Phƣơng pháp mở rộng sóng phẳng [7] (Plane Wave Expansion – PWE) là phƣơng pháp thông dụng nhất đƣợc sử dụng để tính toán cấu trúc vùng của một cấu trúc tuần hoàn nói chung và cấu trúc tinh thể quang tử nói riêng. Thông qua việc giải hệ phƣơng trình Maxwell trong miền tần số, phƣơng pháp này giúp chúng ta xác định đƣợc dải tần số cho phép ánh sáng lan truyền trong tất cả các hƣớng của tinh thể và sự phân bố trƣờng điện từ trong tinh thể quang tử.
Hệ phƣơng trình Maxwell đối với chất bán dẫn hay điện môi có dạng nhƣ sau:
⃗⃗⃗( ⃗ ) (2.1.1)
[ ( ⃗) ⃗⃗( ⃗ )] (2.1.2)
⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗⃗( ⃗ )
(2.1.3)
⃗⃗⃗( ⃗ ) ( ⃗) ⃗⃗( ⃗ ) (2.1.4)
Trong đó: là ⃗⃗( ⃗ ) vectơ cƣờng độ điện trƣờng và ⃗⃗⃗( ⃗ ) cƣờng độ từ trƣờng,
( ⃗) hằng số điện môi của môi trƣờng phụ thuộc vị trí trong không gian mà ta xét, và lần lƣợt là hằng số điện môi và độ từ thẩm của chân không.
Để đơn giản hệ phƣơng trình trên, ta dùng kỹ thuật phân tích toán học nhằm tách mode điện trƣờng và từ trƣờng thành hai thành phần riêng rẽ phụ thuộc vào tọa độ và thời gian. Hai thành phần có dạng cụ thể nhƣ sau:
⃗⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗⃗( ⃗) (2.2)
⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗( ⃗) (2.3)
Thay vào hai phƣơng trình (2.1.1) và (2.1.2) của hệ phƣơng trình Maxwell trong môi trƣờng điện môi, ta đƣợc:
⃗⃗⃗( ⃗) (2.4)
Thay vào hai phƣơng trình còn lại:
⃗⃗( ⃗) ⃗⃗⃗( ⃗) (2.6)
⃗⃗⃗( ⃗) ⃗⃗( ⃗) (2.7)
Từ hai phƣơng trình trên ta sẽ suy ra đƣợc phƣơng trình truyền sóng trong môi trƣờng điện môi có dạng nhƣ sau:
*
( ⃗) ⃗⃗⃗( ⃗)+ ⃗⃗⃗( ⃗) (2.8)
Nhƣ ta đã biết, từ trƣờng đƣợc sinh ra bởi điện trƣờng hay sự biến thiên của điện trƣờng, chính vì thế, nó mang thông tin của điện trƣờng. Nên trong tính toán, để đơn giản ta sẽ giải phƣơng trình truyền sóng chủ lực (2.8) để tìm đƣợc các mode ⃗⃗⃗( ⃗) và các tần số tƣơng ứng. Sau đó ta sẽ tiếp tục xác định mode ⃗⃗( ⃗) theo công thức (2.9):
⃗⃗( ⃗)
( ⃗) ⃗⃗⃗ (2.9)
Cách cơ bản để tính toán sự phân bố trƣờng và tần số ứng với từng trƣờng hợp là mở rộng ba thành phần vectơ thích hợp trong chuỗi Fourier. Chuỗi này sau đó đƣợc thay thế vào phƣơng trình Maxwell tách riêng và những số hạng đƣợc tổ chức thành bài toán trị riêng thông thƣờng. Khi trị riêng đƣợc tính toán bằng các phƣơng pháp số học thông thƣờng, ta có thể dễ dàng dùng các trị riêng để tìm ra các tần số đƣợc phép lan truyền, và vec tơ riêng để tính toán sự phân bố trƣờng.
Ƣu điểm: đây là phƣơng pháp tính toán nhanh, chính xác cho phép ta xác định đƣợc vùng cấm quang tử, sự phân bố vùng với những tần số tƣơng ứng trong cấu trúc điện môi tuần hoàn. Ngoài tinh thể quang tử ra, ta còn có thể sử dụng phƣơng pháp này trong việc nghiên cứu bất kỳ cấu trúc tinh thể nào, bao gồm cả những tinh thể bất thƣờng.
Nhƣợc điểm: Kết quả tính toán từ phƣơng pháp này không cho ta những nội dung về sự tổn thất do tán xạ, truyền tải và phản xạ của ánh sáng tới. Ngoài ra, phƣơng pháp này không thể sử dụng để tính toán cấu trúc của những vật liệu có tính chất hoạt hóa.