Phƣơng pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian [7] (Finite Difference Time Domain – FTDT), do Kane Yee ngƣời Nhật đề xuất năm 1966, đƣợc vận dụng để giải quyết các vấn đề đa dạng liên quan đến sóng điện từ thông qua giải hệ phƣơng trình Maxwell trực tiếp trong miền thời gian. Phƣơng pháp này là một trong những phƣơng pháp đƣợc sử dụng phổ biến để tính toán sự phân bố trƣờng điện từ trong cấu trúc tinh thể quang tử. Nguyên tắc cơ bản nhất của phƣơng pháp FDTD là điện trƣờng đƣợc tính toán
ở một thời điểm trƣớc, từ trƣờng đƣợc tính toán ở thời điểm kế tiếp, và quá trình đƣợc lặp lại nhiều lần.
Hệ phƣơng trình Maxwell phụ thuộc vào thời gian dành cho môi trƣờng điện môi có dạng nhƣ sau: ⃗⃗⃗ ( ⃗) ⃗⃗ (2.10.1) ⃗⃗ ( ⃗) ⃗⃗⃗ ( ⃗) ( ⃗) ⃗⃗ (2.10.2)
Trong đó: ( ⃗), ( ⃗), ( ⃗) lấn lƣợt là hằng số điện môi, độ từ thẩm, độ dẫn điện của môi trƣờng phụ thuộc vào vị trí ta đang xét trong khối vật liệu.
Hệ phƣơng trình Mawell có thể rời rạc thành các thành phần phụ thuộc vào thời gian và không gian dựa vào kỹ thuật ô Yee, kỹ thuật chia miền tính toán thành các ô nhỏ trên môt lƣới đƣợc gọi là lƣới rời rạc.
Trong trƣờng hợp mô phỏng hai chiều, trƣờng có thể chia thành hai mode phân cực quang: mode điện trƣờng ngang (TM) gồm các thành phần Hx, Hy, Ez và các mode từ trƣờng ngang (TE) gồm các thành phần Ex, Ey, Hz. Ta sẽ khảo sát mode TE.
Để tính toán đƣợc các thành phần của mode TE ta sử dụng phƣơng pháp rời rạc dựa vào kỹ thuật ô Yee trên lƣới rời rạc kết hợp với hai quy luật:
Quy luật 1: Ex và Ey của điện trƣờng đƣợc tính tại t=n∆t, với n là số nguyên. Thành phần còn lại của từ trƣờng tính tại t= (n-1/2) ∆t.
Quy luật 2: 3 thành phần của trƣờng đƣợc tính tại một vị trí xác định trong không gian.
Sau khi tính toán, ta có dạng của các thành phần điện từ trƣờng trong mode phân cực quang TE nhƣ sau: | | ( | | ) (2.11.1) | | ( | | ) (2.11.2) | | ( | | | | ) (2.11.3)
Trong đó: n là số nguyên chỉ số bƣớc rời rạc theo thời gian; chỉ số i, j, k cho biết vị trí đang xét theo các hƣớng x, y, z; ∆t số gia thời gian; ∆x, ∆y, ∆z là số gia khoảng cách giữa các vị trí đƣợc xét liên kề theo các hƣớng x, y, z.
Để hoàn chỉnh tính toán dựa vào phƣơng pháp FTDT ta cần quan tâm đến phạm vi tính toán hữu hạn của bài toán. Khi tính toán cấu trúc vùng của tinh thể quang tử, ta thƣờng chọn một ô cấu trúc của mạng là một vùng tính toán hữu hạn với một biên giới hạn tuần hoàn tuân theo định lý Bloch (đƣợc xem nhƣ một nguồn phát xung kích thích theo thời gian) và một lớp lọc hoàn toàn (PML) đƣợc xem nhƣ lớp hấp thụ. Khi nguồn hoạt động, sóng điện từ truyền qua cấu trúc sau khi qua lớp hấp thụ rồi suy giảm, quá trình ấy sẽ đƣợc ghi nhận và sử dụng để tính toán cấu trúc trƣờng và các mode sai hỏng trong tinh thể quang tử.
Ƣu điểm:
FDTD là kỹ thuật mô phỏng trong miền thời gian, khi một xung thời gian đƣợc sử dụng nhƣ một nguồn kích thích thì một dải rộng tần số đƣợc giải chỉ trong một tiến trình mô phỏng, điều này rất hữu ích trong các mô phỏng mà tần số cộng hƣởng không biết một cách chính xác.
Vì FDTD là kỹ thuật mô phỏng trực tiếp trong miền thời gian nên ta có thể xác định đƣợc mọi giá trị của điện trƣờng ⃗⃗ và từ trƣờng ⃗⃗⃗ ở mọi điểm trong miền tính toán vì vậy ta có thể khảo sát đƣợc sự biến thiên của các trƣờng trên, những thông tin này giúp cho chúng ta hình dung một cách chính xác những gì đang diễn ra trong một cấu trúc đƣợc mô phỏng.
FDTD xác định điện trƣờng ⃗⃗ và từ trƣờng ⃗⃗⃗ một cách trực tiếp, không cần thông qua bất kỳ một sự chuyển đổi nào khác.
Nhƣợc điểm:
Phƣơng pháp FDTD yêu cầu toàn bộ miền tính toán phải đƣợc chia lƣới, và các lƣới này phải nhỏ hơn so với bƣớc sóng nhỏ nhất và nhỏ hơn chi tiết nhỏ nhất của vật thể trong mô hình, do vật miền tính toán phải rất lớn khi không gian mô phỏng lớn và có nhiều chi tiết nhỏ. Các mô hình với các cấu trúc vật liệu dài và mảnh rất khó mô phỏng trong FDTD vì miền tính toán yêu cầu rất lớn.