.3808 0.3356 0.3734 0.3512 0.3238 0.3248 0.3329 0.3615 0.3619 0.42 0.2996 0.3130 0.3740 0.3236 0.3367 0.3745 0.3522 0.3246 0.3259 0.3623 0.3632 0.3817
Từ bảng trên, với giá trị đã đƣợc chọn là giá trị tần số nhỏ nhất trong mỗi mode cộng hƣởng, ta thu đƣợc đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc tần số cộng hƣởng theo bán kính lỗ khí nhƣ hình 3.10.
Hình 3.10 Tần số mode cộng hưởng trong tinh thể quang tử H2
Khi ta tăng tỉ lệ r/a từ 0.3 đến 0.42, luôn tồn tại các mode cộng hƣởng từ M4 đến M6 (mode Whispering Gallery mà ta cần khảo sát). Tần số ứng với các mode cộng hƣởng này cũng có giá trị tăng theo tỉ lệ r/a.
Khi tỉ lệ r/a=0.36, mode cộng hƣởng M7 xuất hiện ứng với các giá trị tần số cao. Khi tỉ lệ r/a >0.36 thì mode M1 ứng với các giá trị tần số thấp biến mất. Khi tăng tỉ lệ r/a, tần số ứng với từng mode cộng hƣởng cũng tăng dần.
Sự thay đổi mode cộng hƣởng khi ta thay đổi tỉ lệ r/a có thể đƣợc giải tích là do tỉ lệ r/a thay đổi dẫn đến sự thay đổi thể tích mode cộng hƣởng. Do vậy, sự phân bố điện từ trƣờng trong tinh thể cũng thay đổi kéo theo sự xê dịch vị trí cộng hƣởng.
Tùy vào mục đích sử dụng tinh thể quang tử H2 mà điều chỉnh bán kính lỗ khí để có tần số và bƣớc sóng cộng hƣởng phù hợp.
3.3.5 Phổ truyền qua của tinh thể quang tử sai hỏng H2
Phần mềm mô phỏng MEEP đƣợc sử dụng để khảo sát phổ truyền qua của tinh thể quang tử sai hỏng H2 với tỉ lệ r/a=0.3. Chƣơng trình tính toán nhƣ sau:
(define-param eps 8.41) (define-param w 6) (define-param r 0.3) (define-param d 4)
(define-param sy 12) (define-param pad 2) (define-param dpml 1)
(define sx (+(* 2(+ pad dpml N)) d -1))
(set! geometry-lattice (make lattice (size sx sy no-size))) (set! geometry
(append (list (make block (center 0 0) (size infinity w infinity) (material (make dielectric (epsilon eps)))))
(geometric-object-duplicates (vector3 1 0) 0 (- N 2)
(make cylinder (center (/ d 2) 0) (radius r) (height infinity) (material air))) (geometric-object-duplicates (vector3 -1 0) 0 (- N 2)
(make cylinder (center (/ d -2) 0) (radius r) (height infinity) (material air))) (geometric-object-duplicates (vector3 1 0) (* N -1) N
(make cylinder (center 0.5 (/ (sqrt 3) 2)) (radius r) (height infinity) (material air))) (geometric-object-duplicates (vector3 1 0) (* N -1) N
(make cylinder (center 0.5 (/ (sqrt 3) -2)) (radius r) (height infinity) (material air))) (geometric-object-duplicates (vector3 1 0) (* N -1) N
(make cylinder (center 0 (sqrt 3)) (radius r) (height infinity) (material air))) (geometric-object-duplicates (vector3 1 0) (* N -1) N
(make cylinder (center 0 (* (sqrt 3) -1)) (radius r) (height infinity) (material air))) (geometric-object-duplicates (vector3 1 0) (* N -1) N
(make cylinder (center 0.5 (* (/ (sqrt 3) 2) 3)) (radius r) (height infinity) (material air))) (geometric-object-duplicates (vector3 1 0) (* N -1) N
(make cylinder (center 0.5 (* (/ (sqrt 3) 2) -3)) (radius r) (height infinity) (material air))) (list
(make cylinder (center 0.5 (/ (sqrt 3) 2)) (radius r) (height infinity) (material (make dielectric (epsilon eps)))) (make cylinder (center -0.5 (/ (sqrt 3) 2)) (radius r) (height infinity) (material (make dielectric (epsilon eps))))
(make cylinder (center -0.5 (/ (sqrt 3) -2)) (radius r) (height infinity) (material (make dielectric (epsilon eps))))
(make cylinder (center 0.5 (/ (sqrt 3) -2)) (radius r) (height infinity) (material (make dielectric (epsilon eps)))))))
(set! pml-layers (list (make pml (thickness dpml)))) (set-param! resolution 20)
(define-param fcen 0.28) (define-param df 0.16) (define-param nfreq 100) (set! sources (list
(make source
(src (make gaussian-src (frequency fcen) (fwidth df))) (component Ey)
(center (+ dpml (* -0.5 sx)) 0) (size 0 w))))
(set! symmetries (list (make mirror-sym (direction Y) (phase -1)))) (define trans
(add-flux fcen df nfreq (make flux-region (center (- (* 0.5 sx) dpml 0.5) 0) (size 0 (* w 2))))) (run-sources+(stop-when-fields-decayed 50 Ey (vector3 (- (* 0.5 sx) dpml 0.5) 0) 1e-3) (at-beginning output-epsilon) (during-sources
(in-volume (volume (center 0 0) (size sx 0))
(to-appended "hz-slice"(at-every 0.4 output-hfield-z))))) (display-fluxes trans)
Từ kết quả thu đƣợc, lấy thông lƣợng truyền qua đem chia cho thông lƣợng đến ta thu đƣợc đồ thị phổ truyền qua của cấu trúc sai hỏng H2 nhƣ hình 3.11.
Hình 3.11 Phổ truyền qua của tinh thể quang tử H2
Từ đồ thị biểu diễn phổ truyền qua của tinh thể quang tử sai hỏng H2 nhƣ hình 3.11, ta thấy rõ có sự tồn tại một dải tần số ánh sáng có độ truyền qua gần nhƣ bằng 0. Và ở giữa vùng cấm có đỉnh nhọn tƣơng ứng với mode cộng hƣởng tại vị trí sai hỏng.
Ở đây, có sự sai khác kết quả mô phỏng từ hai phần mềm MPB và MEEP với độ sai khác tỉ đối khoảng 10 % . Một trong những nguyên nhân gây ra độ sai khác này chính là do hệ tọa độ đƣợc sử dụng trong hai phần mềm mô phỏng này: phần mềm MPB sử dụng hệ tọa trong không gian mạng đảo, còn phần mềm MEEP sử dụng hệ tọa độ trong không gian mạng thực: hệ tọa độ Descartes.
3.3.6 Khảo sát mode cộng hưởng Whispering Gallery
3.3.6.1. Giới thiệu mode cộng hƣởng Whispering Gallery
Khi tinh thể quang tử có sai hỏng, photon ánh sáng chiếu vào tinh thể ứng với tần số cộng hƣởng sẽ bị giam giữ tại vị trí sai hỏng cho đến khi chúng bị rò rỉ, hấp thụ hoặc tán xạ; mặt khác khi ánh sáng bị giam giữ tại ví trí sai hỏng, cƣờng độ ánh sáng cũng đƣợc khuếch đại lên nhiều lần. Vì vậy, tinh thể quang tử sai hỏng đƣợc coi nhƣ một buồng cộng hƣởng quang học, chất lƣợng của một buồng cộng hƣởng đƣợc đánh giá thông qua hệ số chất lƣợng Q.
Nhƣ đã khảo sát ở phần trên, tại vị trí sai hỏng của một tinh thể quang tử có cấu trúc sai hỏng có thể tồn tại nhiều dạng mode cộng hƣởng (dạng phân bố điện từ trƣờng) khác nhau tƣơng ứng với những tần số cộng hƣởng khác nhau xác định. Trong những dạng mode cộng hƣởng tại vị trí của sai hỏng H2, mode ký hiệu M6 mang tên mode Whispering Gallery (WG) là một trong những mode cộng hƣởng có hệ số chất lƣợng Q cao nhất, đƣợc tập trung nghiên cứu và phát triển trong các ứng dụng buồng cộng hƣởng
Mode Whispering Gallery là dạng mode mà sóng ánh sáng có thể di chuyển tạo thành đƣờng cong kín ở bên trong sai hỏng, ánh sáng phản xạ gần nhƣ hoàn toàn khép kín, không thoát ra ngoài. Chính vì vậy, mode Whispering Gallery đƣợc nghiên cứu trong các ứng dụng của nhiều buồng cộng hƣởng quang học với dạng khác nhau từ những dạng đơn giản nhất nhƣ: buồng cộng hƣởng quang học dạng sợi quang, quả cầu điện môi, bó sợi quang, các đĩa và các vòng điện môi siêu nhỏ, các buồng cộng hƣởng có dạng hình xuyến đến tinh thể quang tử có sai hỏng và những cấu trúc phức tạp hơn nhƣ các buồng cộng hƣởng có dạng chai, dạng bong bóng, hay cả đối với buồng cộng hƣởng có dạng một giọt chất lỏng….[4].
Mode Whispering Gallery lần đầu tiên đƣợc gọi tên qua bài báo tổng kết nghiên cứu của tác giả Lord Rayleigh về các hiện tƣợng sóng âm năm 1910 – 1912. Nội dung của nghiên cứu này đƣợc thực hiện tại nhà thờ St Paul tại London, trong nghiên cứu tác giả thấy rằng âm thanh có thể bị phản xạ toàn phần nhiều lần trên mặt nhẵn của các mái vòm trong nhà thờ dẫn đến hiện tƣợng ta có thể nghe đƣợc âm thanh tại nhiều vị trí trong nhà thờ với cƣờng độ ít thay đổi. Từ nghiên cứu đối với sóng âm, ông đã đề xuất những nghiên cứu tƣơng tự với sóng điện từ [6].
Hình 3.12 Sóng âm trong nghiên cứu của Lord Rayleigh [6]
Các nghiên cứu tiếp theo liên quan đến sóng điện từ, mode Whispering Gallery là dạng sóng điện từ đƣợc giam giữ trong một không gian kín, bị phản xạ toàn phần nhiều lần giữa mặt phân cách hai môi trƣờng trong và ngoài không gian kín đó, sóng đƣợc xem nhƣ truyền theo một chu trình trong một đƣờng cong kín, tạo nên sự tập trung năng lƣợng và kéo dài thời gian tồn tại của các phonton trong không gian đó.
Ví dụ đơn giản sau đây sẽ cho chúng ta hình dung đƣợc mode WG một cách dễ dàng hơn: Chúng ta có một buồng cộng hƣởng quang học với cấu trúc hình cầu và làm bởi vật liệu điện môi có chiết suất là n, có bán kính lớn hơn rất nhiều lần so với bƣớc sóng ánh sáng chiếu đến, đƣợc đặt trong chân không; tia sáng chiếu đến bề mặt bên trong của quả cầu điện môi với góc tới i. Nếu i> igh với sin igh=1/n, thì hiện tƣợng phản xạ toàn phần sẽ xảy ra. Bởi vì cấu trúc có dạng hình cầu, nên mọi góc tới đều nhƣ nhau, do vậy tia sáng sẽ bị bẻ cong hoàn toàn tạo thành một quỹ đạo kín. Nếu độ lớn quỹ đạo mà tia sáng
có sự giao thoa ánh sáng, cƣờng độ của chùm sáng sẽ đƣợc tăng cƣờng. Ánh sáng truyền theo dạng nhƣ trên là dạng của mode WG [4].
Hình 3.13 Mode Whispering Gallery của buồng cộng hưởng quang học dạng quả cầu điện môi [4]
Một trong những thông số quan trọng để mô tả tính chất của một buồng cộng hƣởng là hệ số chất lƣợng Q. Hệ số chất lƣợng Q đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Q= (năng lƣợng lƣu trú/năng lƣợng mất mát) = =
(3.1) Trong đó: là tần số góc, là tần số của buồng cộng hƣởng, là thời gian sống của photon, là độ bất định của giá trị tần số của buồng cộng hƣởng [6].
Hệ số chất lƣợng Q của buồng cộng hƣởng quang học ứng dụng các mode cộng hƣởng có dạng mode WG có thể rất lớn lên đến 1010
so với giá trị khoảng 104 – 105 của các bộ cộng hƣởng quang học thông thƣờng [6].
Đối với tinh thể quang tử sai hỏng, ánh sáng khi truyền đến có tần số nằm trong vùng cấm và là dạng mode Whispering Gallery, sẽ bị giam giữ tại vị trí sai hỏng, sau đó bị phản xạ toàn phần nhiều lần tại bề mặt lõm của sai hỏng, làm tăng thời gian lƣu trú và giá trị cƣờng độ chùm sáng, dẫn đến giá trị của hệ số chất lƣợng Q sẽ đƣợc tăng thêm nhiều lần.
3.3.6.2. Khảo sát tính chất mode cộng hƣởng Whispering Gallery theo tỉ lệ r/a
Tần số cộng hƣởng ứng với mode Whispering Gallery có sự phụ thuộc nhất định vào tỉ lệ r/a và hệ số mạng của cấu trúc.
Sau khi đã khảo sát với các giá trị tỉ lệ r/a khác nhau của tinh thể quang tử 2D sai hỏng H2 và lựa chọn những tần số ứng với mode WG thấp nhất ứng với một giá trị tỉ lệ r/a, ta có đƣợc kết quả đƣợc trình bày tại bảng 3.6.
Bảng 3.6. Tần số ứng với mode WG theo tỉ lệ r/a của tinh thể quang tử sai hỏng H2 Tỉ lệ r/a Tần số ứng với mode WG (ωa/2πc) 0.30 0.3162 0.32 0.3238 0.34 0.3238 0.36 0.3283 0.38 0.3487 0.40 0.3512 0.42 0.3522
Hình 3.15 Tần số ứng với mode WG theo tỉ lệ r/a của tinh thể quang tử sai hỏng H2
Từ đồ thị trên, ta có nhận xét rằng, khi tỉ lệ r/a của cấu trúc tăng thì tần số của mode WG cũng tăng, với mỗi tỉ lệ r/a xác định ta chỉ nhận thấy có một giá trị tần số thể hiện mode WG.
3.3.6.3. Khảo sát giá trị hệ số chất lƣợng Q
Ứng với mode Whispering Gallery đƣợc thể hiện ở những tần số xác định sẽ có giá trị hệ số chất lƣợng Q khác nhau. Nguyên nhân là do ứng với mỗi mode này mặc dù có sự phân bố điện từ trƣờng định hƣớng trong không gian là nhƣ nhau, nhƣng thể tích mode cộng hƣởng khác nhau, tần số cộng hƣởng khác nhau, nên hệ số Q của chúng cũng khác nhau trong từng trƣờng hợp cụ thể.
Để khảo sát đƣợc giá trị của Q trong từng trƣờng hợp cụ thể trên ta sử dụng phần mềm MEEP để tính toán, chƣơng trình cụ thể nhƣ sau:
(define-param eps 8.41) (define-param w 6) (define-param r 0.3) (define-param d 4)