tại D cú DI là trung tuyến (do I là trung điểm của BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BDE bỏn kớnh ID.
Ta cú ∆ODC cõn tại O (vỡ OD và OC là bỏn kớnh ) => ∠D1 = ∠C1. (3) ∆IBD cõn tại I (vỡ ID và IB là bỏn kớnh ) => ∠D2 = ∠B1 . (4)
Theo trờn ta cú CD và AE là hai đường cao của tam giỏc ABC => H là trực tõm của tam giỏc ABC => BH cũng là đường cao của tam giỏc ABC => BH ⊥ AC tại F => ∆AEB cú ∠AFB = 900 .
Theo trờn ∆ADC cú ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cựng phụ ∠BAC) (5).
Từ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 mà ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD ⊥ ID tại D => OD là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BDE.
Bài 25. Cho đường trũn (O), BC là dõy bất kỡ (BC< 2R). Kẻ cỏc tiếp tuyến Với đường trũn (O) tại B và C chỳng cắt nhau tại A. Trờn cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ cỏc đường vuụng gúc MI, MH, MK xuống cỏc cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
1. Chứng minh tam giỏc ABC cõn. 2. Cỏc tứ giỏc BIMK, CIMH nội tiếp . tiếp .
1. Chứng minh tam giỏc ABC cõn. 2. Cỏc tứ giỏc BIMK, CIMH nội tiếp . tiếp . A.
2. Theo giả thiết MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900.=> ∠MIB + ∠MKB = 1800 mà đõy là hai gúc đối => tứ giỏc BIMK nội tiếp => ∠MIB + ∠MKB = 1800 mà đõy là hai gúc đối => tứ giỏc BIMK nội tiếp
* ( Chứng minh tứ giỏc CIMH nội tiếp tương tựtứ giỏc BIMK )
3. Theo trờn tứ giỏc BIMK nội tiếp => ∠KMI + ∠KBI = 1800; tứ giỏc CHMI nội tiếp => ∠HMI + ∠HCI = 1800. mà ∠KBI = ∠HCI ( vỡ tam giỏc CHMI nội tiếp => ∠HMI + ∠HCI = 1800. mà ∠KBI = ∠HCI ( vỡ tam giỏc ABC cõn tại A) => ∠KMI = ∠HMI (1).
Theo trờn tứ giỏc BIMK nội tiếp => ∠B1 = ∠I1 ( nội tiếp cựng chắn cung KM); tứ giỏc CHMI nội tiếp => ∠H1 = ∠C1 ( nội tiếp cựng chắn cung IM). Mà ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 sđ BMẳ ) => ∠I1 = ∠H1 (2).
Từ (1) và (2) => ∆MKI ∆MIH => MI MK
MH = MI => MI2 = MH.MK
4. Theo trờn ta cú ∠I1 = ∠C1; cũng chứng minh tương tự ta cú ∠I2 = ∠B2 mà ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800 => ∠I1+ ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mà đõy là hai gúc đối => tứ giỏc PMQI 1800 => ∠I1+ ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mà đõy là hai gúc đối => tứ giỏc PMQI nội tiếp => ∠Q1 = ∠I1 mà ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( vỡ cú hai gúc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI ⊥BC nờn suy ra IM ⊥ PQ.
Bài 26. Cho đường trũn (O), đường kớnh AB = 2R. Vẽ dõy cung CD ⊥ AB ở H. Gọi M là điểm chớnh giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh :
1.
AB AC KB
KC= 2. AM là tia phõn giỏc của ∠CMD. 3. Tứ giỏc OHCI nội tiếp
4. Chứng minh đường vuụng gúc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường trũn tại M. trũn tại M.
Lời giải: 1. Theo giả thiết M là trung điểm của BCằ => MB MCằ =ẳ
=> ∠CAM = ∠BAM (hai gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => AK là tia phõn giỏc của gúc CAB =>
AB AC KB KC