Mối quan hệ giữa các kiểu phụ thuộc hàm và các công thức

dương

Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R; X,Y  ( ) 1 n i i id  . Khi đó ta nói:

- Khối r thỏa phụ thuộc hàm mạnh fs: Xs Y, kí hiệu r(fs) nếu: u,v r:  x(i)  X sao cho u.x(i)

= v.x(i) u.Y = v.Y

- Khối r thỏa phụ thuộc hàm yếu fw: Xw Y, kí hiệu r(fw) nếu: u,v r: u.X = v.X  y(j)  Y sao cho u.y(j)

= v.y(j)

- Khối r thỏa phụ thuộc hàm đối ngẫu fd: Xd Y, kí hiệu r(fd) nếu: u,v r:  x(i)  X sao cho u.x(i)

= v.x(i)  y(j)  Y sao cho u.y(j) = v.y(j) .

Mệnh đề 3.4

Cho R = ( id; A1, A2,...,An ), r(R) là một khối trên R; X ,Y  ( )

1 n i i id  ,

fs: Xs Y là một phụ thuộc hàm mạnh,gs: X  Y là một công thức suy dẫn

mạnh. Khi đó: r(fs ) khi và chỉ khi r(gs ).

Chứng minh:

) Giả sử ta có r(fs ) ta cần chứng minh r(gs). Thật vậy, nếu tTr t = α(u,v) với u, v r, giả sử (X) (t) = 1  x(i)  X sao cho t.x(i)

= 1 u.x(i) = v.x(i), mà ta có r(fs ) nên suy ra: u.Y = v.Y (Y)(t) = 1. Như vậy, từ (X) (t) = 1 (Y)(t) = 1, nên ta có: t  Tgs . Do đó, từ giả thiết t  Tr t  Tgs , nên ta có: Tr  Tgs r(gs ).

) Ngược lại, giả sử ta có r(gs ) ta cần chứng minh r(fs ). Thật vậy, u,v r: nếu  x(i)  X sao cho u.x(i)

= v.x(i) , đặt t = α(u,v) (X) (t) = 1, từ giả thiết r(gs ) (Y)(t) = 1 u.Y = v.Y. Do đó, ta suy ra r(fs ).

( ) 1 n i i id  Mệnh đề 3.5

Cho R = ( id; A1, A2,..., An ), r(R) là một khối trên R; X ,Y  ( ) 1 n i i id  ,

fw: Xw Y là một phụ thuộc hàm yếu, gw: X  Y là một công thức suy dẫn

yếu. Khi đó: r(fw ) khi và chỉ khi r(gw ).

Chứng minh:

) Giả sử ta có r(fw ) ta cần chứng minh r(gw ).Thật vậy, nếu tTr t= α(u,v) với u, v  r , giả sử (X) (t) = 1 u.X = v.X, mà ta có r(fw ) nên suy ra:  y(j)  Y sao cho u.y(j)

= v.y(j) (Y)(t) = 1. Như vậy, từ (X) (t) = 1 (Y)(t) = 1, nên ta có: t  Tgw. Do đó, từ giả thiết t  Tr t  Tgw, nên ta có: Tr  Tgw r(gw ).

) Ngược lại, giả sử ta có r(gw ) ta cần chứng minh r(fw ). Thật vậy, u,v r: nếu u.X = v.X, đặt t = α(u,v) (X) (t) = 1, từ giả thiết r(gw ) (Y)(t) = 1

 y(j)  Y sao cho u.y(j)

= v.y(j). Do đó, ta suy ra r(fw ).

Mệnh đề 3.6

Cho R = ( id; A1, A2,... ,An ), r(R) là một khối trên R; X ,Y  ,

fd: Xd Y là một phụ thuộc hàm đối ngẫu, gd: X  Y là một công thức

suy dẫn đối ngẫu. Khi đó: r(fd ) khi và chỉ khi r(gd ).

Chứng minh:

) Giả sử ta có r(fd ) ta cần chứng minh r(gd ). Thật vậy, nếu t  Tr t = α(u,v) với u, v  r, giả sử (X) (t) = 1  x(i)  X sao cho t.x(i)

= 1 u.x(i) = v.x(i) , mà ta có r(fd ) nên suy ra:  y(j)  Y sao cho u.y(j)

= v.y(j) (Y)(t) = 1. Như vậy, từ (X) (t) = 1 (Y)(t) = 1, nên ta có: t  Tgd. Do đó, từ giả thiết t  Tr t  Tgd , nên ta có: Tr  Tgd r(gd ).

) Ngược lại, giả sử ta có r(gd ) ta cần chứng minh r(fd ). Thật vậy, u,v r: đặt t = α(u,v), nếu  x(i)  X sao cho u.x(i)

thiết r(gw ) (Y)(t) = 1  y(j)  Y sao cho u.y(j)

= v.y(j). Như vậy, do  x(i)  X sao cho u.x(i)

= v.x(i)  y(j)  Y sao cho u.y(j)

= v.y(j), nên ta suy ra r(fd ).