Bài 3: “Phương trình đường thẳng trong không gian”

IV. Tổ chức của luận văn:

2.1.3 Bài 3: “Phương trình đường thẳng trong không gian”

Theo chương trình Toán phổ thông, nội dung PTĐT trong không gian đòi hỏi các kĩ năng: biết cách viết PTTS của đường thẳng; biết cách sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.

Theo chương trình, [9] trình bày các nội dung trong hai phần: PTTS của đường thẳng và điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau. Và do [9] chỉ giới thiệu PTTS của đường thẳng nên khi nói PTĐT trong không gian, ta ngầm hiểu đó là PTTS.

Cũng như cấu trúc bài hai, SGKHH giới thiệu hoạt động 1/82 như một cầu nối dẫn đến định lí được nêu sau đó.

Hoạt động 1: “Trong không gian Oxyz cho điểm M0(1; 2;3) và hai điểm

1(1+ ; 2+ ;3+ )

M t t t , M2(1 2 ; 2 2 ;3 2 )+ t + t + t di động với tham số t. Hãy chứng tỏ ba điểm M M M0, 2, 2 luôn thẳng hàng.”

Theo SGV, “hoạt động 1 nhằm mục đích chuẩn bị xây dựng khái niệm PTTS của đường thẳng trong không gian”. SGV cũng gợi ý cách làm của HS:

“0 1 =( ; ; )

M M t t t và 0 2 =(2 ; 2 ; 2 ).

M M t t t

Ta có: 0 2 =20 1,∀ ∈

M M M M t R

Xem xét lại tọa độ ba điểm M M M0, 2, 2, chúng tôi thấy cả 3 đều có dạng

(1+at; 2+at;3+at a) ( ∈R). Và từ đây, có thể HS sẽ đặt ra một nghi vấn, phải chăng tất cả những điểm có dạng (x0+at y; 0+at z; 0 +at)như vậy đều thẳng hàng với nhau?

Có lẽ đây chính là điểm gợi ý giúp HS liên hệ với định lí sẽ được trình bày sau đây.

Định lí:

“Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y z và nh0( ;0 0; 0) ận

1 2 3

( ; ; ) =



a a a a làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M x y z nằm ( ; ; )

trên ∆ là có một số thựct sao cho

0 1 0 2 0 3 = +   = +   = +  x x ta y y ta z z ta ” [9 - Tr.82]

Định lí được chứng minh một cách tương tự với hoạt động 1, và không có hình vẽ minh họa. Từ đó suy ra định nghĩa PTTS của đường thẳng là phương trình có dạng 0 1 0 2 0 3 = +   = +   = +  x x ta y y ta z z ta với t là tham số.

SGKHH cũng có nhắc đến phương trình chính tắc của đường thẳng qua mục “chú ý”.

“Nếu a a a1, 2, 3 đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình các đường thẳng ∆ dưới dạng chính tắcnhư sau:

0 0 0 1 2 3 . − − − = = x x y y z z a a a ” [9 - Tr. 89]

Và như trật tự thông thường, sau khi cung cấp kiến thức, các ví dụ được đưa ra để củng cố. Ba ví dụ của bài thể hiện đầy đủ ý đồ của các tác giả: ví dụ 1 giúp HS làm quen với công thức PTTS của đường thẳng, ví dụ thứ hai giúp HS vận dụng công thức, thực hiện kiểu nhiệm vụ viết PTĐT qua hai điểm, và cuối cùng là ví dụ ba, thông qua việc chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, SGK muốn giúp HS tìm tọa độ một VTCP của đường thẳng khi biết PTTS của nó.

“Ví dụ 1: Viết PTTS của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(1; 2;3) và có VTCP là (1; 4; 5).

= − −



a

Ví dụ 2: Viết PTTS của đường thẳng AB với A(1; 2;3)− và B(3; 0; 0).

Ví dụ 3: Chứng minh đường thẳng 1 : 2 2 4 3 = +   = +   = +  x t d y t z t vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2α x+4y+6z+ =9 0.” [9 – Tr.83, 84]

Ngoài ra, hoạt động 2 không kèm lời giải yêu cầu HS tìm tọa độ một điểm thuộc đường thẳng khi biết PTTS của đường thẳng đó.

Có thể nhận thấy trong cả quá trình xây dựng PTTS của đường thẳng cho đến các ví dụ mình học hay hoạt động kèm theo đều không có hình vẽ minh họa. Phải chăng do cách trình bày của SGKHH mà HS ngầm hiểu “khi làm bài tập viết PTĐT trong không gian, ta không cần vẽ hình”?

Và nội dung cuối cùng được trình bày trong bài là “điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau”. Tương tự như trong mặt phẳng, [9] không dùng từ “vị trí tương đối” của hai đường thẳng mà thay vào đó là điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau. Ứng với mỗi vị trí, [9] trình bày bằng cách nêu công thức, sau đó đưa ra ví dụ minh họa. Trong các vị trí tương đối, hình vẽ được sử dụng trong trường hợp hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau. Trường hợp hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, điều kiện được khai thác theo hướng VTCP của hai đường thẳng cùng phương; trường hợp chéo nhau, cắt nhau được đưa về phương trình 3 ẩn lập bởi PTTS của hai đường:

0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' ' ' ' + = +   + = +   + = +  x ta x ta y ta y ta z ta z ta

Nếu phương trình vô nghiệm, hai đường thẳng chéo nhau, nếu chỉ có một nghiệm duy nhất, hai đường thẳng cắt nhau.

Ngoài ra, [9] cũng đề cập đến vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, được khai thác thông qua phương trình tạo bởi đường và mặt. Và để minh họa, trong mỗi trường hợp đường và mặt song song, cắt nhau hai đường thuộc mặt đều có một hình vẽ giữ chức năng tóm tắt. (h. 2.1.11)

Ba hình vẽ được đưa ra để thể hiện ba trường hợp đã nêu trên. Có thể thấy hình vẽ được sử dụng ở đây rất trực quan. Thông qua hình, học sinh có thể thấy rõ khi đường thẳng d và mặt phẳng ( )α song song thì hệ phương trình (ta gọi là (1)) xây

α d d α d α Hình 2.1.11

dựng bởi phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng vô nghiệm. Tương tự, một cách hết sức tự nhiên, d cắt ( )α khi (1) có một nghiệm, d thuộc ( )α khi (1) vô số nghiệm.

Chúng tôi nhận thấy trong toàn bộ chương “phương pháp tọa độ trong không gian”, hình vẽ không xuất hiện nhiều như hai chương trước của hình học 12, do đặc thù kiến thức. Nhưng nhìn chung, hình vẽ được khai thác trong từng tình huống cụ thể, đóng vai trò quan trọng trong quá trình xây dựng kiến thức. Nó giúp học sinh liên hệ với những gì đã được học ở chương trình hình học 10, 11 với những kiến thức hiện tại. Như vậy, qua việc phân tích phần lý thuyết, có thể nói

hình vẽ trong hình học giải tích lớp 12 có vai trò chủ yếu là hướng dẫn, gợi ý người học trong quá trình tìm ra tri thức mới.

Cũng lưu ý thêm, có một số dạng bài, SGKHH không đưa phần trình bày vào lý thuyết, không cung cấp sẵn công thức, nhưng lại xuất hiện trong hệ thống bài tập, chẳng hạn như dạng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian, tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng, tìm tọa độ điểm đối xứng, tọa độ hình chiếu,… Các bài tập này có thể xem như dạng suy ra từ các kiến thức SGK cung cấp. Một câu hỏi được đặt ra, phải chăng SGK muốn HS vận dụng hình vẽ và khả năng suy luận để tự tìm tòi các dạng bài mà phần lý thuyết không cung cấp?

Việc này làm tăng khả năng chủ động trong học tập của HS, đồng thời cũng thể hiện rõ hơn vai trò của hình vẽ trong quá trình giải một bài toán hình học giải tích.

Điều này sẽ được tìm hiểu kĩ hơn trong phần phân tích hệ thống bài tập tiếp theo sau.