4. Cấu trúc luận văn
2.2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN “NGÂY THƠ” CHO MÔ HÌNH BOSE-
HUBBARD TRONG GẦN ĐÚNG LIÊN KẾT MẠNH
Đôi khi dù định lý Wick không còn đúng, nhƣng do tính toán đơn giản, ngƣời ta vẫn áp dụng các kĩ thuật nhiễu loạn thông thƣờng, thí dụ: vẫn áp dụng các quy tắc cộng giản đồ Feynman thông thƣờng và thu đƣợc các kết quả có ý nghĩa để đánh giá thô. Trong phần này ta sẽ đánh giá chuyển pha siêu chảy- điện môi trong lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” do F.S Noguiera đề xuất[23]. Noguiera nhận xét rằng khi U=0 thì Hamiltonian của mô hình Bose- Hubbard có thể viết dƣới dạng:
̂ ̂ ̂ . (2.16)
̂ ∑ ̂ (2.17) Còn
̂ ∑ ̂
〈 〉
̂ (2.18)
Khi xét chuyển pha lƣợng tử (xảy ra ở T=0K) ta có thể làm việc với hàm Green thời gian thực thay vì hàm Green thời gian ảo. Lúc đó hàm Green hai toán tử Boson định nghĩa nhƣ sau [11,12]:
〈 { }〉 (2.19)
trong đó T là toán tử trật tự thời gian
{ } (2.20)
Với là toán tử Heaviside. Dấu <….> có nghĩa là lấy trung bình theo các trạng thái riêng của toán tử Hamiltonian mà ta đang quan tâm.
Chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ:
{ √ ∑ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̂ √ ∑ ⃗ ⃗⃗⃗ (2.21) NS: là số nút mạng.
Áp dụng công thức: ∑ ( ⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗⃗⃗⃗ (2.22) Ta thu đƣợc: ̂ ∑ , (2.23) { ∑ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∑ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (2.24)
với z là số lân cận gần nhất của nút i, còn ⃗⃗⃗ là véc tơ nối nút l với các lân cận gần nhất đó. Hàm Green trong biểu diễn fourier theo cả tọa độ và thời gian đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
̃( ⃗ ) ∫ ∑ ⃗
(2.25)
Với hàm Hamiltonian ở các công thức và (2.24) ta có ngay công thức [11,12]:
(2.26)
Noguiera nhận xét rằng biểu thức (2.26) có thể nhận đƣợc bằng cách áp dụng lý thuyết nhiễu loạn với H0 đƣợc cho bới (2.17) còn nhiễu loạn đƣợc cho bới (2.18).
Nếu kí hiệu là hàm Green của Hamiltonian HU=0 và đƣợc mô tả bằng đoạn thẳng ij hai nét, là hàm Green của Hamiltonian H0 và đƣợc mô tả bằng đoạn thẳng ij đơn nét, kí hiêu tij là đoạn thẳng ij đứt nét:
i...j : tij i j: i j: Ta có phƣơng trình sau: = + i j i j i l k j + + ... i l k m n j
Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho Hamiltonian HU=0
Tƣơng ứng ta có phƣơng trình:
(2.27) Vì H0 có dạng của hạt tự do với năng lƣợng – không phụ thuộc vào chỉ số nút mạng nên:
(2.28) Nếu chú ý tới (2.28) thì (2.27) trở thành:
∑ (2.29)
Khi chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ ta thu lai đƣợc công thức (2.26).
Bây giờ ta xét thêm số hạng thế năng ghép vào H0:
{
̂ ∑ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
(2.30)
Vì ̂ chứa số hạng tích bốn toán tử nên không áp dụng định lý Wick coi H1 là nhiễu loạn đƣợc. Ta sẽ theo đề xuất của Noguiera và áp dụng lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ”, ta vẫn sử dụng chuỗi giản đồ Feynman (chỉ đúng khi có định lý Wick) nhƣng thay vì tƣơng ứng với H0 ta dùng tƣơng ứng vơi hàm Green của (2.30) (lúc này định lý Wick không còn đúng nữa), muốn vậy trƣớc hết ta tính . Vì (2.30) có dạng tổng theo các nút nên:
(2.31) Từ (2.30) ta thấy ngay, vec tơ riêng của (2.30) phụ thuộc vào số hạng trên một nút n và có thể biểu diễn trong không gian Fock nhƣ sau:
| ⟩
√ | ⟩ (2.32)
(2.33) Ta tìm hàm Green từ công thức:
〈 [ ̂ ̂ ]〉
* [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]+ (2.34)
trong đó ̂ là trong biểu diễn Heisenberg ̂ ̂
Còn trung bình<...> lấy theo trạng thái cơ bản (2.32). Giả sử trạng thái cơ bản ứng với thì: 〈 ̂ ̂ 〉 ⟨ ̂ ̂ ⟩ ⟨ ̂ ⟩ √ (2.35) ̂ ⟩ √ ⟩ Tƣơng tự: 〈 ̂ ̂ 〉 (2.36) Thay (2.35), (2.36) vào (2.34) ta đƣợc: [ ] (2.37)
Sử dụng biểu diễn của hàm Heaviside: ∫ ∫ (2.38) ∫ ∫ Đặt , , ∫ [ ] (2.39) Thay (2.33) vào (2.39) (2.40) Vì đây là hệ các nút đơn lẻ nên đƣơng nhiên là định xứ vì không có sự nhảy nút. Phƣơng trình hàm Green của mô hình Bose- Hubbard trong lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” có dạng: ̃( ⃗ ) ̃( ⃗ )
Phổ năng lƣợng của hệ đƣợc cho bởi cực của hàm Green ̃( ⃗ ):
.
Thay (2,40) vào (2.42), bỏ i0 (vì ta không quan tâm đến sự nhòe đi của các mức năng lƣợng) ta đƣợc:
[
] (2.43)
Khi đó ta thu đƣợc phƣơng trình bậc hai theo , để tìm năng lƣợng của hệ, ta giải phƣơng trình theo và thu đƣợc:
[ ] √ (2.44)
Khoảng cách năng lƣợng giữa :
√ . Bây giờ ta lí luận tƣơng tự nhƣ khi xét mô hình Hubbard điện tử. Ta sẽ không xét tham số trật tự pha siêu chảy mà ta suy luận là khi có khe năng lƣợng khác không, hệ sẽ là điện môi (nghĩa là các nguyên tử sẽ định xứ), còn khi khe năng lƣợng bằng không thì hệ là siêu chảy (ta mặc định rằng khi hệ boson linh động thì ở T= 0K nó sẽ là siêu chảy. Điều mặc định này thực ra không chặt chẽ lắm vì muốn chính xác ta phải xét tham số trât tự pha siêu chảy). Nhƣ vậy chuyển pha (Uc, dt) đƣợc cho bởi phƣơng trình:
(2.46) Hay
(2.47) Xét mạng lập phƣơng d chiều, khi Uc lớn thì đạt giá trị cực tiểu khi:
(2.48) Thay (2. 48) vào (2. 47) ta có:
[ √ ] (2.49) Cả hai nghiệm đều là dƣơng nên ta phải chọn một. Muốn vậy ta so sánh các lý thuyết khác và kết quả (2.49) là từ lý thuyết “ngây thơ” nên phải định hƣớng theo các lý thuyết chính xác hơn. So sánh với lý thuyết nghiêm túc đơn giản nhất là lý thuyết trƣờng trung bình [24] ngƣời ta đã chọn [25]. Vì vậy:
[ √ ] (2.50) Ta tính cho trƣờng hợp mạng lập phƣơng d=3 với hệ số lấp đầy n=1 ( một nguyên tử trên mỗi nút):
( √ ) (2.51)
So sánh với kết quả bằng mô phỏng Monte Carlo [25] là
Ta thấy rằng phƣơng pháp nhiễu loạn “ngây thơ” cho kết quả không quá kém, nhất là một kết quả giải tích thu đƣợc với các tính toán không phức tạp.
CHƢƠNG 3: GẦN ĐÚNG TÁCH KẾT CẶP ÁP DỤNG CHO HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH
Ở chƣơng 2, ta đã dùng lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ” theo tham số nhảy nút t để khảo sát chuyển pha siêu chảy điện môi Mott. Trong chƣơng này ta xét một trong những phƣơng án của lý thuyết trƣờng trung bình, đó là gần đúng tách kết cặp để xét chuyển pha này [20].