ta có
(2.1) và Bổ đề 2.2
(Vk< / (x)) = max_ 1< i< m (yịiTi (x) + bi) v ó i l < k <q,
ta có epiRo (fo) là một đa diện trong I xM?. Do đó, epiR<1 ( f 0) n ( r X R 9) là một đa diện trong X x l l Theo Bổ đề 2/7 thì
W E (epiK ( / „ ) n ( r X K"), k )
là licn thông điíờng.
Diều này cùng với (2.22) chứng tỏ S w cũng là liên thông đường. Lưu ý rằng, một ánh xạ tuyến tính từng khúc là liên tục. Từ tính liên thông đường của S WÌ dỗ dàng kiổm tra được Vw = f (Sw) cũng là licn thông
đường. Dịnh lí được chứng minh. □
Trong Dịnh lí ^ 3 , giả thiết c lồi không thể bỏ được. Dể thấy điều này, ta xét ví dụ sau.
V í d ụ 2.2. Cho X = Y = R vầ c = M+. Lấy / (x) = 0 nếu X G M \ (—1; 1) và f (x) = l — \x\ nến X € [—1; 1] . Khi đó, Sw = R \ ( — 1; 1) là không liên thông.
34
N h ậ n xét 2.2. Dịnh lí 2J_, 2JỈ_ và 2^3 cải tiến và tổng quát hóa các kết quả của Arrow, Darankin và Brackmell, nó là sự mở rộng từ trường hợp tuyến tính đến trường hợp tuyến tính từng khúc và tổng quát từ trường hợp hữu hạn chiều sang vô hạn chiều.
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp / là tuyến tính.
Đ ịn h lý 2.4. Giả sử tồn tại T € L ( X , Y ) và b G Y sao cho f (x) = T ( . t ) + b với m,ọi X € X. Khi đó, tồn tại , •••, ỉ/*rỉ É c + \ {0} sao cho L (?/*) là một mặt của r, ( j = 1, và Sw — U7=1 L {y*j )> t r o n 9 đó,
L (y*) giống như trong (2.16)
Chứng minh. Theo (2.20) trong phần chứng minh của Bổ đề 2.6 thì tồn
tại £ c + \ {0} sao cho Sw = (Jm=l L (Vj)- Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng mỗi L (?/*) là một m ặt của r . Do tính tuyến tính của / và định nghĩa của L (?/*), dễ dàng chứng minh được rằng,
L (ỉ/*) = | x e r : { y ] , T( x ) ) = min (y*,T ( ỉí) ) ị .
Diều này chứng tỏ L (?/*) là một mặt của r . Định lí được chứng minh. □
N hận x é t 2.3. Nếu bỏ giả thiết về tính tuyến tính của f thì Định lí 2Jị_ không còn đúng. Ví dụ sau chứng tỏ điều này.
V í d ụ 2.3. Cho X = Y = R,c = [ 0 ,+ o o ) ,r = [-1,1] và f (x) = \x\
K ế t luận
Khóa luận trình bày một số khái niệm cơ bản về lý thuyết tối ưu vector và một số dạng mở rộng của Định lý ABB. Cụ thổ:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết tối ưu vector như: Tập lồi, nón, quan hệ thứ tự, các điểm hữu hiệu và sự tồn tại nghiộm của bài toán tối ưu vcctor.
Chương 2: Mục 2.1 trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc và một số tính chất cơ bản được sử dụng trong phần sau. Mục 2.2 nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong hai trường hợp: Mục 2.2.1 khảo sát cấu trúc của tập nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong trường hợp nón sinh thứ tự là một đa diện. Mục 2.2.2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiộm của lớp bài toán này với trường hợp nón sinh thứ tự tổng quát của hàm mục tiêu là lồi theo nón. Các ví dụ được đưa ra để phân tích các kết quả được trình bày trong khóa luận.
Tài liệu th a m khảo
[A] Tài liệu T iến g V iệt
[1] Giải tích lồi, Dỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, NXB Khoa học kỹ thuật, 200 0.
[B] Tài liệu T iến g A nh
[2] P. Armand, Finding all maximal cfficicnt faccs in multiobjccturc linear programming, Math. Program., 61 (1993), pp.357-375.
[3] K. J. Arrow, E. w. Barankin and D. Blackwell, Admissible points of convex sets, Contribution to the Theory of Games, Edited by H.
w . Kuhn and A. w . Tucker, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1953, pp.87-92. New Jersey, 1953, pp.87-92.
[4] H. P. Benson and E. Sun, Outcome space partition of the weight set in multiobjccturc linear programming, J. Optim. Theory Appl., 105 (2000), pp. 17-36.
[5] G. R. Bitran and T. L. Magnanti, The structure of admissible points with rcspcct to conc dominance, J. Optim. Theory and Appl., 29
(1979), pp.573-614.
[6] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York, 1983
[7] S. I. Gass and P. G. Roy, The compromise hypcrsphcrc for multi- objecture linear programming, European J. Oper. Res., 144 (2003), p p .1105-479.
[8] X. H. Gong, Connectedness of the efficient solution sets of a convex vector optimzation problem in normed spaces, Nonlinear Anal, 23
(1994), p p .1105-1114.
[9] H. W. Hamacher and S. Nickel, M ultiobjecture planar location prob lems, Europea J. Oper. Res., 94 (1996), pp.66-86.
[10] J. Jahn, Vector Optimization: Theory, Applications and Extensions, Springer - Verlag 2004.
[11] B. Jimenez, Strict efficiency in vector optimzation, J. Math. Anal. Appl., 265 (2002), pp.264-284.
[12] B. Jimenez, Strict minimality conditions in nondifferentiable multi objective programming, J. Optim. Theory Appl., 116 (2003), pp.99- 116.
[13] D. T. Luc, Theory of Vector Optimization, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1989.
[14] D. T. Luc, Contractibilty of efficient point sets in normed spaces, Nonlinear Anal., 15(1990), pp.527-535.
[15] E. K. Makarov and N. N. Rachkovski, Efficient sets of convex com- pacta arc arewise connected, J. Optim. Theory Appl., 110 (2001), pp.159-172.
38
[16] S. Nickcl and М. M. Wiccck, Multiple objective programming with piecewise linear functions, J. Multi-Crit. Decis. Anal., 8 (1999), pp.322-332.
[17] G. Perez etal, Management of surgical waiting lists through a pos- sibilistic linear multiobjective programming problem, App. Math. Comput., 167 (2005), pp.477-495.
[18] В. T. Polyak, Introduction to Optimization, Optimization Software, inc., Publications Division, New York, 1987.
[19] R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princenton Univ. Press, Prin- centon, New7 Jersey, 1970.
[20] W. Song, Conncctibility of efficient solution sets in vector optimiza tion of set-valued mappings, Optimization, 39 (1997), pp. 1-11. [21] E. J. Sun, On the connectedness of efficient set for strictly quasi-
convex vector optimization problems, J. Optim. Theory Appl., 89 (1996), pp.475-481.
[22] L. V.Thuan and D. T. Luc, On sensitivity in linear multiobjectivc programming, J. Optim. Theory Appl., 107 (2000), pp.615-626. [23] M. Zelenny, Linear M ultiobjecture Programming, Lecture Notes in
Econimics and M athematical Systems, Vol.95, SPringer-Verlag, New York, 1974.
[24] X. Y. Zheng, Contractibilty and connectedness of efficient point sets, J. Optim. Theory Appl., 104 (2000), pp.717-737.