Bài 1. Giải phương trỡnh
√
x+ 3 +
√
x−1 = 2
Bài 2. Giải hệ phương trỡnh
(x+y)(x2+y2) = 15(x−y)(x2−y2) = 3
Bài 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x
3+y3)−(x2+y2) (x−1)(y−1) trong đú, x, y là những số thực lớn hơn 1.
Bài 4. Cho hỡnh vuụng ABCD và điểmM nằm trong hỡnh vuụng. 1. Tỡm tất cả cỏc vị trớ của điểm M sao cho M AB\ =M BC\ =M CD\ =
\
M DA
2. Xột điểm M nằm trờn đường chộoAC. Gọi N là chõn đường vuụng gúc hạ từ điểmM xuốngABvàOlà trung điểm của đoạnAM. Chứng minh rằng tỷ số OBCN cú giỏ trị khụng đổi khi M di chuyển trờn đường chộoAC.
3. Với giả thiếtM nằm trờn đường chộoAC, xột cỏc đường trũn (S1)và (S2) cú đường kớnh tương ứng là AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của(S1)và(S2)tiếp xỳc với(S2)tạiP vàQ. Chứng minh rằng đường thẳngP Q tiếp xỳc với (S1)
Bài 5. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyờn của số a là số nguyờn lớn nhất khụng vượt quỏavà ký hiệu là[a]. Dĩy cỏc sốx0, x1, x2, . . . , xn, . . .
được xỏc định bởi cụng thức xn =hn+ 1 √ 2 i −h n √ 2 i
Hỏi trong 200 số {x0, x1, . . . , x199} cú bao nhiờu số khỏc 0? (Cho biết 1,41 <
√
2<1,42).
1.31 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2005(cho mọi thớ sinh) (cho mọi thớ sinh)
Bài 1. Giải hệ phương trỡnh (
x+y+xy = 3
x2+y2 = 2
Bài 2. Giải phương trỡnh
x+ 4
√
x+ 3 + 2
√
3−2x= 11
Bài 3. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh
x2+ 17y2+ 34xy+ 51(x+y) = 1740
Bài 4. Cho đường trũn (O),(O0) nằm ngồi nhau cú tõm tương ứng là
O và O0. Một tiếp tuyến chung ngồi của hai đường trũn tiếp xỳc với (O) tạiAvà(O0)tạiB. Một tiếp tuyến chung trong của hai đường trũn cắt AB
tạiI, tiếp xỳc với(O) tạiC và (O0)tại D. BiếtC nằm giữa I và D. 1. Hai đường thẳng OC, O0B cắt nhau tại M. Chứng minh rằng OM >
O0M.
2. Ký hiệu (S) là đường trũn đi qua A, C, B và (S0) là đường trũn đi qua A, D, B. Đường thẳng CD cắt (S) tại E khỏc C và cắt (S0) tại
F khỏcD. Chứng minh rằngAF vuụng gúc vớiBE.
Bài 5. Giả sử x, y, z là cỏc số dương thay đổi và thoả mĩn điều kiện
xy2z2+x2z+y= 3z2. Hĩy tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
P = z
4
1 +z4(x4+y4)
1.32 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2005
(cho thớ sinh chuyờn toỏn và chuyờn tin)Bài 1. Giải phương trỡnh Bài 1. Giải phương trỡnh
√ 2−x+ √ 2 +x+ √ 4−x2 = 2
Bài 2. Giải hệ phương trỡnh (
x3+y3−xy2 = 1 4x4+y4 = 4x+y
Bài 3.Giả sửx, ylà những số khụng õm thoả mĩn điều kiệnx2+y2 = 1
1.32. Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2005(cho thớ sinh chuyờn toỏn và chuyờn tin)33 1. Chứng minh rằng 16x+y 6
√
2
2. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
√
1 + 2x+p
1 + 2y
Bài 4. Cho hinh vuụng ABCD và điểmP nằm trong tam giỏc ABC. 1. Giả sử gúc \BP C = 1350. Chứng minh rằng 2P B2+P C2 =P A2. 2. Cỏc đường thẳng AP và CP cắt cỏc cạnh BC và BA tương ứng tại
cỏc điểmM vàN. Gọi Qlà điểm đối xứng vớiB qua trung điểm của đoạn M N. Chứng minh rằng khi P thay đổi trong 4ABC, đường thẳngP Q luụn đi qua D.
Bài 5.
1. Cho đa giỏc đều (H) cú 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kỳ của(H) luụn cú 4 đỉnh là cỏc đỉnh của một hỡnh thang
2. Cú bao nhiờu phõn số tối giản mn lớn hơn 1 (m, n là cỏc số nguyờn dương) thoả mĩn m.n= 13860.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2006
MễN THI: TỐN (Vũng 1)
Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu 1. Giải hệ phương trỡnh:
2
x xy x y 4(x y)(1 xy) 4