3.2.1 Khối chân lý
Định nghĩa 3.1
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, u, v r. Ta gọi
(u,v) là phép gán trị: (u,v) = (1(u.x(1), v.x(1)), 2(u.x(2), v.x(2)), ...,
n(u.x(n),v.x(n))) xid , trong đó:
i(u.x(i),v.x(i)) = 1 nếu u.x(i)
= v.x(i) và
i(u.x(i),v.x(i)) = 0 nếu ngược lại, i = 1..n, x id.
Khi đó, với mỗi khối r ta gọi khối chân lý của khối r là khối Tr:
Tr = {(u,v) | u, v r }.
Từ định nghĩa ta thấy khối chân lý của khối r là một khối nhị phân. Trong trường hợp tập id={x}, khi đó khối suy biến thành quan hệ và
khái niệm khối chân lý của khối lại trở thành khái niệm bảng chân lý của quan hệ trong mô hình dữ liệu quan hệ. Nói cách khác, khối chân lý của khối là mở rộng của khái niệm bảng chân lý của quan hệ trong mô hình dữ liệu quan hệ.
3.2.2 Phụ thuộc Boolean dương
Định nghĩa 3.2
Cho R = (id; A1,A2,...,An ),r(R) là một khối trên R, ta gọi mỗi công thức Boolean dương trong P(R) là một phụ thuộc Boolean dương (PTBD).
Khối r thỏa phụ thuộc Boolean dương f và kí hiệu r(f) nếu Tr Tf .
Khối r thỏa tập phụ thuộc Boolean dương F và kí hiệu r(F) nếu khối r
thỏa mọi PTBD trong F: r(F) f F: r(F) Tr TF .
Cho tập PTBD F và một PTBD f, khi đó ta nói F dẫn ra được f theo khối và kí hiệu F f nếu: r : r(F) r(f).
Cho tập PTBD F và một PTBD f, khi đó ta nói F dẫn ra được f theo khối có không quá 2 phần tử và kí hiệu F 2 f nếu: r2 : r2(F) r2(f).
Ví dụ 3.1: Với khối Khách hàng (ký hiệu KH_HANG) đã trình bày ở chương
1 ta có: R=(id; A1, A2, A3, A4), trong đó: id={x, y, z}.
Ở đây: x = 1/1/2015, y = 2/1/2015, z = 3/1/2015 và các thuộc tính là A1= maKH (mã khách hàng), A2= Bmỳ (bánh mỳ, đơn vị: cái), A3= Bơ (đơn vị: gam), A4 = Sữa (đơn vị: lít). Khối này có 3 phần tử t4, t5, t6 được minh họa như ở hình dưới đây:
f: (x(2)y(2)z(2)) ((x(3)
y(3)z(3)) (x(4)
y(4)z(4)))
Hình 3.1: Biểu diễn khối KH_HANG và phụ thuộc Boolean dương f. A04 14 500 0 A04 11 350 5 t4 A04 9 250 4 B05 14 500 5 A05 11 350 5 t5 A05 9 250 8 C06 9 300 5 3/1/2015 A06 t6 A06 8 0 8 1/1/2015
maKH Bmỳ Bơ Sữa
0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0
Khi đó khối chân lý r1 của khối KH_HANG là khối sau: r1:
maKH Bmỳ Bơ Sữa (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hình 3.2: Biểu diễn khối chân lý r1 của khối KH_HANG.
Từ khối chân lý này ta thấy giá trị của f tại các phần tử: α(t4,t4), α(t4,t5), α(t4,t6) và α(t5,t6) đều bằng 1 Tr Tf. Vậy khối r thỏa phụ thuộc Boolean dương: f: (x(2)
y(2)z(2)) ((x(3)
y(3)z(3)) (x(4)
y(4)z(4))). Xét trên từng lát cắt ta có:
- rx thỏa phụ thuôc Boolean dương fx : x(2) x(3) x(4)
- ry thỏa phụ thuôc Boolean dương fy : y(2) y(3) y(4)
- rz thỏa phụ thuôc Boolean dương fz : z(2) z(3) z(4) .
Tuy nhiên r không thỏa phụ thuộc hàm: g: (x(2)y(2)z(2)) (x(3)
y(3)z(3)x(4)y(4)z(4)). . Ta có định lý tương đương sau:
Định lý 3.1
Cho tập PTBD F và một PTBD f , R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:
(i) F f (suy dẫn logic), (ii) F f (suy dẫn theo khối),
(iii) F 2 f (suy dẫn theo khối có không quá 2 phần tử).
α(t4,t5) α(t4,t6) α(t5,t6)
Chứng minh
(i) (ii): Theo giả thiết ta có F f TF Tf . (1) Giả sử r là một khối bất kì thỏa r(F), khi đó theo định nghĩa: Tr TF. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: Tr Tf , vậy ta có: r(f).
(ii) (iii): Hiển nhiên, vì suy dẫn theo khối có không quá 2 phần tử là trường hợp đặc biệt của suy dẫn theo khối.
(iii) (i): Giả sử t = (x(1), x(2), ..., x(n)) xid , t TF, ta chứng minh t Tf. Thật vậy, nếu t = e thì ta có ngay t Tf vì như ta đã biết f là công thức Boole dương. Nếu t e , ta xây dựng khối r gồm 2 phần tử u và v như sau: u = (y(1), y(2), ..., y(n)) yid , v = (z(1), z(2), ..., z(n)) zid sao cho (u,v) = t. Như vậy, r là khối có 2 phần tử và Tr = {e, t} TF , với e là phần tử của khối mà mọi giá trị đều bằng 1.
Từ đó suy ra r(F). Theo giả thiết thì từ r(F) r(f), do đó Tr Tf . (1) Từ bao hàm thức (1) và từ t Tr ta suy ra t Tf .
Trong trường hợp tập id = {x}, khi đó khối suy biến thành quan hệ và định lý tương đương ở trên lại trở thành định lý tương đương trong mô hình dữ liệu quan hệ. Cụ thể:
Hệ quả 3.1
Cho tập PTBD F và một PTBD f , R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan hệ, khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:
(i) F f (suy dẫn logic),
(ii) F f (suy dẫn theo quan hệ),
(iii) F 2 f (suy dẫn theo quan hệ có không quá 2 phần tử).
Đây chính là một kết quả đã được chứng minh trong mô hình dữ liệu quan hệ.
Đối với phụ thuộc hàm (PTH) trên khối r, ta đã định nghĩa khối r thỏa PTH f: X Y, kí hiệu r(f) nếu: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
u, v r: u.X = v.X u.Y = v.Y
Khi xem phụ thuộc hàm như là một trường hợp riêng của CTBD thì ta đã chấp nhận định nghĩa của khối r thỏa phụ thuộc hàm f: X Y nếu Tr Tf . Định lý cần và đủ sau đây khẳng định sự tương đương của hai định nghĩa trên:
Định lý 3.2 (điều kiện cần và đủ)
Cho R=(id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, phụ thuộc hàm f: X Y
với X, Y ( ) 1 n i i id . Khi đó: r(f) Tr Tf . Chứng minh
Giả sử r là một khối thỏa phụ thuộc hàm f: X Y và t Tr , ta cần chứng minh t Tf .
Thật vậy, vì ta có t Tr nên trong khối r tồn tại 2 phần tử u và v sao cho t = (u, v). Nếu t(X) = 1 u.X = v.X.
Mặt khác, ta có r thỏa f nghĩa là r(f) nên suy ra u.Y = v.Y. Do đó: t(Y) =1 t Tf .
Ngược lại, giả sử Tr Tf với f: X Y , ta cần chứng minh r thỏa phụ thuộc hàm f, nghĩa là r(f). Thật vậy, với 2 phần tử tùy ý u và v trong r mà ta có: u.X = v.X, ta đặt t = (u, v) t Tr , t.X = 1. Mặt khác, ta lại có: Tr Tf t Tf , mà ta lại có t.X = 1 t.Y = 1. Vậy ta có: u.Y = v.Y. Như vậy, từ u.X = v.X ta rút ra u.Y = v.Y r thỏa phụ thuộc hàm f, nghĩa là r(f).
Hệ quả 3.2
Cho R=(id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, phụ thuộc hàm f: X Y
với X, Y ( ) 1 n i i id
. Nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan hệ, khi đó
trong mô hình dữ liệu quan hệ ta có: r(f) Tr Tf .
Trong trường hợp F là tập các phụ thuộc hàm trên khối thì TF là giao của các Tf thành viên trong F nên ta lại có kết quả sau:
Mệnh đề 3.3
Cho R = ( id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, tập phụ thuộc hàm
F = {f: X Y | X, Y ( ) 1 n i i id }. Khi đó: r(F) Tr TF. Nhận xét
Cho R = ( id; A1, A2,..., An ), r(R) là một khối trên R, tập phụ thuộc hàm
F = {f: X Y | X, Y ( ) 1 n i i id
}. Nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan
hệ, khi đó trong mô hình dữ liệu quan hệ ta có: r(F) Tr TF .
Từ đây trở đi ta hiểu tập F trong lược đồ khối = (R, F) là tập các phụ thuộc Boolean dương trên R.
Giả sử X ( ) 1 n i i id , v Bn x m , khi đó ta có: X(v) = 1 x(i) X: v. x(i) = 1, X(v) = 1 x(i) X: v. x(i) = 1 và X(v) = 0 x(i) X: v. x(i) = 0, X(v) = 0 x(i) X: v. x(i) = 0.
Định lý 3.3
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối, F là tập các phụ thuộc
Boolean dương trên R, X, Y ( )
1 n i i id . Khi đó:
i) (F (X Y)) ( v TF: ((x(i) X: v. x(i) = 0) (y(j) Y:
v. y(j) = 1))) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ii) (F (X Y)) ( v TF: ((x(i) X: v. x(i) = 0) (y(j) Y:
v. y(j) = 1)))
iii) (F (X Y)) ( v TF: ((x(i) X: v. x(i) = 0) (y(j) Y:
v. y(j) = 1)))
iv) (F (X Y)) ( v TF: ((x(i) X: v. x(i) = 0) (y(j) Y:
v. y(j) = 1)))
Hệ quả 3.3
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối, F là tập các phụ thuộc
Boolean dương trên R; X, Y ( )
1 n i i id
. Khi đó, nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan hệ và ta có:
i) (F (X Y)) (v TF: ((AX: v. A = 0) (B Y: v. B
= 1))).
ii) (F (X Y)) (v TF: ((A X: v. A = 0) (B Y: v. B
= 1))).
iii) (F (X Y)) (v TF: ((AX: v. A = 0) (BY: v. B
= 1))).
iv) (F (X Y)) (v TF: ((A X: v. A = 0) (BY: v. B
Định nghĩa 3.3
Cho lược đồ khối R = (id; A1,A2,...,An ), B = {0,1},| id | = m. Khi đó với
mọi v B n x m ta kí hiệu: Set(v) = { x(j) ( ) 1 n i i id | v. x(j) = 1}
và với mỗi khối T B n x m ta kí hiệu:
Set(T) = {Set(v) | v T}.
Từ định lý 3.3 ta suy ra định lý sau:
Định lý 3.4
Cho R=(id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối, F là tập các phụ thuộc
Boolean dương trên R; X, Y ( )
1 n i i id . Khi đó: i) (F (X Y)) ( V Set(TF): (X V Y V)).
ii) (F (X Y)) ( V Set(TF): (X V Y V )).
iii) (F (X Y)) ( V Set(TF): (X V Y V)). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
iv) (F (X Y)) ( V Set(TF): (X V Y V )).
Hệ quả 3.4
Cho R=(id; A1,A2,...,An ),r(R) là một khối, F là tập các phụ thuộc Boolean
dương trên R; X, Y ( ) 1 n i i id
. Khi đó, nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan hệ và ta có: :
i) (F (X Y)) ( V Set(TF): (X V Y V)).
ii) (F (X Y)) ( V Set(TF): (X V Y V )).
iii) (F (X Y)) ( V Set(TF): (X V Y V)).
3.3 Mối quan hệ giữa các kiểu phụ thuộc hàm và các công thức Boolean dương dương
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R; X,Y ( ) 1 n i i id . Khi đó ta nói:
- Khối r thỏa phụ thuộc hàm mạnh fs: Xs Y, kí hiệu r(fs) nếu: u,v r: x(i) X sao cho u.x(i)
= v.x(i) u.Y = v.Y
- Khối r thỏa phụ thuộc hàm yếu fw: Xw Y, kí hiệu r(fw) nếu: u,v r: u.X = v.X y(j) Y sao cho u.y(j)
= v.y(j)
- Khối r thỏa phụ thuộc hàm đối ngẫu fd: Xd Y, kí hiệu r(fd) nếu: u,v r: x(i) X sao cho u.x(i)
= v.x(i) y(j) Y sao cho u.y(j) = v.y(j) .
Mệnh đề 3.4
Cho R = ( id; A1, A2,...,An ), r(R) là một khối trên R; X ,Y ( )
1 n i i id ,
fs: Xs Y là một phụ thuộc hàm mạnh,gs: X Y là một công thức suy dẫn
mạnh. Khi đó: r(fs ) khi và chỉ khi r(gs ).
Chứng minh:
) Giả sử ta có r(fs ) ta cần chứng minh r(gs). Thật vậy, nếu tTr t = α(u,v) với u, v r, giả sử (X) (t) = 1 x(i) X sao cho t.x(i)
= 1 u.x(i) = v.x(i), mà ta có r(fs ) nên suy ra: u.Y = v.Y (Y)(t) = 1. Như vậy, từ (X) (t) = 1 (Y)(t) = 1, nên ta có: t Tgs . Do đó, từ giả thiết t Tr t Tgs , nên ta có: Tr Tgs r(gs ).
) Ngược lại, giả sử ta có r(gs ) ta cần chứng minh r(fs ). Thật vậy, u,v r: nếu x(i) X sao cho u.x(i)
= v.x(i) , đặt t = α(u,v) (X) (t) = 1, từ giả thiết r(gs ) (Y)(t) = 1 u.Y = v.Y. Do đó, ta suy ra r(fs ).
( ) 1 n i i id Mệnh đề 3.5
Cho R = ( id; A1, A2,..., An ), r(R) là một khối trên R; X ,Y ( ) 1 n i i id ,
fw: Xw Y là một phụ thuộc hàm yếu, gw: X Y là một công thức suy dẫn
yếu. Khi đó: r(fw ) khi và chỉ khi r(gw ). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh:
) Giả sử ta có r(fw ) ta cần chứng minh r(gw ).Thật vậy, nếu tTr t= α(u,v) với u, v r , giả sử (X) (t) = 1 u.X = v.X, mà ta có r(fw ) nên suy ra: y(j) Y sao cho u.y(j)
= v.y(j) (Y)(t) = 1. Như vậy, từ (X) (t) = 1 (Y)(t) = 1, nên ta có: t Tgw. Do đó, từ giả thiết t Tr t Tgw, nên ta có: Tr Tgw r(gw ).
) Ngược lại, giả sử ta có r(gw ) ta cần chứng minh r(fw ). Thật vậy, u,v r: nếu u.X = v.X, đặt t = α(u,v) (X) (t) = 1, từ giả thiết r(gw ) (Y)(t) = 1
y(j) Y sao cho u.y(j)
= v.y(j). Do đó, ta suy ra r(fw ).
Mệnh đề 3.6
Cho R = ( id; A1, A2,... ,An ), r(R) là một khối trên R; X ,Y ,
fd: Xd Y là một phụ thuộc hàm đối ngẫu, gd: X Y là một công thức
suy dẫn đối ngẫu. Khi đó: r(fd ) khi và chỉ khi r(gd ).
Chứng minh:
) Giả sử ta có r(fd ) ta cần chứng minh r(gd ). Thật vậy, nếu t Tr t = α(u,v) với u, v r, giả sử (X) (t) = 1 x(i) X sao cho t.x(i)
= 1 u.x(i) = v.x(i) , mà ta có r(fd ) nên suy ra: y(j) Y sao cho u.y(j)
= v.y(j) (Y)(t) = 1. Như vậy, từ (X) (t) = 1 (Y)(t) = 1, nên ta có: t Tgd. Do đó, từ giả thiết t Tr t Tgd , nên ta có: Tr Tgd r(gd ).
) Ngược lại, giả sử ta có r(gd ) ta cần chứng minh r(fd ). Thật vậy, u,v r: đặt t = α(u,v), nếu x(i) X sao cho u.x(i)
thiết r(gw ) (Y)(t) = 1 y(j) Y sao cho u.y(j)
= v.y(j). Như vậy, do x(i) X sao cho u.x(i)
= v.x(i) y(j) Y sao cho u.y(j)
= v.y(j), nên ta suy ra r(fd ).
3.4 Phụ thuộc Boolean dương tổng quát trên khối Định nghĩa 3.4 Định nghĩa 3.4
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ta quy ước rằng mỗi
miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid), 1 i n,
có chứa ít nhất hai phần tử.
Khi đó, với mỗi miền trị di ta xét ánh xạ: i: di x di B thỏa các điều
kiện sau:
(i)a di: i(a,a) = 1.
(ii) a,b di: i(a,b) = i(b,a). (iii) a,b di: i(a,b) = 0.
Như vậy, ta thấy các ánh xạ ichính là các quan hệ bộ phận thực sự trên di thỏa các tính chất phản xạ và đối xứng. Quan hệ đẳng thức là một trường hợp riêng của quan hệ này.
Ví dụ 3.2:
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu thuộc tính chỉ số x(1) có miền trị d1 là tập các số nguyên dương thì ta định nghĩa ánh xạ 1: d1 x d1 B như sau:
a, b d1: 1(a,b) = 1 ( mod 2) ( mod 2), 0 a b
Ta dễ thấy ánh xạ 1 thỏa mãn 3 tính chất đã nêu trong định nghĩa trên.
Định nghĩa 3.5
Cho R= (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, u, v r. Kí hiệu (u,v) là phép gán trị: (u,v)=(1(u.x(1),v.x(1)),2(u.x(2),v.x(2)), ..., n(u.x(n),v.x(n))) xid ,
cho mỗi cặp phần tử của khối r. Khi đó, với mỗi khối r ta kí hiệu khối chân lý
của khối r là Tr:
Tr = { (u,v) | u, v r }.
Từ định nghĩa ta thấy khối chân lý của khối r ở trường hợp này cũng là
một khối nhị phân.
Trong trường hợp tập id={x}, khi đó khối r suy biến thành quan hệ và khái niệm khối chân lý của khối r lại trở thành khái niệm bảng chân lý của quan hệ r trong mô hình dữ liệu quan hệ. Nói cách khác, khối chân lý của khối là mở rộng khái niệm bảng chân lý của quan hệ trong mô hình dữ liệu quan hệ.
Định nghĩa 3.6
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ta gọi mỗi công thức
Boolean dương trong P(U), U = n
i i 1 ) ( id
là một phụ thuộc Boolean dương tổng quát (PTBDTQ).
Ta nói khối r thỏa PTBDTQ f và kí hiệu r(f) nếu Tr Tf .
Khối r thỏa tập PTBDTQ F và kí hiệu r(F) nếu khối r thỏa mọi
PTBDTQ f trong F: r(F) f F: r(f) Tr TF .
Ví dụ 3.3: Với khối Khách hàng (ký hiệu KH_HANG) đã trình bày ở chương
1 có: R = (id; A1, A2, A3, A4), trong đó:
Id = {x, y, z} ở đây x = 1/1/2015, y = 2/1/2015, z = 3/1/2015 và các thuộc tính: A1 = maKH (mã khách hàng),
A2 = Bmỳ (bánh mỳ, đơn vị: cái), A3 = Bơ (đơn vị: gam),
0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
Khối này có 3 phần tử t4, t5, t6 được minh họa như ở hình dưới đây:
g: (x(2)y(2)z(2)) ((x(3) x(4)
)(y(3) y(4)
)(z(3)z(4)
))
Hình 3.3: Biểu diễn khối KH_HANG và PTBDTQ g. Ở đây, ta xác định các i như sau: - 1 (a,b) = 1 khi và chỉ khi a = b, ngược lại thì 1 (a,b) = 0. - i (a,b) = 1 khi và chỉ khi a và b cùng khác 0 hoặc cùng bằng 0, ngược lại thì i (a,b) = 0, i {2, 3, 4}. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khi đó khối chân lý r2 của khối KH_HANG là khối sau: r2: maKH Bmỳ Bơ Sữa
Hình 3.4: Biểu diễn khối chân lý r2 của khối KH_HANG. A04 14 500 0 A04 11 350 5 t4 A04 9 250 4 B05 14 500 5 A05 11 350 5 t5 A05 9 250 8 C06 9 300 5 3/1/2015 A06 t6 A06 8 0 8 1/1/2015
maKH Bmỳ Bơ Sữa
11 250 5 2/1/2015
α(t4,t5) α(t4,t6) α(t5,t6)
Từ khối chân lý này ta thấy giá trị của g tại các phần tử: α(t4,t4), α(t4,t5), α(t4,t6) và α(t5,t6)đều bằng 1 Tr Tg. Vậy khối KH_HANG thỏa phụ thuộc Boolean dương tổng quát g: (x(2)
y(2)z(2)) ((x(3) x(4)
)(y(3) y(4)
)(z(3)z(4)
)). Khối r = KH_HANG thỏa phụ thuộc Boolean dương tổng quát g có nghĩa là: trong các ngày 1/1/2015, 2/1/2015 và 3/1/2015 các khách hàng đã
mua bánh mỳ thì cũng mua bơ hoặc mua sữa.
Xét trên từng lát cắt ta cũng có:
- rx thỏa phụ thuôc Boolean dương tổng quát gx : x(2) x(3) x(4)
- ry thỏa phụ thuôc Boolean dương tổng quát gy : y(2) y(3) y(4)
- rz thỏa phụ thuôc Boolean dương tổng quát gz : z(2) z(3) z(4) .
Định lý 3.5
Cho tập PTBDTQ F và một PTBDTQ f, R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R. Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:
(i) F f (suy dẫn logic), (ii) F f (suy dẫn theo khối),
(iii) F 2 f (suy dẫn theo khối có không quá 2 phần tử).
Chứng minh
(i) (ii): Theo giả thiết ta có F f TF Tf . (1) Giả sử r là một khối bất kì thỏa F, khi đó theo định nghĩa: Tr TF. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: Tr Tf, vậy ta có: r(f).
(ii) (iii): Hiển nhiên, vì suy dẫn theo khối có không quá 2 phần tử là trường hợp đặc biệt của suy dẫn theo khối.
(iii) (i): Giả sử t = (x(1), x(2), ..., x(n)) xid, t TF, ta chứng minh t Tf. Thật vậy, nếu t = e thì ta có ngay t Tf vì như ta đã biết f là công thức Boolean dương. Nếu t e, ta xây dựng khối r gồm 2 phần tử u và v như sau: u = (y(1), y(2), ..., y(n)) yid , v = (z(1), z(2), ..., z(n)) zid sao cho (u,v) = t. Như
vậy r là khối có 2 phần tử và Tr = {e, t} TF , với e là phần tử của khối mà mọi giá trị đều bằng 1.