Ứng dụng của các định lý điểm trùng nhau

ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN

3.1Ứng dụng của các định lý điểm trùng nhau

quả trong chương này được công bố trong bài báo [1, 3] trang 76 của luận án.

3.1 Ứng dụng của các định lý điểm trùngnhau nhau

Đầu tiên, ta xét đến khái niệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Định nghĩa 3.1.1 (Phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên). Cho

Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên là phương trình có dạng

Φu = Ψu (3.1)

Một số dạng đặc biệt của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có thể thấy được đó là Φu = u hay (Φ −λI)u = v (với Φ, I : LX0 (Ω) →

LY0 (Ω)là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên,I là toán tử đồng nhất). Ngoài ra, phương trình toán tử giá trị riêng hoàn toàn ngẫu nhiên(Φ−λI)u = 0 luôn nhận được sự quan tâm một cách đặc biệt.

Nhận xét 3.1.2. Rõ ràng biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) là nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (3.1) nếu u0 là điểm trùng nhau của Φ và Ψ.

Để đơn giản, trong các phần sau ta không nhắc lại về yêu cầu tính hầu chắc chắn.

Trong phần này, ta xét đến một số ứng dụng của các định lý về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Đầu tiên, ta có các định lý điểm bất động được suy ra từ các định lý điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Định lý 3.1.3. Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu

nhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng sao cho f(0) = 0,limt→+∞f(t) = +∞ và q là số thực dương thuộc (0,1). Giả sử Φ là (f, q)-co theo xác suất. Khi đó

1. Nếu Φ có điểm bất động thì điểm bất động là duy nhất. Hơn nữa, tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho

M = sup t>0

tpP (kΦu0 −u0k> f(t)) < +∞. (3.2)

2. Giả sử tồn tại số c ∈ (q; 1) sao cho ∞

X

n=1

f(cn) < +∞. (3.3)

3. Giả sử với mỗi t, s > 0

f(t+s) ≥ f(t) + f(s). (3.4) Khi đó (3.2) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.

Chứng minh. Gọi ξ, η là hai điểm bất động của Φ. Với mỗi t > 0

P (kξ −ηk > f(t)) = P (kΦξ −Φηk> f(t)) 6P (kξ −ηk > f(t/q)). Bằng phương pháp quy nạp ta suy ra

P (kξ −ηk > f(t)) 6 P (kξ −ηk> f(t/qn)),∀n.

Vì limn→∞f(t/qn) = +∞, P (kξ −ηk> f(t)) = 0 với mỗi t > 0. Từ đó g(kξ −ηk) = 0 h.c.c., với g là hàm ngược của f và ξ = η h.c.c.

Giả sử Φ có điểm bất động ξ, chọn u0 = ξ ta nhận được M = 0. Ngược lại, xét toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Ψ cho bởi Ψu = u. Từ Định lý 2.3.7, Φ và Ψ có điểm trùng nhau ξ và ξ là điểm bất động của Φ.

Định lý 3.1.4. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toàn

ngẫu nhiên, f(t) là hàm số thỏa mãn điều kiện (A). Giả sử (a) Ψ(LX0 (Ω)) là tập con đóng trong LX0 (Ω);

(b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂Ψ(LX0 (Ω));

(c) với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

P (kΦu−Φvk > t) 6 P (kΨu−Ψvk −f (kΨu−Ψvk) > t) ; (3.5)

(d) Φ và Ψ giao hoán, tức là ΦΨu = ΨΦu với biến ngẫu nhiên u bất kỳ thuộc LX0 (Ω).

Khi đó Φ và Ψ có duy nhất điểm bất động chung khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho

M = EkΦu0 −Ψu0kp < +∞. (3.6) Chứng minh. Nếu Φ và Ψ có điểm bất động chung ξ thì (3.6) đúng với u0 = ξ và bất kỳ p > 0. Ngược lại, giả sử (3.6) đúng. Theo Định lý 2.3.3, tồn tại u∗ sao cho Φu∗ = Ψu∗ = ξ. Với t > 0

P(kΦξ −ξk> t) = P(kΦξ −Φu∗k > t) ≤ P(kΨξ −Ψu∗k > t/q(t)) = P(kΨΦu∗ −ξk> t/q(t))

= P(kΦΨu∗ −ξk> t/q(t)) = P(kΦξ −ξk > t/q(t)).

Theo phương pháp quy nạp, ta suy ra rằng P(kΦξ −ξk > t) ≤ P(kΦξ−

ξk > t/qn(t)) với mọi n ∈ N. Cho n → ∞, P(kΦξ − ξk > t) = 0

với mọi t > 0. Vì vậy Φξ = ξ, tức là ξ là điểm bất động của Φ. Từ Ψξ = ΨΦu∗ = ΦΨu∗ = Φξ = ξ ta nhận được ξ cũng là điểm bất động của Ψ.

Giả sử ξ1 và ξ2 là hai điểm bất động chung của Φ và Ψ. Với mỗi t > 0 P(kξ1 −ξ2k > t) =P(kΦξ1 −Φξ2k > t)

≤P(kΨξ1 −Ψξ2k > t/q(t)) = P(kξ1 −ξ2k> t/q(t))

≤...

≤P(kξ1 −ξ2k > t/qn(t)).

Cho n → ∞, ta nhận được P(kξ1 − ξ2k > t) = 0 với mọi t > 0. Vì vậy ξ1 = ξ2.

Hệ quả 3.1.5 ([1, Mệnh đề 3.3.8]). Cho Φ : LX0 (Ω) →LX0 (Ω) là toán tử

động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho EkΦu0 −u0kp < +∞. (3.7) Chứng minh. Xét Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) cho bởi Ψu = u, hàm f(t) =

(1−q)t và h(t) = 1−q > 0. Khi đó Φ,Ψ và f(t) thỏa mãn các điều kiện

được phát biểu trong Định lý 3.1.4 và Φ,Ψ giao hoán. Vì vậy Φ và Ψ có chung điểm bất động ξ, tức là Φ có điểm bất động ξ.

Khi xét phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có biểu thức xây dựng dựa trên nhiều toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các định lý về điểm bất động không chỉ ra được sự tồn tại nghiệm của các phương trình dạng nàỵ Dựa trên các kết quả về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, ta xét đến bài toán tồn tại nghiệm của một số dạng phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên tổng quát xây dựng từ hai toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Định lý 3.1.6. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toàn tử hoàn toàn

ngẫu nhiên thỏa mãn

P (kΦu−Φvk > f(t)) 6P (kΨu−Ψvk> f(t/q)). (3.8)

với mọi u, v ∈ LX0 (Ω), t > 0 và f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng sao cho f(0) = 0,limt→+∞f(t) = +∞ thỏa mãn (3.3) hoặc (3.4) và q là số dương. Xét phương trình ngẫu nhiên dạng

Φu−λΨu = η (3.9)

với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên trong LX0 (Ω). Giả sử rằng

Φ(LX0 (Ω)) ⊂λΨ(LX0 (Ω)) +η; (3.11)

|λ| > sup

t>0

f (qt)

f (t) . (3.12) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Khi đó phương trình (3.9) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và số p > 0 sao cho

M = sup t>0

tpP (kΦu0 −λΨu0 −ηk > |λ|f (t)) < +∞. (3.13) Chứng minh. Giả sử rằng phương trình (3.9) có nghiệm ξ. Khi đó điều kiện (3.13) đúng với u0 = ξ.

Ngược lại, giả sử điều kiện (3.13) đúng.

Vì f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng sao cho f(0) = 0,limt→+∞f(t) = +∞ nên tồn tại q0 ∈ (0; 1) sao cho

|λ| ≥ sup t>0 f q q0t f (t) . (3.14)

Gọi Θ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên xác định bởi Θu = Φu−η λ . Từ (3.11) và (3.13) ta suy ra rằng Θ(LX0 (Ω)) ⊂ Ψ(LX0 (Ω)), M = sup t>0 tpP (kΘu0 −Ψu0k> f(t)) < +∞.

Ký hiệu g = f−1 là hàm ngược của f, khi đó g : [0; +∞) → [0; +∞) là liên tục, tăng với g(0) = 0,limt→+∞g(t) = +∞. Với mỗi t > 0 tồn tại t0 sao cho f(t0) = |λ|f(t), tức là t0 = g(|λ|f(t)). Do đó P (kΘu−Θvk > f(t)) = P (kΦu−Φvk> |λ|f (t)) = P (kΦu−Φvk> f (t0)) 6P (kΨu−Ψvk > f (t0/q)) = P kΨu−Ψvk> f t q0 q0t0 qt .

Từ (3.14) ta nhận được |λ|f (t) ≥ f q q0t . Từ đó g(|λ|f (t)) ≥ q q0t và t0 ≥ q q0t, q0t0 qt ≥1. Vì vậy P kΨu−Ψvk > f t q0 q0t0 qt 6P (kΨu−Ψvk> f (t/q0)), và P (kΘu−Θvk > f(t)) 6P (kΨu−Ψvk > f (t/q0)).

Từ đó Θ và Ψ thỏa mãn các điều kiện (a)-(c) được phát biểu trong Định lý 2.3.7. Vì vậy Θ và Ψ có điểm trùng nhau ξ, tức là phương trình (3.9) có nghiệm ξ. thỏa mãn P (kΦu−Φvk > f(t)) 6 P (ku−vk > f(t/q)) (3.15) với mọi u, v ∈ LX0 (Ω), t > 0, 3.2 Ứng dụng của các định lý điểm bất động

Các định lý điểm bất động là công cụ hiệu quả để chỉ ra sự tồn tại, và thậm chí tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Trong phần này, ta sử dụng các định lý điểm bất động đã được chứng minh ở chương trước để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Định lý 3.2.1. Cho Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

(2.45). Xét phương trình ngẫu nhiên

Φu−λu = η (3.16)

với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên thuộc LX0 (Ω). Giả sử rằng

|λ| > sup

t>0

f (qt)

f (t) . (3.17)

Khi đó phương trình (3.16) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và số thực p > 0 sao cho

M = sup t>0

tpP (kΦu0 −λu0 −ηk > |λ|f (t)) < +∞. (3.18) Chứng minh. Vìf(t)là hàm liên tục, tăng thỏa mãnf(0) = 0,limt→+∞f(t) = +∞ nên tồn tại q0 ∈ (0; 1) sao cho

|λ| ≥ sup t>0 f q q0t f (t) . (3.19)

Xét toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Ψ xác định bởi công thức Ψu = Φu−η

λ . (3.20)

Gọi g = f−1 là hàm ngược của f. Khi đó g : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng với g(0) = 0,limt→+∞g(t) = +∞. Với mỗi t > 0 tồn tại t0 sao cho f(t0) = |λ|f(t), tức là t0 = g(|λ|f(t)). Vì vậy

P (kΨu−Ψvk> f (t)) =P (kΦu−Φvk > |λ|f (t)) = P (kΦu−Φvk > f(t0)) 6 P (ku−vk > f(t0/q)) = P ku−vk > f t q0 q0t0 qt .

Từ (3.19) ta nhận được |λ|f (t) ≥ f q q0t . Khi đó g(|λ|f (t)) ≥ q q0t. (3.21) Vì vậy t0 ≥ q q0t và q0t0

qt ≥ 1. Bằng các tính toán trực tiếp ta thấy P (kΨu−Ψvk > f (t)) 6 P (ku−vk > f(t/q0)), điều đó suy ra Ψ là (f, q0)-co theo xác suất.

Theo Định lý 2.2.13, Ψ có duy nhất điểm bất động ξ. Từ đó phương trình (3.16) có duy nhất nghiệm ξ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ta thấy Định lý 3.2.1 là mở rộng của định lý [1, Định lý 3.3.17] mà ta xét đến như hệ quả saụ

Hệ quả 3.2.2 ([1, Định lý 3.3.17]). Cho Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω) là toán tử

hoàn toàn ngẫu nhiên q-Lipschitz theo xác suất. Xét phương trình ngẫu nhiên

Φu−λu = η (3.22)

với λ là số thực thỏa mãn |λ| > q và η là biến ngẫu nhiên thuộc LXp (Ω),

p >0. Khi đó phương trình ngẫu nhiên (3.22) có duy nhất nghiệm khi và

chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) sao cho

EkΦu0 −λu0kp < +∞. (3.23) Sau đây ta xét ví dụ về sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.22). Ví dụ 3.2.3. Cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω) →LX0 (Ω) xác định bởi công thức

trong đó α là biến ngẫu nhiên nhận giá trị 0 với xác suất p, giá trị q với xác suất 1−p, 0< p, q < 1 và ξ là biến ngẫu nhiên nào đó. Khi đó ta có

P (kΦu−Φvk > t) = P (αku−vk > t)

6 P (qku−vk > t)

và Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên q-Lipschitz theo xác suất. Chọn λ = 2q > |q|, khi đó phương trình

Φu−λu = η (3.25)

tương đương với

α(ω)(u−ξ)−2qu = η.

Phương trình (3.25) có nghiệm duy nhất u = η +αξ

α −2q.

Định lý 3.2.4. Giả sử rằng f : [0,+∞) → [0,+∞) là hàm số thỏa mãn

điều kiện (A) và Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện sau

(a) Ψ(LX0 (Ω)) là tập con đóng trong LX0 (Ω); (b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂Ψ(LX0 (Ω));

(c) Ψ liên tục theo xác suất;

(d) với mỗi u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0

P (kΦu−Φvk> t) 6P (kΨu−Ψvk −f (kΨu−Ψvk) > t). (3.26)

Khi đó phương trình

có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho

EkΦu0 −Ψu0kp < +∞. (3.28) Chứng minh. Nếu (3.27) có nghiệm ξ thì (3.28) đúng với u0 = ξ và p > 0 bất kỳ.

Ngược lại, giả sử rằng (3.28) đúng. Từ (b) tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị u1 sao cho Ψu1 = Φu0. Bằng phương pháp quy nạp, tồn tại dãy biến ngẫu nhiên X-giá trị (un) sao cho Ψun = Φun−1, n ≥ 1. Đặt ξn = Ψun, n = 1,2, ..., ta chứng minh rằng dãy (ξn) là dãy Cauchy theo xác suất. Đặt g(t) = 1− f(t) t , t > 0. Ta có f(t) = (1−g(t))t và g(t) ∈ (0; 1),∀t > 0. Với bất kỳ u, v ∈ LX0 (Ω)

P(kΦu−Φvk> t) 6P(kΨu−Ψvk −f (kΨu−Ψvk) > t).

Một cách tương đương ta nhận được

P(kΦu−Φvk > t) 6 P(g(kΨu−Ψvk)kΨu−Ψvk > t). (3.29) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Cố định t > 0, với mỗi s≥ t

g(s) = 1− f(s)

s 6 1−h(t) = q(t).

Vì g(t) < 1 ta nhận được

Vì vậy

P(kΦu−Φvk > t) ≤ P(g(kΨu−Ψvk)kΨu−Ψvk > t)

= P(g(kΨu−Ψvk)kΨu−Ψvk > t,kΨu−Ψvk> t)

6 P(q(t)kΨu−Ψvk > t,kΨu−Ψvk > t) 6 P(q(t)kΨu−Ψvk > t) = P(kΨu−Ψvk > t/q(t)). Chú ý rằng q(t) < 1 vì h(t) > 0 nên ta nhận được P(kξn+1 −ξnk > t) =P(kΦun −Φun−1k > t) 6 P(kΨun−Ψvn−1k > t/q(t)) = P(kξn−ξn−1k) > t/q(t)) 6 P(kξn−1 −ξn−2k) > t/q(t) q(t/q(t))) 6 P(kξn−1 −ξn−2k) > t/q2(t))

vì q(t/q(t)) < q(t). Bằng các lý luận tương tự như trong chứng minh của

Định lý 2.2.9, ta suy ra dãy (ξn) là dãy Cauchy theo xác suất. Vì vậy tồn tại ξ ∈ LX0 (Ω) sao cho p-limξn = ξ. Từ giả thiết (a), tồn tại u∗ ∈ LX0 (Ω) sao cho Ψu∗ = ξ. Do đó

P (kΨun+1−Φu∗k > t) = P (kΦun−Φu∗k > t)

6 P (kΨun −Ψu∗k −f (kΨun−Ψu∗k) > t)

6 P (kξn −ξk > t).

Cho n→ ∞ ta nhận được P (kξ −Φu∗k > t) = 0, điều đó suy ra Φu∗ = ξ h.c.c. Vì vậy u∗ là nghiệm của phương trình ngẫu nhiên (3.27).

Nhận xét 3.2.5. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng phương trình ngẫu nhiên (3.27) không nhất thiết có duy nhất nghiệm.

Ví dụ 3.2.6. Xét hai toán tử hoàn toàn ngẫu nhiênΦ,Ψ : LR

0(Ω)→ LR

0(Ω) xác định bởi

Φu = k|u|+η,Ψu = |u|

với η là biến ngẫu nhiên dương, k ∈ (0; 1).

Dễ dàng kiểm tra được rằng Φ,Ψ thỏa mãn giả thiết của Định lý 3.2.4 với f(t) =k0t, k0 ∈ (0; 1−k) và phương trình (3.27) có hai nghiệm

ξ1 = 1

1−kη, ξ2 = − 1

1−kη.

Kết luận: Trong chương này, chúng tôi xét đến ứng dụng của các

định lý điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Chúng tôi chỉ ra từ các định lý về điểm bất động và điểm trùng nhau, có thể chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số dạng phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, dựa trên các kết quả về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, ta có thể nhận lại được các kết quả về điểm bất động.