2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của
2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương
Mệnh đề 2.3.1. Cho I, J là các iđêan của vành R sao cho √
I =
√
J, khi đó với mỗi số nguyên dương i, HIi(M) là I-cofinite khi và chỉ khi HJi(M) là J-cofinite. Chứng minh: Từ định nghĩa các hàm tử ΓI(_),ΓJ(_), ta có ΓI(M) = [ n∈N (0 :M In) và ΓJ(M) =S n∈N(0 :M Jn). Suy ra: √ I = √ J ⇐⇒ ΓI(M) = ΓJ(M)
nên:
√ I =
√
J ⇐⇒ HLi(_) = HJi(_)
Mệnh đề 2.3.2. ChoI là iđêan của R, M là R-môđun. Nếu HIi(M)
là I-cofinite với mọi i (tương ứng với mọi i ≤ n) thì ExtiR(R/I, M)
là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i (tương ứng với mọi i ≤ n).
Chứng minh: Đặt M = M/ΓI(M), ta có đẳng cấu: HIi(M) ∼= 0 nếu i = 0 HIi(M) nếu i > 0 Xét dãy khớp ngắn các R-môđun: 0→ ΓI(M) → M → M → 0
Suy ra dãy khớp dài:
...→ExtiR−1(R/I,ΓI(M))→ExtRi−1(R/I, M)→ExtiR−1(R/I, M)→...
Ta có ΓI(M) = HI0(M) là I-cofinite nên ExtiR−1(R/I,ΓI(M) và
ExtiR(R/I,ΓI(M) là hữu hạn sinh. Suy ra ExtiR(R/I, M) hữu hạn sinh khi và chỉ khi ExtiR(R/I, M) hữu hạn sinh. Vậy không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ngay từ đầu là ΓI(M) = 0.
Ta chứng minh mệnh đề bằng qui nạp theo n. Trường hợp n= 0
là hiển nhiên. Giả sử mệnh đề đúng với mọi i ≤ k và HIi(M) là I- cofinite với mọii ≤k+1. Lấy E là bao nội xạ của M, đặtL = E/M. Từ dãy khớp ngắn:
0→ M → E →L → 0
Ta có các dãy khớp dài:
... →HIk(M) → HIk(E) →HIk(L) → HIk+1(M) → ...
Với i ≥ 1, HIi(E) = lim
−−−→
n∈N
ExtiA(A/In, E) = 0 nên từ dãy khớp trên,
HIk(L) ∼= Hk+1
I (M). Suy ra HIi(L) là I-cofinite với mọi i ≤ k. Áp dụng giả thiết qui nạp, ExtiI(R/I, L) hữu hạn sinh với mọi
i ≤ k. Mặt khác, E là nội xạ nên ExtkR(R/I, E) = 0,∀k, suy ra
ExtkR(R/I, L) ∼= Extk+1
A (A/I, M). Suy ra ExtkR+1(R/I, M) hữu hạn
sinh.
Từ chứng minh mệnh đề trên ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.3.3. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun sao cho
Supp(M) ⊂ V(I) và HIi(M) là I-cofinite với mọi i. Khi đó M
là I-cofinite.
Mệnh đề 2.3.4. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun sao cho
ExtiI(R/I, M) là hữu hạn sinh với mọi i và s là một số nguyên dương sao cho HIi(M) là I-cofinite với mọi i 6= s. Khi đó HIs(M)
cũng là I-cofinite.
Chứng minh: Ta chứng minh bằng qui nạp theo k. Đặt M =
M/ΓI(M), ta có: HIi(M) ∼= 0 nếu i = 0 HIi(M) nếu i > 0
Nếu s = 0 thì HIi(M) là I-cofinite với mọi i. Từ đó ExtiI(R/I, M)
hữu hạn sinh với mọi i theo mệnh đề 2.3.2. Từ dãy khớp dài cảm sinh bởi dãy khớp ngắn 0 → ΓI(M) → M → M → 0, suy ra
ExtiI(R/I,ΓI(M)) hữu hạn sinh với mọi i. Vậy ΓI(M) là I-cofinite. Giả sử mệnh đề đúng với mọi R-môđun N và mọi s >0. Bởi vì
ΓI(M) là I-cofinite nên ExtIi(R/I,ΓI(M)) hữu hạn sinh với mọi i. Tương tự trên, từ dãy khớp dài cảm sinh bởi 0 → ΓI(M) → M → M →0, ta suy ra ExtiI(R/I, M) hữu hạn sinh với mọi i khi và chỉ khi ExtiI(R/I, M) hữu hạn sinh với mọi i. Từ đây ta có thể giả sử
ΓI(M) = 0.
Kí hiệu E là bao nội xạ của M, M1 = E/M. DoE là mở rộng cốt yếu của M nên nếu ΓI(E) 6= 0 thì có x 6= 0, x ∈ ΓI(E)∩M. Suy ra
x ∈ ΓI(M) (mâu thuẩn). Vậy ΓI(E) = 0 do đó HomI(R/I, E) = 0. Suy ra các đẳng cấuExtiI(A/I, M1) ∼= Exti+1
I (A/I, M)vàHIi(M1) ∼= HIi+1(M) với mọi i ≥ 0(bao gồm cả trường hợp i = 0). Áp dụng giả thiết qui nạp cho M1 ta có HIs−1(M1) là I-cofinite. Suy ra HIs(M)
là I-cofinite.
Hệ quả 2.3.5. Cho I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn
sinh sao cho HIi(M) = 0 với mọi i 6= s thì HIs(M) là I-cofinite.
Chứng minh: Vì M là hữu hạn sinh nên ExtiI(R/I, M) là hữu
hạn sinh với mọi i. HIi(M) là I-cofinite với mọi i 6= s nên áp dụng mệnh đề 2.3.4 ta có ngay kết quả.
Hệ quả 2.3.6. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R
sinh bởi một M-dãy chính qui thì HIs(M) là I-cofinite với mọi i.
Chứng minh: Giả sử I sinh bởi M-dãy chính qui x1, ..., xn.
Khi đó I sinh bởi n phần tử nên HIi(M) = 0,∀i > n theo [[26],
§3, Theorem 3.3.1]. Mặt khác x1, ..., xn là M-dãy chính qui nên
HIi(M) = 0,∀i < n theo [[26], §1, 1.3.9 (iv)]. Từ đó HIs(M) là
Mệnh đề 2.3.7. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh, s là số nguyên dương bất kì, nếu HIs(M) Artin và HIi(M) là
I-cofinite với mọi i < s thì HIs(M) là I-cofinite.
Chứng minh:Theo hệ quả 2.1.20 ta chỉ cần chứng minh0 :Ht
I(M)) I có độ dài hữu hạn. Xét dãy phổ Grothendieck:
E2i,j = ExtiR(R/I, HIj(M)) −−→
i ExtiR+j(R/I, M)
Khi đó 0 :Ht
I(M)) I = HomR(R/I, HIt(M)) = E20,t. Vì Er0,t ∼= E0,t
∞
với r đủ lớn, E∞0,t đẳng cấu với nhóm con của ExttR(R/I, M) và hơn nữa Kerd0r,t−1 = Ker(Er0−,t1 → Err−−11,t−r+2) nên Kerd0r−,t1 ∼= E0,t
∞ với
mọi r 6= 3. Suy raKerdr0,t−1 hữu hạn sinh với r đủ lớn. Với mọi r 6= 3
ta có dãy khớp:
0 →Kerd0r−,t1 → Er0−,t1 → Err−−11,t−r+2
Vì Err−−11,t−r+2 ⊂ E2r−1,t−r+2, từ giả thiết suy ra rằng Er0−,t1 hữu hạn sinh với r đủ lớn. Tiếp tục quá trình trên ta thấy E20,t là hữu hạn sinh. Mặt khác, R là Noether nên E20,t cũng là Noether, E20,t ⊂ HIt(M) nên là Artin. Từ đây suy ra E20,t có độ dài hữu hạn.
Hệ quả 2.3.8. I là iđêan của R sao cho R/I là Artin, R là R-
môđun hữu hạn sinh. Khi đó HIi(M) là I-cofinite với mọi i.
Chứng minh: Trước hết ta có chú ý là Supp(HIi(M)) ⊂V(I),∀i
và HIi(M) là Artin với mọi i theo [[26], §7, 7.1.4]. Vì HI0(M) = ΓI(M) = S
n∈N(0 :M In) ⊂ M nên hữu hạn sinh, từ đó là Noether do R là Noether. Suy ra 0 :H0
quả 2.1.20, HI0(M) là I-cofinite. Áp dụng 2.3.4 ta được HIi(M) là
I-cofinite với mọi i.
Hệ quả 2.3.9. Cho (R,m) là vành địa phương, M là R-môđun
Artin và hữu hạn sinh. Khi đó Hmi (M) là m-cofinite với mọi i.
Chứng minh: Hmi (M) là Artin với mọi i theo [[26], §7, 7.1.3] và
Hm0(M) = Γm(M) là m-cofinite theo hệ quả 2.1.20. Áp dụng mệnh đề 2.3.4 ta có ngay kết quả cần chứng minh.
Sau đây chúng ta có mối liên hệ giữa môđun F A và tính cofinite:
Mệnh đề 2.3.10. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan
của R, s là số nguyên dương sao cho HIi(M) là F A với mọi i < s. Khi đó HIi(M) là I-cofinite với mọi i < s và HomR(R/I, HIs(M))
là hữu hạn sinh.
Chứng minh: Vì R là Noether, M là hữu hạn sinh nên theo
[[17], Theorem 2.5], HomR(R/I, HIs(M)) và HIi(M) là hữu hạn sinh với mọi i < s. Lại vì 0 :Hi
I(M) I ⊂ HIi(M) nên cũng hữu hạn sinh với mọi i < s. Mặt khác, Supp(HIi(M)) ⊂ V(I),∀i, do đó các F A
môđun HIi(M) là I-cofinite với mọi i < t theo mệnh đề 2.1.9
Định lí 2.3.11. Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là
số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho ExtiR(R/I, M) là R- môđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu hạn. Nếu HIi(M) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR(R/I, HIs(M))
là hữu hạn.
Chứng minh: Chúng ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo s.
Với s = 0 thì HI0(M) ∼= Γ
như là R-môđun HomR(R/I, M).
Giả sử s > 0 và định lý đúng cho trường hợp s −1. Từ ΓI(M) là
I-cofinite chúng ta có ExtiR(R/I,ΓI(M)) là hữu hạn với mọi i. Sử dụng dãy khớp ngắn 0 −→ ΓI(M) −→ M −→ M/ΓI(M) −→ 0
chúng ta có được ExtiR(R/I,ΓI(M)) là hữu hạn với mọi i ≤ s. Mặt khác HI0(M/ΓI(M)) = 0 và HIi(M/ΓI(M)) ∼= Hi
I(M) với mọi
i > 0. Do vậy chúng ta có thể giả thiết rằng ΓI(M)) = 0. Gọi
E là bao nội xạ của M và lấy N = E/M thì ta có ΓI(E) = 0 và
HomR(R/I, E) = 0. Từ đó suy raExtRi (R/I, N) ∼= Exti+1
R (R/I, M)
và HIi(N) ∼= Hi+1
I (M) với mọi i ≥ 0. Theo giả thiết quy nạp ta có
HomR(R/I, Hs−1(N)) là hữu hạn vì vậy HomR(R/I, HIs(M)) cũng
là hữu hạn.
Mệnh đề 2.3.12. Giả sử M là R-môđun sao cho Ext1R(R/I, M) và
Ext2R(R/I,ΓI(M)) là các môđun hữu hạn. Khi đó HomR(R/I, HI1(M))
là hữu hạn.
Chứng minh: Bằng cách sử dụng dãy khớp
0 −→ΓI(M) −→ M −→ M/ΓI(M) −→0
chúng ta có dãy khớp
Ext1R(R/I, M) −→ Ext1R(R/I, M/ΓI(M)) −→ Ext2R(R/I,ΓI(M))
Do vậy môđun Ext1R(R/I, M/ΓI(M)) là hữu hạn. Mặt khác ta có dãy khớp
0 −→M/ΓI(M) −→ DI(M) −→HI1(M) −→0
trong đó DI(−) ∼= lim
−→ HomR(In,−) từ đây ta thu được dãy khớp
Ta có thành phần bên trái là 0 và thành phần bên phải là hữu hạn cho ta HomR(R/I, HI1(M)) là hữu hạn.
Hệ quả 2.3.13. Giả sử M là R-môđun sao cho ExtiR(R/I, M) là
hữu hạn với mọi i. Khi đó môđun đối đồng điều đầu tiên của M
theo iđêan I mà không I-cofinite chỉ có một số hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết.
Hệ quả 2.3.14. Giả sử M là R-môđun hữu hạn. Gọi s là số nguyên
không âm sao cho HIi(M) là hữu hạn với mọi i < s. Khi đó tập
AssR(HIs(M)) là hữu hạn.
Trong phần tiếp theo này chúng ta xét (R,m) là vành Noether địa phương. Cho I là một iđêan của R. Một R-môđun
M được gọi là m-cofinite nếu và chỉ nếu Supp(M) ⊆ V(m) và
HomR(R/m, M)là không gian vectơ hữu hạn chiều. Tập cácm−cofinite môđun như là một phạm trù abel ổn định dưới tác động của môđun con, môđun thương và các mở rộng của nó, với dãy khớp T1 −→ T −→ T2 của các R-môđun, nếu T là m−cofinite thì ta có T1 và T2
cũng là m−cofinite.
Định nghĩa 2.3.15. Cho M là một R-môđun hữu hạn và I là một
iđêan của R. Chúng ta kí hiệu q(I, M) là cận trên bé nhất i sao cho môđun HIi(M) không là m-cofinite.
Định lí 2.3.16. Cho I là một iđêan thực sự của R và M, N là các
R-môđun hữu hạn sao cho SuppN ⊆ SuppM. Khi đó q(I, N) ≤ q(I, M).
Chứng minh:Chúng ta chỉ cần chứng minh rằngHIi(M)làm−cofinite với mọi i > q(I, M). Bây giờ chúng ta chứng minh bằng qui nạp lùi theo i với q(I, M) < i ≤ dim(M) + 1. Bởi vì với i = dim(M) + 1,dim(M) + 2, ... chúng ta không cần chứng minh.
Bây giờ giả sử rằng q(I, M) < i ≤ dim(M) theo định lý Gruson’s có một dây chuyền
0 =N0 ⊆N1 ⊆ N2 ⊆ ...⊆ Nt = N
sao cho môđun thương Nj/Nj−1 đẳng cấu với tổng trực tiếp các bản sao của M. Bằng cách sử dụng dãy khớp ngắn thích hợp chúng ta có thể giả sử t = 1. Do vậy với số nguyên dương n và R-môđun hữu hạn L ta có dãy khớp ngắn
0 −→ L −→Mn −→N −→0
Từ đây chúng ta thu được dãy khớp dài dưới đây
...−→ HIi(L) −→HIi(M) −→ HIi(N) −→ HIi+1(L) −→ ...
Theo giả thiết qui nạpHIi+1(L)làm−cofinite. VìHIi(Mn)làm−cofinite nên chúng ta cũng có HIi(N) là m-cofinite.
Hệ quả 2.3.17. Cho dãy khớp ngắn 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0
các R-môđun hữu hạn. Khi đó
q(I, M) = max{q(I, L), q(I, N)}
Chứng minh:
Theo mệnh đề 1.2.10 ta có SuppM = SuppN ∪SuppL do vậy
Theo định lí 2.3.16 ta có q(I, M) ≥ q(I, L) và q(I, M) ≥ q(I, N) Vậy q(I, M) ≥max{q(I, L), q(I, N)} Mặt khác từ dãy khớp 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 ta có dãy khớp ... −→HIi(L) −→ HIi(Mn) −→ HIi(N) −→ HIi+1(L) −→...
suy ra, nếu HIi(M) không m-cofinite thì HIi(N) cũng không m- cofinite, do đó
q(I, M) ≤ q(I, N)
Từ đây ta có q(I, M) = max{q(I, L), q(I, N)}.
Bây giờ ta có hệ quả trực tiếp sau:
Hệ quả 2.3.18. Cho I là iđêan của R. Khi đó phát biểu dưới đây
là đúng
q(I, R) = sup{q(I, N)|N là R−môđun hữu hạn}
Định lí 2.3.19. Cho M là R-môđun hữu hạn. Khi đó phát biểu
dưới đây đúng
q(I, M) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM}
Chứng minh:
Theo hệ quả 2.3.18 ta cóq(I, R/p) ≤q(I, M)với mọi p∈ Supp(M). Giả thiết phản chứng rằng dấu bằng không xảy ra ∀p ∈ Supp(M). Ta có dây chuyền
các môđun con của M sao cho với mỗi i ta có Mi/Mi−1 ∼= R/p
i với
pi ∈ Supp(M). Đặt t= q(I, M) chúng ta có HIt(R/pi) là m−cofinite với mọi 1≤ i ≤ n. Do vậy từ các dãy khớp ngắn
HIt(Mi−1) −→HIt(Mi) −→ HIt(R/pi), i = 1,2, ..., n
Từ đây ta có q(I, M1) ≥t, đây là điều mâu thuẫn. Vậy dấu bằng xảy ra, hay
q(I, M) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM}
Định lí 2.3.20. Cho I là iđêan của R và i ≥0 là số nguyên sao cho
HIi(R/J) là m−cofinite với mọi iđêanJ củaR. Khi đó q(I, R/p) < i
với mọi p ∈ Supp(R). Đặc biệt q(I, M) < i với mọi R−môđun hữu hạn M.
Chứng minh: Chúng ta chứng minh bằng qui nạp.
Với j ≥ i+ 1 ta có HIj(R/p) là m−cofinite với mọi p ∈ Supp(R). Ta giả sử rằng, với j = i+ 1, thì HIi+1(R/p) không là m−cofinite với p ∈ Supp(R) nào đó, giả thiết rằng I 6⊆ p. Trước hết chúng ta chỉ ra rằng Supp(HIi+1(R/p)) ⊆ V(m).
Giả sử ngược lại tồn tại phần tử x 6= 0 sao cho x ∈ HIi+1(R/p)
mà giá của nó không thuộc về V(m). Vì x linh hóa tử một lũy thừa của I do đó tồn tại y ∈ I \p sao cho yx = 0. Bây giờ chúng ta xem xét dãy khớp ngắn 0 - R/p - R/p R/(p+yR) 0 y - - cảm sinh ra dãy khớp ngắn HIi(R/(p+yR)) - HIi+1(R/p) - HIi+1(R/p) y
Vì V(p + yR) ⊂ Supp(R) nên HIi(R/(p + yR)) = 0, suy ra
HIi+1(R/p) →HIi+1(R/p) là đơn cấu. Mà yx = 0 suy ra x = 0 (mâu thuẫn). Do đó ta có Supp(HIi+1(R/p)) ⊆ V(m).
Tiếp theo ta chứng minh HIi+1(R/p) là m−cofinite, nghĩa là phải chỉ ra HomR(R/m, HIi+1(R/p)) là không gian vectơ hữu hạn chiều. Gọi K là hạt nhân của đồng cấu bằng cách nhân y vào trong
HIi+1(R/p) và xét dãy khớp
0 - K - HIi+1(R/p) - HIi+1(R/p)
y
Do y ∈ m nên ta có HomR(R/m, K) = HomR(R/m, HIi+1(R/p)), lại vì K là môđun thương của HIi(R/(p+yR)) do đó là m−cofinite theo giả thiết quy nạp, do vậy K cũng là m−cofinite. Điều đó nghĩa là HomR(R/m, HIi+1(R/p)) là có số chiều hữu hạn.
2.4 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của
Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương
Bổ đề 2.4.1. Cho R là vành Noether và M là R-môđun. Khi đó
tập hợp
{x ∈ R|Mx là Rx− môđun hữu hạn sinh}
là một iđêan của R.
Chứng minh: Chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu Mx, My là các
Rx, Ry môđun hữu hạn sinh tương ứng thì Mx+y là Rx+y-môđun. Lấy A, B là hai R-môđun con hữu hạn sinh của M sao cho Ax =
Giả sử m ∈ M từ Rxm ⊂ Ax ta suy ra x ∈ p(A: m). Trong đó
(A : m) = {r ∈ R|rm ∈ A}.
Tương tự ta có y ∈ p(B : m), vì vậy x+y ∈ p(A+B : m).
Do vậy Rx+ym ⊂(A+B)x+y.
Định nghĩa 2.4.2. Cho R là vành địa phương với số chiều d, I là
iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Với mỗi i = 0,1,2, ...
ta ký hiệu
Di(I, M) := {x ∈ R|HIi(M)x là Ix−cofinite}
Theo bổ đề trên ta có ngay Di(I, M) là một iđêan của R. Hơn thế ta có D(I, M) := d \ i=0 Di(I, M) Chúng ta chú ý rằng nếu p là iđêan và p 6⊃ Di = Di(I, M) thì HIi(M)p là Ip−cofinite.
Nhận xét 2.4.3. Cho R là vành Noether địa phương, I là iđêan
của R và M là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt Di =
Di(I, M). Ta có
(i). HIi(M) là I-cofinite nếu và chỉ nếu Di = R; (ii). Di là radical iđêan chứa I;
(iii). D0 = R;
(iv). dimR/Dn ≤ 0; (v). dimR/Dn−1 ≤ 1.
Chứng minh: Các ý (i)−(iv) là rỏ ràng, còn với (v) thì chúng ta biết rằng SuppRHIn−1(M) là hữu hạn theo [[40], Corollary 2.5].
Mệnh đề 2.4.4. Cho R là vành Noether, I là iđêan của R và M là
R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử rằng tồn tại số nguyên h ≥ 0sao cho
HIi(M) là I−cofinite với mọi i =6 h. Khi đó HIi(M) là I−cofinite với mọi i.
Chứng minh: Chúng ta xem xét dãy sau
E2p,q = ExtpR(R/I, HIq(M)) =⇒ ExtpR+q(R/I, M)
Vì Erp,q là môđun thương của E2p,q với mọi r ≥2, chúng ta giả thiết rằng Erp,q là hữu hạn sinh với mọi r ≥ 2, p ≥0 và q 6= h.
Với mỗi r ≥ 2 và p, q ≥ 0 lấy
Zrp,q = ker(Erp,q −→Erp+r,q−r+1) và Brp,q = Im(Erp−r,q+r+1 −→ Erp,q)
Chú ý rằng Brp,q là hữu hạn sinh với mọi p, q và r ≥ 2, do đó hoặc
Erp−r,q+r+1 hoặc Erp,q là hữu hạn sinh. Từ đây với mỗi r ≥ 2và p≥ 0
ta có hai dãy khớp
0 −→ Brp,h −→Zrp,h −→ Erp,h+1 −→0
và
0−→ Zrp,h −→Erp,h −→ Erp+r,q−r+1 −→ 0
Bây giờ E∞p,h đẳng cấu với môđun thương của ExtpR+h(R/I, M) do đó là hữu hạn sinh với mọi p.
Từ Erp,h = E∞p,h với r đủ lớn suy ra Erp,h là hữu hạn sinh với mọi p
và r đủ lớn.
nhất chúng ta thu đượcZrp,h là hữu hạn sinh. Từ dãy khớp thứ hai ta cóErp,h là hữu hạn sinh. Tiếp tục quá trình này ta cóErp,h là hữu hạn sinh với mọir ≥2và với mọip. Đặc biệt E2p,h = ExtpR(R/I, HiR(M))
là hữu hạn sinh với mọi p.
Hệ quả 2.4.5. Cho R là vành Noether và I là iđean của R, M là