Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành địa phương giao hoán và x ∈ R.
Phức 0 → R −→x R → 0 gọi là phức Koszul sinh trên R bởi x và được kí hiệu là K(x;R).
Nếu x1, x2, ..., xn là các phần tử của R. Ta định nghĩa phức Koszul sinh trên R bởi x1, x2, ..., xn là K(x1;R)⊗K(x2;R)⊗...⊗K(xn;R)
và được kí hiệu là K(x1, x2, ..., xn;R).
Cho M là R−môđun và x1, x2, ..., xn là các phần tử của R. Ta định nghĩa phức Koszul sinh trên R bởi x1, x2, ..., xn theo M là K(x1;R)⊗ K(x2;R)⊗...⊗K(xn;R)⊗M và được kí hiệu là K(x1, x2, ..., xn;M). Đồng điều của phức Koszul K(x1, x2, ..., xn;M) gọi là đồng điều Kozul và được kí hiệu là Hi(x1, x2, ..., xn;M).
Mệnh đề 1.5.2. Cho R là vành, x1, x2, ..., xn là dãy trong R và M
là R−môđun. Khi đó ta có các kết quả sau:
(i). H0(x1, x2, ..., xn;M) ∼= M/(x1, x2, ..., x
n)M. (ii). Hn(x1, x2, ..., xn;R) ∼= (0 :
M (x1, x2, ..., xn)).
(iii). NếuI = (x1, x2, ..., xn)là iđêan của Rthì IHi(x1, x2, ..., xn;M) = 0 với mọi i >0.
Mệnh đề 1.5.3. Cho R là vành, x1, x2, ..., xn là dãy trong R và
là khớp:
...→ Hi(x1, ..., xn;U) →Hi(x1, ..., xn;M) →Hi(x1, ..., xn;N) →
→ Hi−1(x1, ..., xn;U) →...
Hệ quả 1.5.4. Cho R là vành, x1, x2, ... , xn là dãy trong R và M
là R-môđun. Khi đó dãy sau là khớp:
... ±xn
−−→ Hi(x1, ..., xn−1;M) → Hi(x;M) →Hi−1(x1, ..., xn−1;M) ±xn −−→
±xn
−−→ Hi−1(x1, ..., xn−1;M) →...
Mệnh đề 1.5.5. Cho R là vành, x = x1, x2, ..., xn là dãy trong R,
M là R−môđun. Nếu I = (x) chứa M−dãy chính quy yếu y =
y1, y2, ..., ym thì Hn+1−i(x, M) = 0 với mọi i = 0, ..., m và
Hn−m(x;M) ∼= Hom
R(R/I, M/yM) ∼= Extm
R(R/I, M).
Mệnh đề 1.5.6. Cho R là vành Noether, x1, x2, ..., xn là dãy trong
R, M là R−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sinh bởi
x1, x2, ..., xn. Khi đó:
(i). Hi(x, M) = 0,∀i = 0, ..., n ⇔ M = IM. (ii). Nếu tồn tại i sao cho Hi(x, M) 6= 0 thì
depth(I, M) = n−Sup{i|(Hi(y1, y2, ..., yn;M)) 6= 0}
Mệnh đề 1.5.7. Cho (R,m) là vành Noether địa phương, M là
R−môđun khác không hữu hạn sinh và I ⊂ m là iđêan sinh bởi các phần tử x1, x2, ... , xn. Khi đó các điều sau là tương đương:
(ii). Hi(x1, ..., xn;M) = 0,∀i >0
(iii). H1(x1, ..., xn;M) = 0
Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương
2.1 Môđun Cofinite
Định nghĩa 2.1.1. Cho R là vành, I là iđêan của R và M là
R−môđun, M được gọi là I−cofinite nếu Supp(M) ⊂ V(I) và
ExtiR(R/I, M) là hữu hạn sinh với mọi i.
Sau đây, ta nghiên cứu một số tính chất của môđun Cofinite.
Mệnh đề 2.1.2.M là R−môđun hữu hạn sinh sao cho SuppR(M) ⊂
V(I). Khi đó M là I−cofinite.
Chứng minh: Vì R là Noether nên R/I là R−môđun hữu hạn
sinh, theo ([6], §7, Proposition 8) có phép giải tự do:
F∗ : ... −−→ Fn −−→δ ... −−→δ F0 −−→ R/I −−→ 0
với Fi là hữu hạn sinh. Khi đó, Hom(Fi, M) hữu hạn sinh với mọi
i. Xét phức: 0 −−−→ Hom(R/I, M) δ ∗ −−−→ Hom(F0, M) δ ∗ −−−→ ...Hom(Fn, M) −−−→ ...
Vì ExtiR(R/I, M) ∼= Kerδ∗
i/Imδ∗i−1 nên hữu hạn sinh với mọi i. Từ đó M là I−cofinite.
Mệnh đề 2.1.3. Cho dãy khớp ngắn các R−môđun:
0 −−→ M0 −−→χ M −−→σ M” −−→ 0
Nếu hai trong số ba môđun của dãy là I−cofinite thì môđun thứ ba cũng là I−cofinite.
Chứng minh:Theo mệnh đề [1.2.10(ii)] thìSupp(M) =Supp(M0)∪
Supp(M”). Từ đó 2 trong số 3 môđun M0, M, M” có giá chứa trong
V(I) thì môđun thứ 3 cũng vậy.
Tính hữu hạn của ExtiR(R/I, M) được suy ra từ dãy khớp dài sau:
... −−−→ Exti
R(R/I, M0) −−−→χ∗ Exti
R(R/I, M) −−−→σ∗ Exti
R(R/I, M”) −−−→ ...
Chẳng hạn giả sửM0, M”là môđunI−cofinite, khi đóExtiR(R/I, M0),
ExtiR(R/I, M”) là hữu hạn sinh với mọi i. Từ tính khớp của dãy trên ta có:
Exti
R(R/I, M)
imχ∗ =ExtiR(R/I, M)
kerσ∗ ∼=imσ∗ ⊂Exti
R(R/I, M”) ExtiR(R/I, M”) hữu hạn sinh, vì ExtiR(R/I, M0) hữu hạn sinh nên
imχ∗ cũng hữu hạn sinh. Từ đó ExtiR(R/I, M) hữu hạn sinh với mọi i. Vậy M là I−cofinite.
Hệ quả 2.1.4. Nếu f : M →N là một đồng cấu giữa các R−môđun
I−cofinite và một trong ba môđun Kerf, Imf, Cokerf là I−cofinte thì tất cả ba môđun đó đều là I−cofinite.
0 →Kerf → M → Imf →0
0 →Imf →N → Cokerf →0
Mệnh đề 2.1.5. Cho đồng cấu giữa hai vành Noether f : A → B,
I là iđêan của A và IB là iđêan mở rộng của I trong B, M là
A−môđun và M ⊗R B là B−môđun mở rộng. Khi đó:
(i). Nếu f là A−phẳng, M là I−cofinite thì M ⊗A B là B−môđun
IB−cofinite.
(ii). Nếuf là A−phẳng trung thành thì M⊗AB là B−môđunIB−cofinite khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite.
Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét
SuppA(M) ⊂V(I) ⇐⇒ SuppB(M ⊗AB) ⊂V(IB)
(i). Nếu f là A−phẳng thì theo [[11], Chapter 2, §3, (3.E)], với mọi
i, ta có đẳng cấu
ExtiA(A/I, M) ∼= Exti
B(B/I ⊗AB, M ⊗A B)
Và I ⊗AB ∼= IB theo [[11], Chapter 2, §3, Theorem 1, (3)]. Suy ra: ExtiB(B/IB, M ⊗A B) ∼= Exti
A(A/I, M)⊗AB
Vậy M là I−cofinite thì M ⊗A B là B−môđun IB−cofinite.
(ii). Do f là A−phẳng trung thành nên theo [[1], Chapter I, §6, Proposition 11 ], một A−môđun N là hữu hạn sinh khi và chỉ khi
N ⊗A B là B−môđun hữu hạn sinh. Áp dụng, do ExtiA(A/I, M)⊗A B ∼= Exti
B(B/IB, M ⊗A B) nên ta có thể suy ra M ⊗A B là B−môđun IB−cofinite khi và chỉ khi M
Bổ đề 2.1.6. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh và N là R−môđun bất kì. Giả sử với một số tự nhiên p nào đó ExtiR(M, N) là hữu hạn sinh với mọi i ≤ p. Khi đó với bất kì R−môđun hữu hạn sinh L thỏa
Supp(L) ⊂ Supp(M), ExtiR(L, N) là hữu hạn sinh với mọi i ≤p.
Chứng minh:Theo định lí Gruson’s trong [45], với bất kìR−môđun
hữu hạn sinh L thỏa Supp(L) ⊂ Supp(M), tồn tại một cái lọc hữu hạn:
0 = L0 ⊂ L1 ⊂... ⊂Ln = L
sao cho Li/Li−1 đẳng cấu với tổng trực tiếp của hữu hạn các bản sao của M.
Ta chứng minh bằng qui nạp theo p. Trường hợp p = 0, theo định lí Gruson’s có dãy khớp ngắn 0 → Ln−1 → Mt → Ln = L → 0
với t là số nguyên dương nào đó. Suy ra dãy 0 → HomA(L, N) → HomA(Mt, N) là khớp. Suy ra:
HomA(L, N) ⊂HomA(Mt, N) = (HomA(M, N))t : hữu hạn sinh
Giả sử mệnh đề đúng với mọi i ≤ p− 1, ExtiR(M, N) là hữu hạn sinh với mọi i ≤ p và L là R−môđun hữu hạn sinh thỏa Supp(L) ⊂ Supp(M) và có cái lọc có độ dài n. Ta chứng minh ExtpR(L, N) hữu hạn sinh bằng qui nạp theo n.
Trường hợp n = 1 là hiển nhiên. Giả sử ExtpR(K, N) là hữu hạn sinh với mọi R−môđun hữu hạn sinh K có Supp(K) ⊂ Supp(M)
và K có cái lọc có độ dài n−1. Theo định lí Gruson’s có dãy khớp ngắn 0 → Ln−1 → Mt → L → 0, với số nguyên dương t nào đó.
Dãy khớp ngắn này cảm sinh dãy khớp dài:
... →ExtpR−1(Ln−1, N) → ExtpR(L, N) →ExtpR(Mt, N) →...
Vì Supp(Ln−1) ⊂ Supp(L) ⊂ Supp(M), Ln−1 có cái lọc có độ dài
n−1nên ExtRp−1(Ln−1, N) hữu hạn sinh theo giả thiết qui nạp. Mặt khác, theo [[13], §7, Theorem 7.13]
ExtpR(Mt, N) ∼= (Extp
R(M, N))t
nên ExtpR(Mt, N) hữu hạn sinh do giả thiết ExtpR(M, N) hữu hạn sinh. Suy ra ExtpR(L, N) là hữu hạn sinh.
Mệnh đề 2.1.7 (Định lí chuyển đổi vành chính). Cho đồng cấu
ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một B−môđun M là IB−cofinite (tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite (tương ứng với iđêan I).
Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét
SuppA(M) ⊂ V(I) ⇐⇒ SuppB(M) ⊂ V(IB)
Xét dãy phổ Grothendieck:
E2p,q = ExtpB(T orqA(B, A/I), M) =⇒ ExtpA+q(A/I, M)
Giả sử M là IB−cofinite, khi đó E2p,0 = ExtpB(B ⊗A A/I, M) ∼= ExtpB(B/BI, M)là hữu hạn sinh với tất cảp. VìSupp(T orqA(B, A/I)) ⊂ Supp(B/IB) với tất cả q, áp dụng bổ đề [2.1.6] ta có E2p,q là hữu hạn sinh với tất cả p và q. Dãy phổ là bị chặn nên ExtnA(A/I, M)
là hữu hạn sinh với mọi n.
rằngE2n,0 = ExtnB(B/IB, M) là hữu hạn sinh. Trường hợp n= 0 thì
E20,0 = HomB(B/BI, M) ∼= Hom
A(A/I, M) là hữu hạn sinh. Giả sửn > 0,E2p,0 là hữu hạn sinh với tất cảp < n. Do bổ đề [2.1.6],E2p,q
là hữu hạn sinh với mọi p < n và q ≥ 0. Vì Hn = ExtnA(A/I, M) là hữu hạn sinh nên E2n,0 là hữu hạn sinh.
Mệnh đề 2.1.8. Giả sử S và T là hai hàm tử cộng tính giữa các
phạm trù Abel A và B, S là phạm trù con Serre của B. Giả sử mọi dãy khớp ngắn
0 −−→ X0 −−→u X −−→v X” −−→ 0
có thể mở rộng đến dãy khớp
SX0 −−→Su SX −−→Sv SX” −−→ T X0 −−→T u T X −−→T v T X”
Nếu f : M → N là đồng cấu trong A sao cho T Kerf và SCokerf
thuộc S. Khi đó KerT f và CokerSf cũng thuộc S. Hơn nữa, nếu có thêm T f = 0 (tương ứng Sf = 0) thì T M (tương ứng SN) cũng thuộc S.
Chứng minh: Kí hiệu: K = Kerf, I = Imf, C = Cokerf và
f = h◦g. Do giả thiết các dãy khớp ngắn:
0 −−→ K −−→i M −−→g I −−→ 0
0 −−→ I −−→h N −−→ C −−→σ 0
cảm sinh các dãy khớp:
SK −−→Si SM −−→Sg SI −−→ T K −−→T i T M −−→T g T I
Suy ra CokerSg là vật con của T K, và do đó thuộc S. KerT g
là thương của T K nên cũng thuộc S. Hoàn toàn tương tự, xét dãy khớp thứ hai ta suy ra được KerT h và CokerSh thuộc S. Vì
f = h◦g nên T f = T h ◦T g và Sf = Sh◦Sg. Suy ra các dãy sau là khớp:
0→ KerT g → KerT f → KerT h CokerSg → CokerSf →CokerSh → 0
Từ đây KerT f và CokerSf thuộc S.
Đặc biệt nếu T f = 0 (tương ứng Sf = 0) thì T M = KerT f (tương
ứng SN = CokerSf) thuộc S.
Cho vành R, lấy r ∈ Z(R) và M là R−môđun thì ánh xạ
f : M → M định nghĩa bởi m 7→ rm là đồng cấu, gọi là tích bởi r. Hàm tử T được gọi là bảo toàn tích nếu fr : M → M là tích bởi r, với r ∈ Z(R) thì T fr : T M →T M cũng là tích bởi r.
Ta có kết quả ([13], §7, Theorem 7.16): Cho f :M → M là tích bởi r, khi đó f∗ : ExtnR(M, N) →ExtnR(M, N) cũng là tích bởi r.
Kết quả trên vẫn đúng đối với biến thứ 2. Hơn nữa ([13],§7, Theorem 7.6): Nếu M là giao hoán và rM = 0 thì rT M = 0.
Mệnh đề 2.1.9. Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M) ⊂
V(I). Nếu 0 :M x và M/xM là I−cofinite thì M là I-cofinite.
Chứng minh Xét đồng cấu:
f : M → N m 7→ xm
Ta cóKerf = 0 :M x, Cokerf = M/xM. Kí hiệuT = ExtiR(R/I,_),
S = ExtiR−1(R/I,_), do Kerf và Cokerf là I−cofinite nên T Kerf
và SCokerf là hữu hạn sinh. Mặt khác, x ∈ I nên T f = 0 theo [[13], §7, Theorem 7.6]. Phạm trù các R−môđun hữu hạn sinh là
phạm trù con Serre của phạm trù các R−môđun. Theo mệnh đề [2.1.8], T M = ExtiR(R/I, M) hữu hạn sinh với mọi i. Suy ra M là
I−cofinite.
Mệnh đề 2.1.10. Cho I là iđêan của vành R, u : F → G là
đồng cấu giữa hai môđun tự do, hữu hạn sinh, khác 0 sao cho
u(F) ⊂ IG. M là R−môđun, đặt f = Hom(u, M) và giả sử rằng
SuppR(M) ⊂V(I). Nếu Kerf và Cokerf là R−môđun I−cofinite thì M là R−môđun I−cofinite.
Chứng minh: Bởi vì f = Hom(u, M) nên ta có thể viết f =
P
jkajkfj,k với ajk ∈ I và fjk : Hom(F, M) → Hom(G, M). Với mỗi i > 0, kí hiệu T = ExtiR(R/I,_), S = ExtiR−1(R/I,_). Do
Kerf, Cokerf là I−cofinite nên T Kerf, SCokerf là hữu hạn sinh. Mặt khác, do tính cộng tính của hàm tử T nên:
T f = ExtiR(R/I, f) =X
jk
ajkExtiR(R/I, fjk) = 0
(ajk ∈ I với mọij, k nênExtiR(R/I, fjk) = 0 theo [[13], §7, Theorem 7.6] với mọi i).
Áp dụng mệnh đề [2.1.8], T M = ExtiR(R/I, M) là hữu hạn sinh với mọi i. Suy ra M là I−cofinite.
sử tự đồng cấu f ∈ EndR(M) thỏa phương trình đa thức:
fn+a1fn−1 +...+ an = 0 với aj ∈ I,1≤ j ≤ n
Nếu Kerf và Cokerf là I−cofinite thì M là I−cofinite.
Chứng minh: Trước hết ta nhận xét rằng nếu u là một tự đồng
cấu của môđun X nào đó, thì Keru là hữu hạn sinh khi và chỉ khi
Kerun là hữu hạn sinh với mọi n, khi và chỉ khi Kerun là hữu hạn sinh với một n nào đó. Tương tự với Cokeru. Từ:
fn+a1fn−1 +...+ an = 0
Do tính cộng tính của hàm tử ExtiR(R/I,_), ta được:
ExtiR(R/I, fn) =
n
X
j=1
−ajExtiR(R/I, fn−j)
Kí hiệu T = ExtiR(R/I,_), S = ExtRi−1(R/I,_), do aj ∈ I nên
T fn−j = 0 với mọi j [ [13], §7, Theorem 7.6], suy ra T fn = 0. Hơn nữa Kerf, Cokerf là I−cofinite nên T Kerf, SCokerf là hữu hạn sinh. Từ đó T Kerfn, SCokerfn là hữu hạn sinh. Theo mệnh đề [2.1.8], T M = ExtiR(R/I, M) là hữu hạn sinh với mọi i. Vậy M là
I−cofinite.
Chúng ta có một số tính chất đặc trưng của môđun cofinite
Mệnh đề 2.1.12.ChoI = (x1, ...xk) là iđêan củaR, M là R−môđun
sao cho Supp(M) ⊂ V(I). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(ii). M là J−cofinite với mọi iđêan J của R sao cho J ⊃I.
(iii). ExtiR(N, M) là hữu hạn sinh với mọi i và tất cả các R−môđun hữu hạn sinh N thỏa I ⊂ ann(N).
(iv). ExtiR(N, M) là hữu hạn sinh với mọi i và tất cả các R−môđun hữu hạn sinh N thỏa Supp(N) ⊂ V(I).
(v). M là R−môđun In-cofinite với mọi n∈ N.
(vi). Với mọi ρ ∈ M in(I), R−môđun M là ρ-cofinite.
(vii). Với mọi iđêan tối đại mcủaR, Hm0(M)và M/Hm0(M)là I−cofinite. (viii). Tồn tại một iđêan tối đạimcủaR sao choHm0(M) và M/Hm0(M)
là I−cofinite.
(ix). Môđun đối đồng điều Koszul Hi(x1, ..., xk, M) là R−môđun hữu hạn sinh với mọi i = 1, ..., n.
Chứng minh:(i) ⇒(ii). Do bổ đề [2.1.6], (ii) ⇒(vi),(v) ⇒ (i),
(iii) ⇒(i), (vii) ⇒ (viii) : hiển nhiên.
(vi) ⇒(i). R là Noether nên theo [ [27], §6, Exercises 9 ], M in(I)
là hữu hạn, giả sử M in(I) = ρ1, ..., ρn, đặt N = R/ρ1⊕A...⊕A/ρn
là R−môđun hữu hạn sinh do A/ρj hữu hạn sinh với mọi 1 ≤ j ≤ n. Vì ExtiR(R/ρj, M) là hữu hạn sinh nên ExtiR(N, M) =
L
1≤j≤nExtiR(R/ρj, M) hữu hạn sinh với mọi i.
Mặt khác, Supp(R/I) = Supp(N) nên theo bổ đề [2.1.6] ta có
(iii) ⇔ (iv). Gọi α = ann(N), do N hữu hạn sinh nên từ mệnh đề [1.2.13] suy ra Supp(N) ⊂ V(I) ⇔ V(α) ⊂V(I).
(i) ⇒ (iii). Ta chứng minh bằng qui nạp theo i. Vì I ⊂ ann(N)
nên N là R/I-môđun hữu hạn sinh, theo [[27], §2, Proposition 2.3]
N đẳng cấu với nhóm thương của (R/I)n với số nguyên dương n
nào đó. Ta có dãy khớp ngắn các R/I-môđun:
0 →K →(R/I)n → N →0
Suy ra dãy sau khớp:
0 →Hom(N, M) → Hom((R/I)n, M)
Do vậy
Hom(N, M) ⊂ Hom((R/I)n, M) ∼= (Hom(R/I, M)n
: hữu hạn sinh. Giả sử ExtiR(X, M) hữu hạn sinh với mọi R−môđun X thỏa I ⊂ ann(X) và với mọi i ≤ k. Xét dãy khớp dài:
...→ ExtkR(K, M) → ExtkR+1(N, M) →ExtkR+1((R/I)n, M) → ...
Vì R/I là R-môđun hữu hạn sinh nên (R/I)n là R−môđun tự do, do đó ExtiR((R/I)n, M) = 0 với mọi i. Từ dãy khớp trên ta có
ExtkR+1(N, M) ∼= Extk
R(K, M). Hơn nữa ann(K) ⊃ ann(R/I)n ⊃ I
nên ExtkR(K, M) hữu hạn sinh theo giả thiết qui nạp. Vậy ExtkR+1(N, M) là hữu hạn sinh.
(i) ⇒(v). Chứng minh qui nạp theo n. Trường hợp n = 1 là hiển nhiên. Giả sử M là môđun In-cofinite, In/In+1 là R−môđun hữu
hạn sinh và I ⊂ ann(In/In+1) nên ExtiR(In/In+1, M) hữu hạn với mọi i theo (iii). Xét dãy khớp ngắn:
0 →In/In+1 → R/In+1 → R/In → 0
Dãy khớp trên cảm sinh nên dãy khớp dài:
...→ExtiR(R/In, M)→ExtiR(R/In+1, M)→ExtiR(In/In+1, M)→...
VìExtiR(R/In, M) vàExtRi (In/In+1, M) hữu hạn sinh với mọii ≥ 0
nên ExtiR(R/In+1, M) hữu hạn với mọi i ≥ 0.
(i) ⇒(vii). Vì M là I−cofinite nên Hm0(M) là I−cofinite với mọi iđêan nguyên tố m của R. Dãy khớp ngắn các R−môđun:
0→ Hm0(M) → M → M/Hm0(M) → 0
cảm sinh dãy khớp dài:
...→ExtiR(R/I, M)→ExtiR(R/I, M/Hm0(M))→ExtiR+1(R/I, Hm0(M))→...
VìExtiR(R/I, M)và ExtRi+1(R/I, Hm0(M))hữu hạn sinh nên ta cũng cóExtiR(R/I, M/Hm0(M)) hữu hạn sinh. Hơn nữa từ dãy khớp ngắn trên ta có Supp(M) = Supp(Hm0(M)) ∪ Supp(M/Hm0(M)), từ đây suy ra M/Hm0(M) là I−cofinite.
(viii) ⇒(i). Có được từ dãy khớp dài:
...→ExtiR(R/I, M)→ExtiR(R/I, M/Hm0(M))→ExtiR+1(R/I, Hm0(M))→...
(i) ⇔ (ix). Nhắc lại, phức Koszul tương ứng với dãy (x1, ..., xk):
K∗(x, M) : 0 −−→ K(x)k... −−→ K(x)j
d(x)j
K(x)0 −−→ 0
Với K(x)j = Vj
(Rk), j = 1, ..., k và K(x)0 = 0. Tác động hàm tử
Hom(_, M) lên phức trên ta được phức:
0 −−→ Hom(K(x)0, M) d(x) ∗ 0 −−−→ Hom(K(x)1, M) d(x) ∗ 1 −−−→ ...
Môđun đối đồng điều thứ i của phức Koszul:
Hi(x1, ..., xk;M) =Kerd(x)∗j/Imd(x)∗j−1.
Nhận xét, nếu ϕ : A →B là đồng cấu vành, khi đó M có cấu trúc
B−môđun, hơn nữa Hi(x1, ..., xk;M) ∼= Hi(ϕ(x1), ..., ϕ(xk);M) với mọi i. Thật vậy, theo [[8], p. 95], với mọi R−môđun N có đẳng cấu tự nhiên: ^ A (N)⊗A B ∼= ^ B (N ⊗A B) Suy ra các đẳng cấu: HomA( ∗ ^ A (An), M) ∼= Hom B( ∗ ^ A (An)⊗A B, M) ∼ = HomB( ∗ ^ B (An⊗A B), M) ∼= Hom B( ∗ ^ B (Bn), M) Từ đây: Hi(x1, ..., xk;M) ∼= Hi(ϕ(x1), ..., ϕ(xk);M) Chứng minh (i) ⇔ (ix). Xét đồng cấu: ϕ : R[X1, ..., Xk] → R (2.1) Xi 7→xi (2.2)
Do ϕ là đồng cấu nên M có cấu trúc R[X1, ..., Xk]-môđun. Vì dãy
X1, ..., Xk là chính qui trong R[X1, ..., Xk] nên với mỗi i có đẳng cấu: ExtiR[X 1,...,Xk](R[X1, ..., Xk]/(X1, ..., Xk), M) ∼= Hi(X1, ..., Xk;M) Theo nhận xét trên, ta có Hi(x1, ..., xk;M) ∼= Hi(X1, ..., Xk;M). Mặt khác, từ định lí chuyển đổi vành chính ta có ExtiR[X
1,...,Xk](R[X1, ..., Xk]/(X1, ..., Xk), M) hữu hạn sinh khi và chỉ khiExtiR(R/I, M) hữu hạn sinh. VậyHi(x1, ..., xk;M)hữu hạn sinh với mọi i khi và chỉ khi M là I−cofinite.