4. Cấu trúc luận văn
3.3. BỔ CHÍNH BẬC HAI THEO SỐ HẠNG TÁCH KẾT CẶP [5,20]
Ta viết lại (3.6): ̂ ̂ ̂ (3.9) Trong đó: { ̂ ̅ ̂ ̂ ̅ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.10)
̂ có lời giải chính xác là số nguyên tử n trên nút mạng với năng lƣợng:
Nếu trên mỗi nút có chính xác n hạt, ta lƣu ý là số hạt n lại đƣợc điều chỉnh bằng thế hóa học ̅, vì vậy tùy theo ̅ mà ta tìm đƣợc mức năng lƣợng thấp nhất gọi là năng lƣợng trạng thái cơ bản, kí hiệu là Eg(0) .
So sánh hai mức liên tiếp: En
(0)và En+1 (0)
ta suy ra: số nguyên tử trên mỗi nút để năng lƣợng là thấp nhất sẽ là các số nguyên (̅ ̅) xác định nhƣ sau: ( ̅ ̅) { ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (3.12)
Tƣơng ứng ta có năng lƣợng trạng thái cơ bản:
{ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (3.13) Sau khi có năng lƣợng trạng thái cơ bản (3.13), bổ chính bậc hai theo ̂ đƣợc cho bởi công thức:
∑ |⟨ | ̂| ⟩| (3.14) Vì: { ̂ ⟩ √ ⟩ ̂ ⟩ √ ⟩ (3.15)
nên trong tổng của chỉ còn các số hạng n= g+1 hoặc n= g-1 và tính tƣờng minh đƣợc theo (3.15) nhƣ sau:
[
̅ ̅
̅ ̅ ] (3.16) Nhƣ vậy, năng lƣợng trạng thái cơ bản tính đến bậc hai theo tham số trật tự là:
̅ ̅ ̅ ̅ (3.17)
trong đó: ̅ ̅ đƣợc cho bởi (3.13).
Còn: ̅ ̅ (3.18)
Cực tiểu hóa theo ta thấy rằng:
khi ̅ ̅ , ̅ ̅ .
Điều đó có nghĩa là: ̅ ̅ sẽ cho ta đƣờng biên ̅ ̅ phân cách giữa hai pha siêu chảy và điện môi Mott . Dạng của đƣờng biên là lời giải của phƣơng trình sau:
̅ ̅ ̅ ̅ (3.19) Giải (3.19) ta có 2 nghiệm: ̅ ̅ √ ̅ ̅ (3.20)
Hình 3.1: Giản đồ pha mô hình Bose- Hubbard trong gần đúng nhiễu loạn bậc 2 [20]. Bên trong các nửa hình oval là pha điện môi định xứ ứng với số lấp đầy g= 1,2,3. Bên ngoài các nửa hình oval là pha siêu chảy. Đƣờng chấm chấm là gần đúng bậc 0 (luôn là siêu chảy).
Nếu vẽ đồ thị ̅ ̅ trên mặt phẳng ̅ ̅ (hình 3.1) ta sẽ thấy ̅ giao nhau tại U0 xác định bởi:
̅ ̅ ̅ ̅ (3.21) Suy ra
̅ √ (3.22) Khi tăng ̅ ̅ thì càng ngày hai đƣờng càng tách ra. Khảo sát hàm ̅ ̅ với mỗi g nguyên dƣơng xác định ta thấy bên trong hình giới hạn bởi ̅ ̅ thì ̅ ̅ tức là ở đó là vùng điện môi Mott,
50 40 30 20 10 0 5 10 0 15 g = 3 g = 2 g = 1 𝜇̅ 𝑈̅
còn ở ngoài hình vẽ thì ̅ ̅ , tức là vùng siêu chảy. Nhƣ vậy U0 chính là giá trị nhỏ nhất của tƣơng tác trên mỗi nút mạng để bắt đầu có thể có pha điện môi Mott. Ta suy ra thế năng tới hạn Uc=U0
̅
√ (3.23) Thay vào g=1 từ (3.23) ta có trƣờng hợp lấp đầy một hạt:
. (3.24)
Cho trƣờng hợp ba chiều z=2d=6 ta thu đƣợc:
. (3.25)
Đáng ngạc nhiên là kết quả của phƣơng pháp gần đúng tách kết cặp với lý thuyết nhiễu loạn bậc hai không cho kết quả tốt hơn lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” trình bày ở chƣơng 2. Vì vậy một số tác giả đã tính tiếp đến số hạng nhiễu loạn bậc 4 [20]. Trong luận văn này không nhắc lại các kết quả đó. Phƣơng pháp tính kết cặp sau đó đã đƣợc nhiều nhóm tác giả phát triển một cách hệ thống hơn bằng phƣơng pháp tích phân phiếm hàm. Khác với trƣờng hợp các fermion hay trƣờng hợp các hệ spin là dùng biến đổi Hubbard- Stratonovich để biến số hạng cặp 4 thành số hạng cặp đôi thì trong lý thuyết tách kết cặp hệ Bose-Hubbard ngƣời ta lại dùng biến đổi Hubbard- Stratonovich để đƣa số hạng nhảy nút về các số hạng tuyến tính. Bằng cách này, ngƣời ta đã xây dựng đƣợc các quy tắc giản đồ Feynman để tính nhiễu loạn theo tham số nhảy nút [5]. Phƣơng pháp tích phân phiếm hàm này cho phép tính một cách có hệ thống ảnh hƣởng của thăng giáng [5].
KẾT LUẬN
Trong luận văn đã hoàn thành các công việc sau đây:
Tôi đã đọc và tổng quan các tài liệu về mô hình Bose- Hubbard và một số phƣơng pháp áp dụng cho hệ nguyên tử siêu lạnh và chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott . Tôi tập trung vào hai phƣơng pháp chủ yếu là: Lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” và gần đúng tách kết cặp cho hệ nguyên tử siêu lạnh.
Thực hiện các tính toán và thu đƣợc kết quả giải tích (cho tỷ số Uc/t) khi nghiên cứu hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học đƣợc mô tả bằng mô hình Bose- Hubbard bằng lý thuyết nhiễu loạn “ ngây thơ”. Từ đó so sánh kết quả thu đƣợc với các phƣơng pháp lý thuyết khác.
Thực hiện các tính toán và thu đƣợc kết quả giải tích khi tính năng lƣợng trạng thái cơ bản (tính đến bậc hai của tham số trật tự) của hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học đƣợc mô tả bằng mô hình Bose- Hubbard bằng phƣơng pháp tách kết cặp trong gần đúng liên kết mạnh. Từ đó so sánh với kết quả thu đƣợc bằng phƣơng pháp lý thuyết nhiễu loạn “ ngây thơ”.
Vì trình độ và thời gian của tôi còn hạn chế nên tôi chƣa áp dụng đƣợc hai phƣơng pháp gần đúng học đƣợc cho một bài toán cụ thể.
Vấn đề có thể tìm hiểu thêm:
Các thầy ở Viện Vật lý và ở trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội đã nghiên cứu và thu đƣợc nhiều kết quả có giá trị khoa học cho hệ điện tử tƣơng quan mạnh đƣợc mô tả bằng mô hình Hubbard giản lƣợc (mô hình Falikov-Kimbal) hoặc mô hình Hubbard mở rộng và phát triển các phƣơng pháp tính toán mới. Với sự quan tâm giúp đỡ của các thầy, có thể áp dụng những công cụ này và những mở rộng của mô hình Hubbard cho electron sang các bài toán cho mô hình Bose-Hubbard để nghiên cứu chuyển pha siêu chảy-điện môi Mott, pha siêu tinh thể…
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. A. Griffin, D. Snoke, S. Stringari, S. (eds.) (1995), Bose-Einstein
Condensation, pp. 355–392. Cambridge University.
2. L.P. Pitaevskii, S. Stringari (2016), Bose Einstein Condensation and superfluidity, Oxford Science.
3. C.J. Pethick and H. Smith, (2001), Bose– Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge University Press.
4. A.J. Leggett (2006), Quantum Liquids: Bose Condensation and Cooper
Pairing in Condensed Matter Systems. Oxford University Press.
5. Henk T.C. Stoof , Koos B. Gubbels , Dennis B.M. Dickerscheid (2009),Ultracold Quantum Fields, Springer.
6. M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman,
and E. A. Cornell (1995), Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor, Science 269, 198.
7. M. R. Andrews, M.-O. Mewes, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D.
M. Kurn, and W. Ketterle, (1996), Direct Nondestructive Observation of a Bose Condensate, Science 273, 84.
8. C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet (1995),
Evidence of Bose-Einstein Condensation in an Atomic Gas with Attractive Interactions, Phys. Rev. Lett. 75, 1687.
9. K. B. Davis, M.-O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D.
S. Durfee, D. M. Kurn, and W. Ketterle (1995), Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 .
10. M. Lewenstein, A. Sanpera, and V. Ahufinger (2012), Ultracold Atoms in Optical Lattices: Simulating Quantum Many-body Systems, Oxford
University Press.
11. Lê Đức Ánh, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Toàn Thắng, Giáo trình Vật lý hệ nhiều hạt I và II (bản thảo).
12. Trần Minh Tiến, 2017, “Cơ sở vật lý hệ nhiều hạt”, NXB Khoa học và Công nghệ, VHLKH&CN Việt Nam.
13. Nguyễn Toàn Thắng, Bài giảng “ Vật lý hệ các nguyên tử siêu lạnh”. 14. F. Gebhard (1997), The Mott Metal-insulator Transition: Models and Methods, Springer.
15. S. Sachdev (1999), Quantum Phase Transitions, Cambridge University Press.
16. M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hansch, and I. Bloch (2002)
Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms, Nature 415, 39 .
17. W. Zwerger (2003) Mott-Hubbard transition of cold atoms in optical
lattices. J Opt B Quantum Semiclass 5, 9
18. D. Jaksch, C. Bruder, J. Cirac, C. Gardiner and P. Zoller (1998),
Cold bosonic atoms in optical lattices Phys. Rev. Lett 81, 3108.
19. R. Grimm, M. Weidemu ller, and Y. B. Ovchinnikov (2000), Optical dipole traps for neutral atoms. Molecular and Optical Physics, 42, 95.
20. D. van Oosten, P. van der Stratenand H. Stoof, Quantum phases in an optical lattice, Phys. Rev. A 63, 53601 (2001).
21. V.I. Yukalov (2009), Cold bosons in Optical Lattices
Laser Phys. 19, 1.
22. V.I. Yukalov (2013), Theory of cold atoms: Basics of quantum statistics, Laser Phys. 23, 062001.
23. K. Sengupta and N. Dupuis (2005), Mott insulator to superfluid transition in the Bose-Hubbard model: a strong coupling approach, Phys. Rev. A71, 033629.
interacting-boson model: mean field theory and the RPA, Europhys. Lett. 22, 257.
25. F.S. Nogueira (2010), Introduction to the field theory of classical and quan tum phase transitions, Lecture notes.