1. Hệ vector phụ thuộc tuyến tính:
- tồn tại các hệ số αj (j= 1..m) trong đó có ít nhất một αj khác 0, thoả mãn công thức: Σαj xj = 0 (j = 1..m)
- Có ít nhất một vector có thể biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại - Có ít nhất một hệ con phụ thuộc tuyến tính
2. Hệ vector độc lập tuyến tính
- Đẳng thức Σαj xj = 0 (j = 1..m) xảy ra khi và chỉ khi mọi αj = 0.
- Mọi vector trong hệ đều không thể biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại - Mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính đều độc lập tuyến tính
3. Tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính
- Cho một hệ m vector n chiều {xj} (j = 1..m) nếu y là một vector n chiều thoả mãn đẳng thức y = Σαj x j (j =1..m) trong đó có ít nhất một αj khác 0, thì y được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vector xj hay còn gọi là y được biểu diễn tuyến tính qua các vector xj.
4. Hệ vector độc lập tuyến tính cực đại, hạng và cơ sở của hệ vector
- Cho trước một hệ vector A, ta gọi một hệ con độc lập tuyến tính B của hệ vector đó là độc lập tuyến tính cực đại nếu khi thêm vào bất cứ một vector nào khác của hệ A cũng làm cho hệ B mất đi tính chất độc lập tuyến tính của nó.
- Số vector của một các con độc lập tuyến tính cực đại đều bằng nhau và bằng một hằng số được gọi là hạng của hệ vector.
- Trong không gian Rn các hệ vector độc lập tuyến tính cực đại được gọi là các cơ sở của không gian Rn.
3. Vector hệ số phân tích
- Một vector bất kỳ của Rn
bao giờ cũng biểu diễn tuyến tính được qua một cơ sở U bất kỳ của Rn
theo công thức x = Σαj uj và khi ấy các hệ số {αj }cũng tạo thành một vector trong Rn và {αj
} được gọi là vector hệ số phân tích của x qua cơ sở U. 5. Vector đơn vị của không gian Rn
e1 = {1, 0, 0 … 0} e2 = {0, 1, 0 … 0} ….
en = {0, 0, 0 … n}
6. Hạng của ma trận
- Giả sử A là một ma trận có m hàng và n cột, khi đó hạng của hệ n vector cột (ký hiệu là {Aj} j = 1..n ) được gọi là hạng của ma trận
7. Ma trận không suy biến và ma trận nghịch đảo
- Một ma trận vuông cấp n có hạng đúng bằng n được gọi là một ma trận không suy biến. - Cho một ma trận không suy biến A, có thể tìm được một ma trận A-1
sao cho tích của hai ma trận này bằng ma trận đơn vị. A-1
8. Ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính là ma trận được tạo thành từ các hệ số của hệ phương trình đó
9. Hệ phương trình Crame: là hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất.
10. Hàm mục tiêu: là hàm số cần tìm cực trị trong bài toán quy hoạch tuyến tính, hàm mục tiêu có dạng f(x) = ∑ ci xi hoặc viết dưới dạng tích vô hướng: f(x) = (c, x). Trong đó c được gọi là vector hệ số
11. Ma trận điều kiện (ma trận ràng buộc): là ma trận của hệ phương trình/bất phương trình điều kiện của hàm mục tiêu. Hệ phương trình/bất phương trình này còn được gọi là hệ ràng buộc.
12. Phương án của bài toán: là một vector thoả mãn các phương trình hoặc bất phương trình của hệ ràng buộc.
13. Phương án tối ưu: là phương án mà tại đó hàm f(x) đạt cực trị
14. Phương án cực biên: là phương án thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính hay nói cụ thể hơn: nó thoả mãn n ràng buộc của bài toán với dấu bằng (chặt) và n ràng buộc này là hệ n phương trình độc lập tuyến tính. (n là chiều của vector nghiệm)
15. Một phương án cực biên thoả mãn chặt đúng n ràng buộc độc lập tuyến tính được gọi là một phương án cực biên không suy biến.
16. Một phương án cực biên thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính đồng thời thoả mãn chặt thêm r ràng buộc khác nữa thì gọi là phương án cực biên suy biến
17. Bài toán giải được là bài toán có ít nhất một phương án tối ưu. Bài toán không giải được là bài toán không có phương án nào hoặc có tập phương án nhưng trị số hàm mục tiêu không bị chặn trên tập phương án.
18. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán có dạng f(x) = (c,x) min hoặc max
Ax = b x ≥ 0
19. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là bài toán chính tắc trong đó: b ≥ 0 ma trận hệ ràng buộc có dạng: 1 0 ….. 0 a1,m+1 ….. a1,n A = 0 1 ….. 0 a2,m+1 …. a2,n …… 0 0 ….. 1 an,m+1 …. am,n
20. Cơ sở của phương án cực biên của bài toán chính tắc: Một phương án cực biên x0
sẽ có tối đa là m thành phần dương. Ta gọi một tập hợp gồm m vector cột của hệ ràng buộc là một cơ sở của của phương án cực biên x0
phương án x0
và ký hiệu là J0. Giả sử x0
có j thành phần dương là x01, …. , x0
j ( j ≤ m ) thì khi đó hệ J0
gồm m vector trong đó có chứa các vector A1 .. Aj được gọi là cơ sở của vector x0. Như vậy nếu j = m (có nghĩa là x0
có đúng m thành phần dương) thì x0 là phương án cực biên không suy biến và có một cơ sở duy nhất. Còn nếu j < m thì x0 có nhiều cơ sở khác nhau hình thành từ việc lấy j vector {Aj} ghép thêm với m-j vector bất kỳ còn lại trong ma trận hệ ràng buộc.
20. Chỉ số cơ sở, thành phần cơ sở: Để thuận tiện trong tính toán, người ta cũng ký hiệu một cách quy ước tập chỉ số J gồm chỉ số của các vector cơ sở của phương án cực biên x0
là cơ sở của phương án đó. Và các thành phần tương ứng với các chỉ số j € J của phương án x được gọi là các thành phần cơ sở. Các thành phần xk còn lại (với k không thuộc J) được gọi là các thành phần phi cơ sở. Như vậy, các thành phần phi cơ sở của phương án x0
thì đương nhiên bằng 0. Còn các thành phần cơ sở của phương án x0
thì có thể dương hoặc bằng 0. 21. Hệ số phân tích xjk :
Nếu đem phân tích các vector cột Aj qua cơ sở J0 của phương án cực biên x0 thì ta sẽ có các vector hệ số phân tích tương ứng của Aj. Với j € J0
thì vector hệ số phân tích sẽ là vector đơn vị. Còn với các Ak mà k không thuộc cơ sở thì khi phân tích qua cơ sở chúng ta sẽ được một vector hệ số phân tích Xk = {xjk} trong đó j = 1.. m.
22. Ước lượng ∆k :
Nếu ta lấy tích vô hướng của vector hệ số phân tích Xk của vector Ak bất kỳ với vector hệ số Cj
hình thành từ các hệ số cj (j € J) trong hàm mục tiêu, rổi trừ đi hệ số ck tương ứng cũng trong hàm mục tiêu thì ta được một đại lượng ∆k là một số: ∆k = (c, Xk) – ck = ∑cjxjk – ck .
Đại lượng ∆k này được gọi là ước lượng ∆k của thành phần xk từ cơ sở x0. Nó có một tính chất rất lý thú là với các thành phần cơ sở, nó có giá trị bằng 0. Với các thành phần phi cơ sở nó có thể dương, âm hay bằng 0. Dấu của nó cho biết phương thức biến đổi thành phần tương ứng trong x0
để có một phương án mới. Chính vì tính chất này mà ∆k đóng một vai trò quan trọng trong phương pháp đơn hình.
23. Phương zk
Phương zk
về mặt hình học là một đoạn thẳng định hướng, đặc trưng cho chiều biến đổi của một vector. Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, phương zk
là một vector được xây dựng từ hệ số phân tích của vector Ak qua cơ sở J0 của phương án x0 như sau:
zkj = -xjk với mọi j € J0
zkj = 0 với mọi j không thuộc J0
zkk = 1 (Vị trí zk
k được gọi là trục của phép biến đổi và thành phần zkk được gọi là thành phần trục.) Trong bảng đơn hình, phương zk
sẽ ứng với một ước lượng ∆k. nếu ∆k = 0, phương zk được gọi là phương không đổi. nếu ∆k âm, phương zk là phương tăng còn nếu ∆k dương thì phương zk là phương giảm.
Bản chất của việc biến đổi theo phương zk
thực chất là việc biến đổi vector hệ số phân tích Xk của Ak trong bảng đơn hình trở thành vector đơn vị để đưa nó vào cơ sở. Trong đó, phần tử trục sẽ biến thành 1.
24. Để biến đổi phương án x theo phương zk
để tìm ra phương án tổt hơn, chúng ta còn cần đến một khái niệm nữa đó là bước đi θ. θ là một số dương mà khi biến đổi phương án x0
theo phương zk ta dùng công thức: x’ = x0
+ θzk. (1) và ý nghĩa của nó như sau: Nếu ta cộng vào vector x0
vector zk sau khi đã nhân với hệ số θ thì trị của hàm mục tiêu sẽ giảm đi một đại lượng θ∆k: f(x’) = f(x0
) - θ∆k.
Từ công thức (1) và điều kiện x’ là phương án (x’j ≥0) ta sẽ có θ ≤ x0j / xjk. Và ta có 2 kết luận quan trọng về dấu của xjk: Nếu mọi xjk đều nhỏ thua hoặc bằng 0 với j € J0 thì phương zk là phương vô hạn. Nếu tồn tại một xjk dương thì phương zk là phương hữu hạn và θ = min(x0j / xjk) (j €J0) là bước đi lớn nhất.
24. Từ các khái niệm 22, 23 và 24 trên chúng ta rút ra 5 tình huống sau:
Nếu ∆k < 0 thì zk là phương tăng Nếu ∆k = 0 thì zk là phương không đổi Nếu ∆k > 0 thì zk là phương giảm Nếu tồn tại xjk dương thì phương zk
là phương hữu hạn