Với một bài toán quy hoạch tuyến tính, nếu cho trước một phương án x* thì chúng ta có thể khảo sát tính tối ưu của phương án x*, đồng thời xác định được tập hợp các phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu theo quy trình a.
Từ một phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu, chúng ta lại có thể suy ngược ra hệ phương trình cho các phương án tối ưu của bài toán ban đầu. Giải hệ phương trình đó, chúng ta xác định được tập phương án tối ưu của bài toán đã cho. Tất nhiên x* cũng phải là phương án tối ưu.
Ví dụ áp dụng:
Cho bài toán
f(x) = 7x1 + 6x2 -12x3 + x4 max
2x1 – 2x2 - 3x3 + 2x4 = 8 (1) 3x2 + 2x3 – 2x4 ≤ -1 (2) 2x1 - 3x3 + x4 =10 (3) xj ≥ 0 với mọi j
Và một vector x0 = (0, 6, 0, 10). Phân tích tính chất của vector x0 đối với bài toán đã cho. Xác định tập hợp các phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu và của bài toán gốc. chỉ ra một phương án tối ưu nhưng không cực biên của bài toán gốc.
Bước 1: thử tính chất x0
Ta có x0 thoả mãn chặt 2 ràng buộc dấu ngoài ra nó còn thoả mãn chặt ràng buộc thứ 1 và thứ 3. Ta viết ma trận hệ ràng buộc chặt như sau
2 -2 -3 2 2 0 -3 1 2 0 -3 1 1 0 0 0 0 0 1 0
Biến đổi ma trận này ta được hệ độc lập tuyến tính vậy x0 là một phương án cực biên không suy biến của bài toán đã cho.
Bước 2: viết bài toán đối ngẫu (II) φ (y) = 8y1 – y2 + 10y3 min
x1≥ 0 2y1 + 2y3 ≥ 7 (a) x2≥ 0 -2y1 + 3y2 ≥ 6 (b) x3≥ 0 -3y1 + 2y2 - 3y3 ≥ -12 (c) x4≥ 0 2y1 - 2y2 + y3 ≥ 1 (d) (2) y2 ≥ 0
Bước 3: Dựa vào bài toán đối ngẫu chứng minh tính tối ưu của x0
từ đó xác định tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu:
Giả sử x0 là phương án tối ưu, khi đó theo định lý bù yếu những ràng buộc nào mà x0 thoả mãn lỏng thì ràng buộc đối ngẫu của nó trong bài toán đối ngẫu sẽ được một phương án tối ưu y0 nào đó thoả mãn chặt
Ở đây x0
thoả mãn lỏng 3 ràng buộc đó là x2 = 6 > 0; x4 = 10 > 0 và ràng buộc (2) do vậy nếu y0 là một phương án tối ưu của bài toán II thì các thành phần của nó phải thoả mãn
-2y1 + 3y2 = 6 2y1 - 2y2 + y3 = 1 y2 = 0
Từ hệ phương trình trên ta tìm được một nghiệm duy nhất là y0 = (-3, 0, 7) Thay y0 vào các ràng buộc của bài toán đối ngẫu ta thấy y0 cũng thoả mãn do đó y0 là một phương án.
Ta lại có f(x0) = 46 = φ(y0) do đó theo định lý 1 đối ngẫu y0 và x0 là các phương án tối ưu và hơn nữa do x0 là không suy biến nên y0 là phương án tối ưu duy nhất.
Bước 4: Từ y0
xác định tập phương án tối ưu của bài toán gốc:
Ta thấy y0 thoả mãn chặt ràng buộc về dấu và 3 ràng buộc (b), (c), (d). Còn ràng buộc (a) thì nó thoả mãn lỏng. Do đó theo định lý bù yếu, tập hợp các phương án tối ưu của bài toán gốc phải thoả mãn chặt ràng buộc dấu tương đương tức là x1 = 0. Kết hợp với hai ràng buộc chặt đã có của bài toán gốc ta có hệ phương trình
2x1 – 2x2 - 3x3 + 2x4 = 8 (1) 2x1 - 3x3 + x4 =10 (3) x1 = 0
Từ hệ trên chúng ra rút ra một hệ nghiệm (lấy x4 làm ẩn tự do) như sau: x1 = 0
x2 = 1 + x4/2 x3 = x4/3 – 10/3 x4 ≥ 0
Thay các giá trị này vào các ràng buộc lỏng còn lại 3x2 + 2x3 – 2x4 ≤ -1 x4 ≤ 16
x3 ≥ 0 x4 ≥ 10
x2 ≥ 0
Ta tìm được miền xác định của x là các vector (0, 1 + x4/2, x4/3 – 10/3, x4) với x4 nằm trong khoảng từ 10 đến 16. Đây chính là tập hợp các phương án tối ưu của bài toán gốc. Với các giá trị x4 = 10 hoặc 16, ta thu được phương án tối ưu cực biên. Còn lại các giá trị khác của x4 cho ta các phương án tối ưu không cực biên. Chẳng hạn lấy x4 = 12 ta có một phương án tối ưu không cực biên là x* = (0, 7, 2/3, 12)