2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của
2.2 FA and AF môđun
Trong mục này chúng ta xét (R,m) là vành địa phương với iđêan tối đại là m và I là một iđêan của R với số chiều 1 hoặc là iđêan chính.
Định nghĩa 2.2.1. R-môđun M được gọi là F A môđun nếu tồn
tại R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin.
R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin
A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh.
Bổ đề 2.2.2. Nếu K là F A môđun sao cho SuppR(K) ⊆ V(I) và
M là R-môđun hữu hạn sinh thì ExtiR(K, HIj(M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.
Nếu K là AF môđun sao cho SuppR(K) ⊆ V(I) và M là R-môđun hữu hạn sinh thì ExtiR(K, HIj(M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và
j ≥0.
Chứng minh:
Giả sử K là F A môđun khi đó ta có dãy khớp ngắn
0 −→N −→ K −→ A −→0
trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây ta thu được dãy khớp dài
Theo hệ quả [2.1.15] ta có ExtiR(N, HIj(M)) là hữu hạn sinh. Vì N
là hữu hạn và SuppR(N) ⊆ V(I) chúng ta có ExtiR(A, HIj(M)) là hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.
Giả sử K là AF môđun khi đó ta có dãy khớp ngắn
0 −→A −→ K −→ N −→0
trong đó A là R-môđun Artin và N là hữu hạn sinh. Từ đây ta thu được dãy khớp dài
...−→ExtiR(N, HIj(M))−→ExtiR(K, HIj(M))−→ExtiR(A, HIj(M))−→...
Theo hệ quả [2.1.15] ta có ExtiR(N, HIj(M)) là hữu hạn sinh. Vì N
là hữu hạn và SuppR(N) ⊆ V(I) chúng ta có ExtiR(A, HIj(M)) là hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.
Định lí 2.2.3. Nếu M là F A hoặc AF môđun thì HIj(M) là I-
cofinite môđun với mọi j > 0.
Chứng minh:
Nếu M là AF môđun thì tồn tại dãy khớp ngắn
0 −→ A−→ M −→N −→ 0
trong đó A là Artin và N là R-môđun hữu hạn sinh. Do A là Artin chúng ta có HIj(A) = 0 với mọi j > 0, do vậy chúng ta thu được dãy khớp dài của các môđun đối đồng điều địa phương với HIj(M) ∼= HIj(N) với mọi j > 0. Từ đây ta có điều cần chứng minh.
Nếu M là F A môđun thì ta có phép chứng minh của R. Belshoff, S.-P. Slattery and C.Wickham trong [[2], Theorem 2].
AF môđun thì ExtiR(A, HIj(M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và
j > 0.
Chứng minh: Dựa vào định lý [2.2.3] và hệ quả [2.1.15]
Định lí 2.2.5. Chúng ta có các khẳng định sau
(i). NếuM và K làF Amôđun và SuppR(K) ⊆ V(I) thìExtiR(K, HIj(M))
là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥0 và j > 0.
(ii). NếuM và K làAF môđun và SuppR(K) ⊆ V(I) thìExtiR(K, HIj(M))
là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥0 và j > 0.
Chứng minh:
(i). Chúng ta có dãy khớp ngắn sau đây
0 −→N −→ K −→ A −→0
trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây chúng ta thu được dãy khớp dài
...−→ExtiR(A, HIj(M))−→ExtiR(K, HIj(M))−→ExtiR(N, HIj(M))−→...
Theo hệ quả [2.1.15] ta có ExtiR(N, HIj(M)) là hữu hạn sinh. Vì N
là hữu hạn và SuppR(N) ⊆ V(I) chúng ta có ExtiR(A, HIj(M)) là hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.
(ii). Chúng ta có dãy khớp ngắn sau đây
0 −→A −→ K −→ N −→0
trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây chúng ta thu được dãy khớp dài
Theo hệ quả [2.1.15] ta có ExtiR(N, HIj(M)) là hữu hạn sinh. Vì N
là hữu hạn và SuppR(N) ⊆ V(I) chúng ta có ExtiR(A, HIj(M)) là hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.
Định lí 2.2.6. Nếu M là F A môđun thì Bass numbers của HIj(M)
là hữu hạn với mọi j > 0.
Chứng minh: Theo định lý [2.2.5] ta có ExtiR(R/m, Hmj (M)) là
hữu hạn sinh. Bây giờ nếu p không phải là iđêan tối đại thì Mp là
F A môđun.
Khi đó với mỗi I ⊆ p chúng ta có (theo [[26], 4.3.3])
(ExtiR(R/p, HIj(M)))p ∼= Exti
Rp(k(p), HIRj
p(Mp))
Bây giờ nếu I 6⊆ p thì ta có µi(p, HIj(M)) = 0.
Trong cả hai trường hợp trên chúng ta đều có Bass numbers của
HIj(M) là hữu hạn với mọi j > 0.