ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA CÁC TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN
2.3Điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên
toàn ngẫu nhiên
Khi xét đồng thời nhiều toán tử, bài toán điểm bất động được mở rộng thành bài toán điểm bất động chung của nhiều toán tử. Tuy nhiên trong phần lớn các trường hợp, điểm bất động chung của nhiều toán tử không tồn tạị Chính vì sự không tồn tại của điểm bất động chung, bài toán tìm điểm trùng nhau (điểm có cùng ảnh qua các toán tử) của các toán tử được xét đến như là một yêu cầu tất yếụ Bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đã được nhiều tác giả xem xét trong các công trình của mình,
và đặc biệt bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên là bài toán quan trọng trong trường hợp toán tử ngẫu nhiên đa trị. Trong phần này, ta xét đến bài toán điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Xét f, g : Ω × X → X là các toán tử ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ(ω) được gọi là điểm trùng nhau (xem [14, 49]) của các toán tử ngẫu nhiên f, g nếu
f(ω, ξ(ω)) =g(ω, ξ(ω)) h.c.c.
Giả sử f, g là liên tục, theo Định lý 2.1.3 các ánh xạ Φ,Ψ : LX0 (Ω) →
LX0 (Ω) định nghĩa tương ứng bởi
Φu(ω) = f(ω, u(ω)), Ψu(ω) =g(ω, u(ω))
là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục và là mở rộng của các toán tử ngẫu nhiên f và g một cách tương ứng. Với mỗi điểm trùng nhau ξ của các toán tử ngẫu nhiên f và g ta nhận được
Φξ(ω) = Ψξ(ω) h.c.c. Từ đó dẫn đến định nghĩa saụ
Định nghĩa 2.3.1. Cho Φ1,Φ2, ...,Φn : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử
hoàn toàn ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ ∈ LX0 (Ω) được gọi là điểm trùng nhau của Φ1,Φ2, ...,Φn nếu
Φ1ξ = Φ2ξ = ...= Φnξ h.c.c. (2.60) Đầu tiên, ta xét các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện dạng co yếu theo xác suất tổng quát. Khi đó với các điều kiện đơn giản ban đầu, các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên này có điểm trùng nhaụ Hơn nữa, điểm trùng nhau có thể tìm được bằng phương pháp lặp ngẫu nhiên.
Mệnh đề 2.3.2. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là các toàn tử hoàn toàn ngẫu nhiên và Ψ liên tục theo xác suất. Giả sử rằng tồn tại biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương k(ω) sao cho với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0
P (kΦu−Φvk> t) 6 P (kkΨu−Ψvk> t). (2.61)
Khi đó Φ liên tục theo xác suất. Chứng minh. Với mỗi u, v ∈ LX0 (Ω)
P(kΦu−Φvk > t)
6 P(kkΨu−Ψvk > t)
6 P(kkΨu−Ψvk > t,kΨu−Ψvk 6r) + P(kΨu−Ψvk > r)
≤ P(rk > t) +P(kΨu−Ψvk > r) = P(k > t/r) +P(kΨu−Ψvk > r). Giả sử p-limnun = u, khi đó
P(kΦun−Φuk > t) 6 P(k > t/r) +P(kΨun−Ψuk > r).
Vì vậy với mỗi r > 0 lim sup n P(kΦun −Φuk > t) 6 P(k > t/r) + lim sup n P(kΨun −Ψuk > t) = P(k > t/r). Cho r → 0 ta nhận được lim sup n P(kΦun −Φuk> t) = 0. Do đó Φ là liên tục theo xác suất.
Định lý 2.3.3. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và f(t) là hàm số thỏa mãn điều kiện (A). Giả sử
(a) Ψ(LX0 (Ω)) đóng trong LX0 (Ω); (b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂Ψ(LX0 (Ω));
(c) với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0
P (kΦu−Φvk> t) 6P (kΨu−Ψvk −f (kΨu−Ψvk) > t). (2.62)
Khi đó Φ và Ψ có điểm trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho
M = EkΦu0 −Ψu0kp < +∞. (2.63) Chứng minh. NếuΦ,Ψcó điểm trùng nhauu∗, thì (2.63) đúng vớiu0 = u∗ với mọi p > 0.
Ngược lại, giả sử rằng EkΦu0 −Ψu0kp < +∞ với biến ngẫu nhiên u0 nào đó thuộc LX0 (Ω) và p > 0. Theo giả thiết (b), tồn tại biến ngẫu nhiên u1 ∈ LX0 (Ω) sao cho Ψu1 = Φu0. Tương tự, tồn tại biến ngẫu nhiên u2 ∈ LX0 (Ω) sao cho Ψu2 = Φu1. Theo phương pháp quy nạp, tồn tại dãy biến ngẫu nhiên (un) trong LX0 (Ω) sao cho
Ψun = Φun−1, n = 1,2, ... (2.64) Ta sẽ chứng minh rằng dãy (ξn) xác định bởi ξn = Ψun = Φun−1 (n = 1,2, ...) là dãy Cauchy trong LX0 (Ω). Với t > 0, xét hàm g(t) xác định bởi
g(t) = 1− f(t) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
t .
Khi đó
Vì f(t) > 0,∀t > 0, ta nhận được g(t) < 1,∀t > 0. Với mỗi u, v ∈ LX0 (Ω) P(kΦu−Φvk> t) 6P(kΨu−Ψvk −f (kΨu−Ψvk) > t).
Từ đó
P(kΦu−Φvk > t) 6 P(g(kΨu−Ψvk)kΨu−Ψvk > t). (2.65)
Cố định t > 0, với mỗi s≥ t > 0
g(s) = 1− f(s)
s 6 1−h(t) = q(t).
Vì g(t) < 1
{g(kΨu−Ψvk)kΨu−Ψvk > t} ⊂ {kΨu−Ψvk> t}. Vì vậy
P(kΦu−Φvk > t)
≤P(g(kΨu−Ψvk)kΨu−Ψvk> t)
= P(g(kΨu−Ψvk)kΨu−Ψvk > t,kΨu−Ψvk > t)
6P(q(t)kΨu−Ψvk > t,kΨu−Ψvk > t) 6P(q(t)kΨu−Ψvk > t) = P(kΨu−Ψvk > t/q(t)). Chú ý rằng q(t) < 1 vì h(t) > 0. Từ đó với mỗi n≥ 2 P(kξn+1 −ξnk > t) =P(kΦun−Φun−1k > t) 6 P(kΨun−Ψun−1k> t/q(t)) = P(kξn−ξn−1k > t/q(t)) 6 P(kξn−1 −ξn−2k > q(t/qt/q((tt)))) 6 P(kξn−1 −ξn−2k > t/q2(t))
vì hàm sốh(t) tăng trong(0,+∞), do đó hàm q(t) giảm trong (0,+∞) và q t q(t)
< q(t). Bằng phương pháp quy nạp và bất đẳng thức Chebyshev
ta nhận được P(kξn+1 −ξnk > t) ≤ P(kξn −ξn−1k > t/q(t)) ≤ ... ≤ P(kξ2 −ξ1k > t/qn−1(t)) = P(kΦu1 −Φu0k > t/qn−1(t)) ≤ P(kΨu1 −Ψu0k> t/qn(t)) = P(kΦu0 −Ψu0k > t/qn(t)) ≤ EkΦu0 −Ψu0kp(qn(t))p tp = M(qnt(pt))p = M(q0n)p tp với q0 = q(t) ∈ (0,1). Đặt r = x q0 với q0 < x < 1, khi đó r > 1 và (r −1)(1 r + 1 r2 +...+ 1 rm) + 1 rm = 1 ∀m ≥ 1. Vì vậy, với bất kỳ t > 0 và m, n ∈ N P(kξn+m−ξnk > t) ≤P(kξn+m−ξnk > (1−1/rm)t) ≤P(kξn+m−ξn+m−1k> t(r−1)/rm) +... +P(kξn+1 −ξnk > t(r −1)/r) = M [(r −1)t]p (rm)p(q0n+m−1)p+...+rp(q0n)p Từ đó P(kξn+m−ξnk > t) ≤ M [(r −1)t]p(qn0)prp(q0r)p(m−1) +...+ (q0r)p+ 1 = M [(r −1)t]p(qn0)prp1−(q0r)mp 1−(q0r)p
dẫn đến P(kξn+m −ξnk > t) < M r p [(r −1)t]p[1−(q0r)p](q p 0)n
Do đó P(kξn+m−ξnk > t) tiến tới 0 khi n→ ∞. Điều đó suy ra rằng (ξn) là dãy Cauchy theo xác suất trong LX0 (Ω). Vì vậy tồn tại ξ ∈ LX0 (Ω) sao cho p-limnξn = ξ. Từ giả thiết (a), tồn tại u∗ ∈ LX0 (Ω) sao cho Ψu∗ = ξ. Từ đó
P (kξn+1 −Φu∗k> t) = P (kΨun+1 −Φu∗k > t) = P (kΦun −Φu∗k> t)
6P (kΨun−Ψu∗k −f (kΨun −Ψu∗k) > t)
6P (kΨun−Ψu∗k > t) = P (kξn −ξk > t). Vì vậy
P (kξ −Φu∗k > t) 6 P (kξ −ξn+1k> t/2) +P (kξn+1−Φu∗k > t/2)
6 P (kξ −ξn+1k> t/2) +P (kξn−ξk > t/2).
Cho n → ∞, ta nhận được P (kξ −Φu∗k > t) = 0,∀t > 0. Do đó Φu∗ = ξ = Ψu∗ và u∗ là điểm trùng nhau của Φ,Ψ.
Vì điều kiện dạng co yếu theo xác suất là mở rộng của điều kiện dạng co theo xác suất, nên định lý về sự tồn tại điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện dạng co theo xác suất nhận được như là một hệ quả.
Hệ quả 2.3.4. Cho Φ,Ψ là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên thỏa mãn
điều kiện (a), (b) trong Định lý 2.3.3. Giả sử rằng tồn tại số q ∈ (0; 1) sao cho
với mọi biến ngẫu nhiên u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0. Khi đó Φ và Ψ có điểm trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho (2.63) đúng.
Chứng minh. Xét các hàm số f(t) = (1−q)t và h(t) = 1−q > 0. Khi đó Φ,Ψ thỏa mãn các điều kiện được phát biểu trong Định lý 2.3.3. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nhận xét 2.3.5. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng điểm trùng nhau của các toán tử Φ và Ψ trong Định lý 2.3.3 không duy nhất.
Ví dụ 2.3.6. Định nghĩa hai toán tử hoàn toàn ngẫu nhiênΦ,Ψ : LR
0(Ω) →
LR
0(Ω) bởi
Φu = q|u|+η,Ψu = |u| (2.67) với η là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương, q ∈ (0; 1).
Dễ dàng thấy được Φ,Ψ thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.3.3 với f(t) = (1 − q)t. Mặt khác, Φ và Ψ có hai điểm trùng nhau u∗1 =
1
1−qη, u ∗
2 = − 1
1−qη.
Cùng với định lý về điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (f, q)-co theo xác suất, ta cũng xét đến các định lý về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên dạng (f, q)-co theo xác suất tổng quát.
Định lý 2.3.7. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng sao cho f(0) = 0,limt→+∞f(t) = +∞ và q là số dương thuộc (0; 1). Giả sử rằng
(a) Ψ(LX0 (Ω)) đóng trong LX0 (Ω); (b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂Ψ(LX0 (Ω));
(c) với bất kỳ u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0
P (kΦu−Φvk> f(t)) 6P (kΨu−Ψvk > f(t/q)). (2.68)
Khi đó
1. Nếu Φ,Ψ có điểm trùng nhau thì tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω)
và p > 0 sao cho
M = sup t>0
tpP (kΦu0 −Ψu0k> f(t)) < +∞. (2.69)
2. Giả sử tồn tại số c ∈ (q; 1) sao cho ∞
X
n=1
f(cn) < +∞. (2.70)
Khi đó điều kiện (2.69) là điều kiện đủ để Φ,Ψ có điểm trùng nhaụ 3. Giả sử với mỗi t, s > 0
f(t+s) ≥ f(t) + f(s). (2.71) Khi đó điều kiện (2.69) là điều kiện đủ để Φ,Ψ có điểm trùng nhaụ Chứng minh. Gọig = f−1 là hàm ngược của hàmf. Khi đó g : [0; +∞) →
[0; +∞) là tăng và g(0) = 0,limt→+∞g(t) = +∞. Điều kiện (2.68) tương đương với điều kiện sau
P (g(kΦu−Φvk) > t) 6P (g(kΨu−Ψvk) > t/q). (2.72) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Gọi u0 là biến ngẫu nhiên thuộc LX0 (Ω) sao cho (2.69) đúng. Từ giả thiết (b), tồn tại biến ngẫu nhiên u1 ∈ LX0 (Ω) sao cho Ψu1 = Φu0. Tương tự,
tồn tại biến ngẫu nhiên u2 ∈ LX0 (Ω) sao cho Ψu2 = Φu1. Theo phương pháp quy nạp, tồn tại dãy (un) ⊂ LX0 (Ω) xác định bởi
Ψun = Φun−1, n = 1,2, ... (2.73) Đặt ξn = Ψun = Φun−1, n = 1,2, ... Từ (2.72)
P (g(kξn+1−ξnk) > t) =P (g(kΦun −Φun−1k) > t)
6P (g(kΨun−Ψun−1k) > t/q) = P (g(kξn −ξn−1k) > t/q). Bằng phương pháp quy nạp, ta nhận được với mỗi n
P (g(kξn+1 −ξnk) > t) 6 P (g(kΨu1 −Ψu0k) > t/qn) = P (g(kΦu0 −Ψu0k) > t/qn).
(2.74)
1. Giả sử rằng Φ,Ψ có điểm trùng nhau u∗. Khi đó lấy u0 = u∗, ta nhận được M = 0.
2. Từ (2.69)
P (g(kΦu0 −Ψu0k) > s) =P (g(kΨu1 −Ψu0k) > s) 6 M
sp. (2.75) Từ (2.74) và (2.75) P (g(kξn+1−ξnk) > t) 6 M q np tp . (2.76) Chọn t = cn, từ (2.76) P (g(kξn+1 −ξnk) > cn) 6 Mq np cnp (2.77) tức là P (kξn+1 −ξnk> f(cn)) 6Mq np cnp. (2.78)
Vì ∞ X n=1 P (kξn+1−ξnk> f(cn)) 6M ∞ X n=1 qnp cnp < +∞,
theo Bổ đề Borel-Cantelli, tồn tại tập D với xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D tồn tại N(ω) kξn+1(ω)−ξn(ω)k 6f(cn),∀n > N(ω). Từ (2.70) ta nhận được ∞ P n=1 kξn+1(ω)−ξn(ω)k < ∞ với mọi ω ∈ D và suy ta tồn tại limnξn(ω) với mọi ω ∈ D.
Do đó dãy (ξn) hội tụ h.c.c. tới ξ ∈ LX0 (Ω). Từ giả thiết (a), tồn tại u∗ ∈ LX0 (Ω) sao cho Ψu∗ = ξ. Vì vậy
P (kΨun+1 −Φu∗k > f(t)) = P (kΦun −Φu∗k > f(t))
6P (kΨun−Ψu∗k> f(t/q)) = P (kξn −ξk> f(t/q)).
Cho n → ∞, ta nhận được P (kξ −Φu∗k > f(t)) = 0 với mọi t > 0. Từ đó Φu∗ = ξ = Ψu∗ h.c.c. và u∗ là điểm trùng nhau của Φ và Ψ. 3. Dễ dàng thấy rằng với mỗi t, s > 0
g(s+t) 6 g(t) + g(s). Vì vậy, với a = m P i=1 si P (g(kξn+m −ξnk) > a) 6 P (g(Pm i=1kξn+i −ξn+i−1k) > a) 6 P (Pm i=1g(kξn+i −ξn+i−1k) > a) 6 Pm i=1P (g(kξn+i −ξn+i−1k) > si). Từ (2.76) P (g(kξn+i−ξn+i−1k) > si) 6 M q (n+i−1)p spi . (2.79)
Đặt r = x
q với q < x < 1 và si = s(r −1)/ri. Sử dụng các suy luận
tương tự trong chứng minh Định lý 2.3.3 ta suy ra được lim n P(g(kξn+m−ξnk) > s) = 0,∀s > 0 vì thế lim n P(kξn+m −ξnk > f(s)) = 0,∀s > 0. Do đó lim n P(kξn+m−ξnk > t) = 0,∀t > 0.
Gọi giới hạn của dãy (ξn) theo xác suất là biến ngẫu nhiên ξ trong LX0 (Ω). Từ giả thiết (a), tồn tại u∗ trong LX0 (Ω) sao cho Ψu∗ = ξ. Vì vậy
P (kΨun+1 −Φu∗k > f(t)) = P (kΦun −Φu∗k > f(t))
6P (kΨun−Ψu∗k> f(t/q)) = P (kξn −ξk> f(t/q)).
Cho n → ∞ ta nhận được P (kξ −Φu∗k> f(t)) = 0 với mọi t > 0, từ đó suy ra Φu∗ = ξ = Ψu∗ h.c.c. Vì vậy u∗ là điểm trùng nhau của Φ,Ψ.
Kết luận: Trong chương này, chúng tôi xét đến vấn đề mở rộng toán
tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Chúng tôi chứng minh định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Chúng tôi xét đến tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Bằng phương pháp dãy lặp chúng tôi đã chỉ ra được các điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ để khẳng định sự tồn tại
điểm bất động của các dạng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu theo xác xuất, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (f, q)-co theo xác suất, và một số kết quả đối với các toán tử có xu hướng co khác. Tiếp theo chúng tôi xét đến vấn đề điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Chúng tôi đã đưa ra các điều kiện đảm bảo cho để các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có điểm trùng nhau, đó là các điều kiện dạng co yếu theo xác suất tổng quát, dạng (f, q)-co theo xác suất tổng quát. Một số ví dụ đã được đưa ra để minh họa cho ý nghĩa của các định lý. Các kết của trong chương này vẫn đúng nếu ta thay không gian Banach X bằng không gian Polish X với ||u−v|| thay
Chương 3
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});