Với phản ứng trao đổi điện tích như $(p,n)$ và ($^3$He,$t$), nếu kí hiệu các hạt ở kênh vào là $a \equiv (Z_a,N_a) $ và $A \equiv (Z_A,N_A)$ thì các hạt nhân ở kênh ra sẽ là $b \equiv (Z_a-1,N_a+1)$ và $B \equiv (Z_A+1, N_A-1)$. Hạt nhân con có thể ở nhiều trạng thái kích thích khác nhau nhưng ta chỉ xét trạng thái kích thích tương tự đồng khối của hạt nhân bia, $B \equiv \tilde A_{\rm {IAS}}$
Trạng thái IAS của hạt nhân $\tilde A_{\rm{IAS}}$ có spin, độ chẵn lẻ và cấu trúc vật lý rất gần với trạng thái cơ bản của hạt nhân bia vì chúng là thành viên của một đa mức spin đồng vị, nhóm các hạt nhân có spin đồng vị cùng độ lớn \textit{T} nhưng khác định hướng trong không gian spin đồng vị. Nếu hạt nhân A có hình chiếu spin đồng vị là $T_z=\frac{N-Z}{2}$ thì hạt nhân tương tự đông khối $\tilde A$ có hình chiếu spin đồng vị là $ \tilde T_z = T_z-1 $. Như vậy phản ứng trao đổi điện tích kích thích trạng thái IAS mà ta quan tâm có hai kênh là $\alpha = (a+A)$ và $\alpha'=(b+\tilde A_{\rm{IAS}})$.
Trong không gian spin đồng vị, xét kênh $\alpha$ gồm hệ \textit{a} và \textit{A} kết hợp với nhau. spin đồng vị của hạt nhân \textit{a, A} được ký hiệu là $\bm{T_a, T_A}$ có độ lớn là $T_a, T_A$ và hình chiếu là $t_a, t_A$. Các hàm riêng của hệ riêng lẻ lần lượt là $\left| {T_a ,t_a} \right\rangle$ và $\left| {T_A ,t_A} \right\rangle$. Spin đồng vị tổng được ký hiệu là $\bm{T=T_a+T_A}$ có độ lớn là \textit{T} và hình chiếu là $t$. Không gian trạng thái của hệ kết hợp được tạo bởi tích tensor của hai không gian riêng lẻ $| {T_a ,t_a} \rangle$ và $| {T_A ,t_A} \rangle$
28
Tập hợp các hàm sóng (\ref{hecu}) tạo thành một hệ đủ. Nhưng thay cho các hàm sóng (\ref{hecu}), các hàm sóng $| T_A, T_a, T ,t \rangle \equiv | T ,t \rangle $ được dùng làm cơ sở. Vì \textit{p} và $^3$He cùng có $T_a = \frac{1}{2}$ và $t_a = -\frac{1}{2}$, hơn nữa $ |T_a-T_A| \leq T \leq T_a + T_A $ và $ t = t_a + t_A $ nên để đơn giản, ta dùng các ký hiệu như sau
Khi chuyển từ hệ cơ sở $ | T_a ,t_a, T_A ,t_A \rangle $ sang hệ cơ sở $| T ,t \rangle$ hàm sóng nội của kênh $\alpha$ là
Tương tự cho kênh $\alpha'$ ta cũng có
Công thức tính các hệ số Clebsch-Gordan trong (\ref{wfalpha}) và (\ref{wfalpha'}) có thể được tìm thấy trong các tài liệu về cơ học lượng tử.
Phần xuyên tâm của TQH hạt nhân-hạt nhân được viết dưới dạng cộng vector đồng vị (isovector coupling) là
trong đó $T_a = \frac{1}{2}$ và $T_A$ lần lượt là spin đồng vị của hạt tới và hạt nhân bia. Số hạng thứ hai trong (\ref{Lanepot}) được gọi là \textit{thế Lane} \cite{Lane62}. Tuy chỉ đóng góp rất nhỏ, cỡ vài phần trăm \cite{Satchler55}, vào tiết diện tán xạ đàn hồi $(p,p)$ và $(n,n)$ nhưng thế Lane $U_1$ lại chi phối hoàn toàn cường độ dịch chuyển Fermi $\Delta J=0^+$ của phản ứng $(p,n)$ đến trạng thái IAS. Chính vì vậy, phản ứng trao đổi điện tích được dùng để kiểm tra sự phụ thuộc spin đồng vị của TQH hạt nhân-hạt nhân.
29 Trong biểu thức (\ref{Lanepot}) ta có
nên ta được yếu tố ma trận sau
Sử dụng các công thức (\ref{wfalpha}), (\ref{wfalpha'}) và (\ref{mett}) ta có các yếu tố ma trận sau
Do đó trong tán xạ đàn hồi hạt nhân-hạt nhân, yếu tố ma trận của thành phần phụ thuộc spin đồng vị của thế tương tác hạt nhân-hạt nhân là
Còn yếu tố ma trận dịch chuyển hay thế chuyển dịch hạt nhân của phản ứng trao đổi điện tích $(p,n)$, ($^3$He,$t$) là
30
TQH của kênh vào $(a + A)$ và kênh ra $(b + \tilde A)$ được xác định qua thành phần $U_0$ và $U_1$ nhờ công thức (\ref{Lanepot})
với $U_0(R)$ và $U_1(R)$ có thể được tính từ MQH hiện tượng luận hoặc từ một MQH vi mô.
Hàm sóng tổng cộng của phản ứng trao đổi điện tích trong hình thức luận CC là
trong đó $ \chi_{aA} (\bm{R}) $ và $ \chi_{b \tilde A} (\bm{R}) $ là các hàm sóng mô tả chuyển động tương đối giữa hai hạt trong các kênh.
Vậy tiết diện tán xạ của phản ứng tán xạ đàn hồi (a,a) và phản ứng trao đổi điện tích $A_{g.s}$(a,b)$\tilde A_{\rm{IAS}}$ thu được từ việc giải hệ phương trình CC sau \cite{Satchler83}
trong đó $K_a, K_b$ và $E_a, E_b$ lần lượt là toán tử động năng và năng lượng trong hệ khối tâm của kênh $(a+A)$ và kênh $(b+ \tilde A)$. Vậy thế Lane cho chúng ta mối liên hệ trực tiếp giữa thành phần phụ thuộc spin đồng vị của tương tác NN trong môi trường hạt nhân và phản ứng trao đổi điện tích. Thật vậy, thế chuyển dịch hạt nhân $F_{ab}(R)$, thành phần quyết định tiết diện tán xạ của phản ứng $(p,n)$ (phương trình CC (\ref{CCpn})) hoàn toàn xác định từ thành phần phụ thuộc spin đồng vị của tương tác $U_1$ (\ref{FF}). Vì vậy, tiết diện tán xạ chính xác của phản ứng $(p,n)$ được dùng rất hiệu quả để kiểm tra sự phụ thuộc spin đồng vị của tương tác NN hiệu dụng.
31
Thế $U_a(R)$, $U_b(R)$ và thế chuyển dịch hạt nhân $F_{ab}(R)$ có thể được tính từ mẫu hiện tượng luận như CH89 hoặc từ mẫu vi mô như folding. Để kiểm tra sự phụ thuộc spin đồng vị của tương tác NN hiệu dụng, thế $U_a(R)$, $U_b(R)$ được xây dựng từ mẫu hiện tượng luận CH89. Vì độ chênh lệch năng lượng của trạng thái IAS và trạng thái cơ bản của hạt nhân bia xấp xỉ bằng năng lượng Coulomb để thêm một proton vào bia nên TQH kênh ra $U_b(R)$ được tính tại năng lượng hiệu dụng $E=E_{lap}-Q/2$, với \textit{Q} là hiệu giữa năng lượng kích thích của trạng thái IAS và nhiệt lượng của phản ứng \cite{Satchler83}. Ngoài ra $U_a(R)$ và $U_b(R)$ được thêm vào thế Coulomb và thế tương tác spin-quỹ đạo. Thế chuyển $F_{ab}(R)$, thành phần quyết định tiết diện tán xạ của phản ứng $(p,n)$, được tính vi mô theo mẫu folding tại năng lượng hiệu dụng, sử dụng mẫu tương tác NN phụ thuộc mật độ CDM3Y6 hoặc M3Y-P5.