/ (.X) e WE ( (r) ,C)
2.2.2.Trường hợp nón thứ tự tổng quát.
Tiếp theo, trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh rằng Dịnh lí 2J_ vẫn
đúng khi c là nón lồi đóng tổn g quát với phần trong khác rỗng m iễn là
hàm / là C-lồi. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.6. Giả sử rằng f là C- lồi. Khi đó, tồn tại 2/ * , y* € c+ \ {0}
sao cho Sw ỉ,à đồng nhất với tập của tất cỏ, CÁC nghiệm, Pareto yếu của
bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc sau
Mị — min fo (x) với X E r , (2.15)
trong đó, f a (X) = ((ĩj*, f ( x ) ), (y*qì f 0 ) ) ) với mọi X e X.
Chứng minh. Với mỗi y* € Y* bất kì, đặt
A r := inf (y \ f { x)> và L ( i f ) := {x 6 r : ( y \ f (x)) = Ày.}- (2-16) Khi đó, theo ỊTÕl Dịnh lí 5.13] ta có
sw= u L ( y ‘ ). (2.17)
y*e C + \{0}
Dặt I := {1, ..., 777,} (trong đó, m được xét như trong (2.1)) và với mỗi
i G /, đặt
Cị := {ĩ / Ẽ C + \ {0} : L (ị/*) n p, ? 9} và s, := u Pt n L (y*).
(2.18) Theo (2.17) và đẳng thức đầu tiên của (|2.lỊ)thì
S„ = ( j 5 í. (2.19)
Lấy i e I và y* E c +. Do (2.1), (2.16)và, (2.18) ta có
Pt n L (y*) = {x e p t n r : ( y \ T ị (x) + bị) = m / ttGPinr (y*,T (u) + bt)} .
Từ Pị n r là đa diộn trong X , suy ra Pị n L (y*) là một mặt của Pị n r . Lưu ý rằng, một đa diện có hữu hạn các mặt nên tồn tại một tập con hữu hạn Dị c Cị sao cho Si = U ?*gd Pi ^ L (y*)• Do đó, theo (2.17) và (2.19) thì tồn tại yỊ, G c+ \ {0} sao cho
(Ị
Su, = u L (vl) ■
k=1
(2.20)
Dặt /„ : X R" với /„ (x) = « ỉ/ĩ, / (x)) , (ỉ/J, / (x))) với mọi .X e X. Từ mỗi hàm số X !-)• (ỉ/Ị, / (#)) là lồi và tuyến tính từng khúc, suy ra f0
là MỊ - lồi và tuyến tính từng khúc. Lấy X E r và gọi s°} là tập nghiệm Parcto yếu của (2.15). Khi đó, từ pm Định lí 5.13] suy ra X G s°wnếu và chỉ nếu tồn tại (ti, € Mị \ {0} sao cho
tức là, Do đó X , f o( x) ) = i n f {((t l, .. ., tq) , f0(u)) : u e r } , Ỵ2tk ỉ = inf I tk ỉ (“)): “e r Ị ■ k=1 lfc=l J € S ° & x € L với (Í1, . € R ị \ {0}
Từ (2.17) và (2.20) suy ra S w = s°. Bổ đề được chứng minh. □
30
Đ ịn h lý 2.2. Gi,ả sử f là C- lồi. Khi đó, S w là hợp của hữu hạn các đa diện trong X .
M ệnh đề 2.1. Giả sử f là c - lồi và Y là không gian hữu hạn chiều. Khỉ đó, Vw là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Theo Dịnh lí 2^2, tồn tại hữu hạn các đa diện Ep
trong X sao cho Sw = U L i E k- Do Vw = U L i / (E k)- Từ (|2.lỊ) suy ra
v- = ủ (Ù /(p’ n£'*)) = Ú (Ủ№(p-n^)) + 'M •
k = \ \ i = 1 / fe=i \ i = l /
Diều này cùng với Bổ đề 2 ^ chứng tỏ rằng Vw là hợp của hữu hạn các
đa diện trong Y. Mệnh đề được chứng minh. □
Theo Ví dụ 2.1, có thể thấy rằng cả Dịnh lí 2 ^ và Mệnh đề ‘ẰA đều không đúng nếu không có giả thiết vồ tính C- lồi của / .
San đây là các kết quả liên thông đường của S wvà Vw.
Đ ịn h lý 2.3. G i ả sử f là C-ỉồi. Khi đó, S w và Vw là liên thông đường.
Dể chứng minh Dịnh lí ^ 3 , chúng ta sử dụng bổ đề sau.
B ổ đề 2.7. Cho z ỉ,à không gian định chuẩn và K c z ỉ à một nón đa
diện với int (K) Ỷ 0- Gi,ả sử A c z là một đa diện. Khi đó, w E (A, K)
là liên thông đường.
Chứng minh. Lấy z Ị , z * n + ỉ , z * € z* và C i , cm € M sao cho
và
K = ịz G z : (z*,z) < 0, ỉ = m + 1 , 7 7 , } .
Dặt Zị := P|n=1 ker(z*). Khi đó, tồn tại một không gian con hữu hạn
chiều z2 của z sao cho z = Zị + z 2 và Z\ n z 2 = {0} . D ặt
Aa — {z e z 2 : ( z*, z) < Cị, ỉ = 1, ...,ra}
và
= {2 E z 2 : ^ = ra + 1 , 77,} .
Khi đó, A = Z l + A 0, K = Zị + K 0Ì A0 là một đa diện trong z2 và K0
là một nón đa diện trong z2.Ngoài ra, i n t ( K ) = ỉnt z2 {Ko) + Zị. Ta
chứng m inh rằng,
WE{A,K) = WE{A0,K0) + zx. (2.21)
Từ điền này cùng với Dịnh lí ABB chứng tỏ rằng, W E (A0, K0) là liên thông đường suy ra w E (A, K ) là liên thông đường. Ta còn phải chứng
tỏ fl2.2ip là đúng.
Lấy X G w E (i4, K). Khi đó, (x — int (K)) n A = 0. Cho a ơ G Ao và z1 G Zị với X = a ơ+ Z i , suy ra
(a0 + Zị - ỉ nt z 2 ( K0) - Zị) n (A0 + Zi) = 0.
Do Zị — Zị = — Zị nên điều này có nghĩa là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(aơ - i nt z2 ( K0)) n = 0,
d o đ ó , a 0 G w E ( A 0 , K 0 ) s u y r a X = a „ + Zị 6 w E ( A 0 , K 0 ) + Z ị . V ì v ậ y ,
32
Dể chứng minh bao hàm thức ngược lại, giả sử phản chứng tồn tại
z0 E w E (A0ĩ K 0) và Z ị G sao cho z 0 + Z ị ị w E (i4, K ) .
Từ int (K) = i n t z2( Kơ) + Zi và A = A0 + Zị, tồn tại e E i n t z2{Ko),
?/, V G Zị và aơ £ A0 sao cho z0 + Zị — e — u = a0 + V, hay là z0— e — aơ =
II + V — Z \ . Chú ý rằng với za — e — a0 G z 2, u + V — Z \ G Zi và từ
Zị n z2 = {0} thì za — e = aQ. Vì vậy, a0 £ za — int z2 {Ko), mâu thuẫn
với Zo € w E (A0ì K ơ). Diều này chứng tỏ rằng (2.21) là đúng. Bổ đề đã
được chứng minh. □
C hứng m inh Đ ịn h lý 2.3. Giử sử fo và q giống như trong Bổ đề 2 ^
Dặt K = X X R q+. Khi đó, K là một nón đa diện trong X X R 9. Ta chứng
minh rằng,
sw = ị x : (x, y) e W E (epiRị (fo) n ( r X R q), I . (2.22)
Lấy X G S w. Khi đó, theo Bổ đề 2-6, X là một nghiệm Pareto yếu của (2.15). Do đó,
( f o ( x ) - f o ( r ) ) n i n t ( R q+ ) = 0. Diồu này có nghĩa là,
(.T, f ơ( . t ) ) — (?/,, f0( u ) ) ị X X i n t ( K + ) = i n t (K ) với mọi M E r .
Lưu ý rằng, int (K) + h c int (K) với mọi h G /í, điều này suy ra
(x, fo (#)) — (u, fo (ù) + c) ị int (K) với mọi ME r và c G Mfị. Tức là, (*, u (.*)) e W E (epiR. (/„) n (r X R «), A') .
Vì thế,
Ngược lại, cho (.T, y ) € W E ịepiiR« (/o) n ( r X Rr/) , K^j. Khi đó, X G r và tồn tại c G Mfị sao cho y = f„ {x) + c, hơn nữa,
( (z , f o (x) + c) - (/□) n ( r X M9)) n (X X ỉnt (Rfị) ) = 0. Do đó, (/o (.t) + c — ( / (r) + M+)) n i n t (Mị) = 0, và như vậy
ưo (^) - /o (r)) n ?;r?i (Rq+) = 0.
Vì vậy, X là một nghiệm Pareto yếu của (2.15). Theo Bổ đề 2.6 thì