Chúng ta biết rằng để giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình, chúng ta cần biết một phương án cực biên xuất phát của bài toán. Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu một phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát cho bài toán dạng chuẩn:
Xét bài toán f(x) = (c, x) min Các ràng buộc:
Ax = b xj ≥ 0 bj ≥ 0
Để tìm phương án cực biên của bài toán này (bài toán xuất phát), chúng ta xây dựng một bài toán phụ P khác bằng cách cộng vào tất cả các ràng buộc của bài toán trên một biến phụ xg
i ≥ 0 (i = 1 .. m) và hàm mục tiêu được xây dựng từ các biến xg
với các hệ số cj = 1: p(xg) = ∑xg
i min
nếu biểu diễn một vector n + m thành phần (x, xg) gồm n thành phần của x và m thành phần của xg
thì chúng ta có thể viết đầy đủ dạng bài toán P như sau
p(x, xg ) = ∑ xgi min ( i = 1 .. m) ∑ aij xj + xgi = b
xj ≥ 0 ; xgi ≥ 0 với j = 1.. n và i = 1.. m bj ≥ 0.
Biến xg
ở trên được gọi là các biến “giả”. Việc đặt biến giả như vậy cho phép chúng ta suy luận là nếu có một phương án thoả mãn ràng buộc của bài toán xuất phát thì chắc chắn là các phương án của bài toán phụ sẽ phải thoả mãn các ràng buộc với điều kiện là các thành phần của vector xg
bằng 0 và khi đó p(x, xg) sẽ đạt cực trị là bằng 0. Ngược lại nếu chúng ta chứng minh được rằng có một phương án của bài toán phụ mà có thành phần xg
i nào đó dương, thì có thể kết luận ngay là bài toán xuất phát không có phương án (vì sẽ có phương trình thứ i trong hệ ràng buộc không thoả mãn).
Từ suy luận trên ta có một số mệnh đề sau: Mệnh đề 1. Vector Ag
i của hệ ràng của bài toán P buộc tương ứng với các thành phần xgi chính là vector đơn vị thứ i (ei
).
Mệnh đề 2: Nếu x là một phương án của bài toán xuất phát thì vector có dạng (x, xg
= 0) sẽ là phương án của bài toán phụ P và ngược lại nếu vector có dạng (x, xg
= 0) là phương án của bài toán P thì x là một phương án của bài toán xuất phát.
Mệnh đề 3: x là phương án cực biên của bài toán xuất phát khi và chỉ khi (x, xg
= 0) là phương án cực biên của bài toán phụ P.
Cách chứng minh: Dựa vào mệnh đề đã biết là x là phương án cực biên khi và chỉ khi các vector Aj
tương ứng với các thành phần dương là độc lập tuyến tính.
Như vậy việc tìm phương án cực biên của bài toán xuất phát (nếu có) sẽ dẫn đến việc tìm phương án cực biên của bài toán P có dạng (x, xg
= 0). mà ta biết rằng P (x, xg = 0) = 0 trong khi hàm p(x, xg ) bị chặn dưới bởi 0. Do đó nếu ta giải được bài toán p (đi tìm phương án tối ưu) thì sẽ tìm ra một phương án cực biên của bài toán xuất phát.
Nhận xét: Bài toán P là bài toán dạng chuẩn vì nó thoả mãn hai điều kiện: (1) bj ≥ 0 và (2) trong hệ phương trình ràng buộc chứa đủ m vector đơn vị là các vector Ag
i do thêm các biến xgi vào. Do đó đối với bài toán P ta luôn có ngay một phương án cực biên, và hơn nữa vì hàm p(x, xg
) bị chặn dưới bởi 0 nên bài toán P luôn giải được. Nghĩa là sau một số hữu hạn bước chúng ta sẽ tìm được một phương án cực biên x*
của bài toán P. x* = ( x, xg), chúng ta xét 2 trường hợp:
1. Giá trị cực tiểu mà hàm p đạt tại x*
là dương nghĩa là p(x*) = ∑ xg
i > 0. Khi đó, tồn tại một xgi > 0 và từ đây có thể kết luận vài toán xuất phát không có phương án.
2. Hàm p đạt cực trị bằng 0. Nghĩa là p(x*) = ∑ xg
i = 0 hay tất cả các xgi đều bằng 0. Trong trường hợp này, theo mệnh đề trên ta có thể suy ra thành phần x trong phương án x*
chính là một phương án cực biên của bài toán suất phát. Như vậy nếu tìm được một cơ sở ứng với phương án x của bài toán xuất phát nữa thì ta có thể giải bài toán xuất phát bằng phương pháp đơn hình.
Giả sử {Aj }là cơ sở của bài toán phụ P ứng với phương án cực biên x*. Nếu {Aj} không chứa một vector Agi nào thì cơ sở này cũng chính là cơ sở của phương án cực biên x của bài toán xuất phát. Như vậy chúng ta chỉ cần tính lại hàng ước lượng ∆k theo hàm f và có thể tiếp tục thuật toán trên cùng một bảng đơn hình để tìm phương án cực biên tối ưu của bài toán xuất phát.
Ngược lại nếu trong cơ sở {Aj} của bài toán phụ có chứa một vector Ag
i thì dễ thấy ngay rằng phương án cực biên x*
suy biến (do có một thành phần xgi = 0). Trường hợp này để tiếp tục thuật toán, trước hết, chúng ta phải loại cột tương ứng với thành phần xg
i đó ra ngoài bảng đơn hình, tính lại hàng ước lượng ∆k theo hàm f và tiếp tục thuật toán để tìm phương án cực biên tối ưu cho bài toán xuất phát.