2 Phương pháp giảm cơ sở
2.5Thuật toán Greedy
Trước tiên, ta cần một cận trên hiệu quả, chính xác và chặt chẽ ∆XN(µ)của sai số giảm cơ sở ||u(µ)−uXN(µ)||X, với uXN là xấp xỉ giảm cơ sở tương ứng liên kết trên không gian XN. Để ước lượng tính chính xác và chặt chẽ, chúng tôi giới thiệu tính hiệu lực
ηN(µ)≡ ∆XN(µ)
||u(µ)−uXN(µ)||;
và yêu cầu
ở đây,ηmax,U B là hữu hạn và không phụ thuộc vào N. Vế trái của bất đẳng thức nhấn mạnh rằng ∆XN(µ) không bao giờ nhỏ hơn sai số đúng - tính chính xác, và vế phải của bất đẳng thức ∆XN(µ) không lớn hơn quá nhiều sai số đúng - tính chặt chẽ. Để ước lượng tính hiệu quả "efficient", đòi hỏi rằng chi phí của ước lượng µ → ∆XN là không phụ thuộc vàoN.
Thuật toán Greedy liên hệ mật thiết với không gian con xấp xỉ giảm cơ sở La- grangeWN(= XN). Chúng tôi biểu thị
SN∗ ≡ {µ1∗,· · · , µN∗}, 1≤N ≤Nmax,
và không gian được chọn bởi thuật toán Greedy như sau
XN∗(≡WN∗) = span{u(µ1∗),· · · , u(µN∗)}, 1≤N ≤Nmax,
Xấp xỉ giảm cơ sở tương ứng sẽ được kí hiệu làuX∗
XN(µ). Chúng tôi gọi N0 ∈ [1,· · · ,N¯max], ở đây N¯
max là chặn trên của Nmax; từ đó ta cũng có SN∗
0 = {µ1∗,· · · , µN0∗} và kết hợp với không gian LagrangeXN∗
0 = WN∗ 0 =
span{u(µn∗),1 ≤ n ≤ N0}. Cuối cùng, ta định rõ dãy mẫu là Ξtrain vốn là một lưới trongDthay thế choDvà độ sai cho phép làεtol,min.
Chúng tôi kí hiệu thuật toán tương ứng Greedy(N0, SN∗
Algorithm 1Thuật toán Greedy Input: N0, SN∗ 0,Ξtrain, εtol,min Output: XN∗. 1: for N = N0 + 1 : ¯Nmax do 2: µN∗ = arg max µ∈Ξtrain ∆X∗ N−1(µ); 3: ε∗N−1 = ∆X∗ N−1(µN∗) 4: if ε∗N−1 ≤ εtol,min then 5: Nmax = N −1 6: exist; 7: end if 8: SN∗ = SN∗ −1 ∪ µN∗; 9: XN∗ = XN∗−1 + span{u(µN∗)} 10: end for