Trường hợp nón thứ tự là đa diện.

Một phần của tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán cấu trúc của tập nghiệm toán pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn (Trang 26)

/ (.X) e WE ( (r) ,C)

2.2.1. Trường hợp nón thứ tự là đa diện.

Trong mục này, ta giả thiết rằng, nón sinh thứ tự с là đa diện. Do đó, tồn tại 2/*, G Y* sao cho

с = {y e Y : {y*, y) <0,1 = 1, ..,p} . (2.4)

Dặt Yi := п?=1кет (ỉ/*), trong đó, ker (y*) = {y e Y : (yị, y) = 0} là hạt

nhân của y*. Do đó tồn tại không gian con y2 của Y sao cho

d im (y 2) < p,Yi n r 2 = {0} và Y = Y1+ y2. (2.5) Dễ dàng chứng minh rằng tồn tại một hằng số M G (0, +0 0) sao cho

\\yi\\ + II2/2II < M II2/1 + ĨJ2 \\ với mọi (2/1,2/2) e Yi X Y2. (2.6) Theo (2.5) với bất kì y G Y tồn tại một cặp duy nhất (ỉ/bỉ/2) € Y\ X ỵ2

sao cho у = У1 + 7 / 2; đặt G (y) := 7/2• Khi đó, ánh xạ y !->• G (y) là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y vào Y2 và ánh xạ G từ tập mở Y vào tập mở

Y2. Dặt

c2 ■={ỉ/2 e Y2 : <y*, y2> < 0,2= 1 Khi đó, c 2 = G (С). Theo (2.4) và (2.6) thì

С = Yị + c2ỉnt (С ) = Yị + ỉnty2 (С2) , (2.7) trong đó, inty2 (С2) là phần trong của c2trong Y2. Dặt

g ( x ) = G ( f (x)) với mọi X G X. (2.8)

Rõ ràng, g là ánh xạ tuyến tính từng khúc từ X vào Y2. Xét bài toán tối ưu đa mục ticu tuyến tính từng khúc sau:

trong đó, r là tập chấp nhận được của (2.2)

B ổ đề 2.4. Cho Xr. Khi đó, X là một nghiệm Pareto yếu của (]2.2h

nếu và chỉ nếu X là một nghiệm Pareto yếu của (2.9).

Chứng minh. Cho X là một nghiệm Pareto yếu của (2.2). Khi đó,

( f (x) - int (C)) n f ( T ) = 0,

suy ra, ( / ( . t ) — Y ị — i nÌỴ2 (c 2)) n / ( r ) = 0 (do (2 .7 )). Do đó, với mọi

z G r , / (z) ị f (X) — Yị — inty2 (C2) và như vậy,

g { z ) i 9 ( x ) + [ / ( x ) - g ( x ) - ( / ( z ) - g ( z) ) ] - Y ỵ - i n t y 2 ( C 2 ) ■

f ( x ) - g (x) , f ( z ) - g (2) € Vi ncn g( z) ị g (x) - in t Y% (C2) . Diều này chứng tỏ X là một nghiệm Pareto yếu của (2.9)

Dể chứng minh điều ngược lại, giả sử X không là nghiệm Pareto yếu của (2.2). Khi đó, tồn tại 1)1Y1,c2 G inty,2 (C2) và a € r sao cho

/ (x) - yi - c2 = / (a) .

Do đó, g( x) - c2 - g (a) = - ( f (x) - g (x)) + Vx + f (a) - g ( a ) . Theo (2.5) thì g (x) — c2 — g(a) = 0, và như vậy (g (X) — inty2 (C2)) n <7 (r) 0- Diều này chứng tỏ rằng, X không là một nghiệm Pareto yếu của (2.9). Do đó mệnh đề đảo đúng. Bổ đề được chứng minh. □

Dể chứng minh kết quả chính của mục này, chúng ta cũng cần bổ đề sau.

B ổ đề 2.5. Cho p và Q tương ứng là các đa diện trong X và Y. Cho

T G L ( X , Y ) và giả sử rằng Y là không gian hữu hạn chiều. Khỉ đó,

24

Chứng minh. Lấy ...,x*k G X * và /1 ? Zfc € K sao cho

Dặt Xi := n ^ i k er (x ĩ) • Khi đó tồn tại một không gian con hữu hạn chiều x 2 của X sao cho

Dặt P0 {x G x2: (x*,x) < lị, i — 1 , Ả:} . Khi đó, là một đa diện không chứa đường thẳng trong x 2p = P0 + Xị . Theo ỊỊTÕT Dịnh lí

19.1] nên tồn tại / l i , / z p, /ip+1, hp+q G x 2 sao cho

Do đó

{ Ị+</ £ ì

tiT {hi) I ( í „ tp+g) € Mp++9 và 1,; = 1 u T (X O .

2—1 i=l J

Từ Y là không gian hữu hạn chiều, theo [TÕỊ, Dịnh lí 19.1] thì T (p ) là đa diộn trong Y .

Dể chứng minh T ~ l (Q) là một đa diện, lấy 7/í, - - -, 2/* G F* và 7*!, ...,r n € M sao cho

trong đó, T* là toán tử liên tục của T. Do đó, T 1 (Q) là một đa diện I = I 1 + I 2 và 1 ^ X 2 = {0} .

Q = {2/ G Y : (?/*,?/) < r f,z = Khi đó,

T 1 (Q) = {x € X : {Ị)l,T ( x ) ) < r„ i = 1 , n}

= {x € X : (T" ( y l ) , x ) < r u i =

Đ ịn h lý 2.1. Giả sử nón sinh thứ tự c là đa diện. Khỉ đó, tồn tại hữu

hạn các đa diện H i , H q trong X sao cho S w = U^=1 Hi ’ Do đó, Sw ỉ,à

đóng.

Chứng minh. Lấy p iì Tị, bi (i — 1, và g như trong (2.1) và (2.8).

Khi đó, g(r) = u =! G (Tị (T n Pị) + bị) . Từ điều này và Bổ đề 2.5 suy ra g(r) là hợp của hữu hạn các đa diộn trong Y2. Do đó, g(r) + c 2 là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y2 và như vậy là bd (g (r) + c 2). Do đó, g(r ) + c2là hợp hữu hạn các đa diện trong y 2. Kết hợp với Bổ đề 2.3 suy ra tồn tại các đa diện E ị , E p trong Y2sao cho w E (g( r ) , ơ 2) =

U/J=1 Ej. Theo BỔ đề 2.4 thì

p

Sw = r n g - 1( W E ( g ( r ) , C 2)) = u r n g~l ( Ej ) .

3 =1

Do đó, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng, với mỗi số nguyên j € [1 ,£>],

g~l (Ej )là hợp hữu hạn các đa diện trong X. cố định một số nguyên

j e [1 ,p] và chú ý rằng,

m m

g - 1 (E,) = u p tn g - 1 (E,) = ỊJ p tn (G o Tị)~l {E, - G (6,0).

i = 1 i=1

Từ Bổ đề 2.5, ta có g 1 (E j) là hợp hữu hạn các đa diện trong X. Dịnh lí được chứng minh.

2.1

ta có thể thấy N h ậ n x é t 2.1. Theo cách chứng minh của Dịnh lí

rằng Vwlà hợp của hữu hạn các đa diện trong Y nếu Y là không gian hữu han chiều.

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng Dịnh lí 2A_ và các nhận xét ở trên không còn đúng khi nón sinh thứ tự c không là đa diện.

26

V í d ụ 2.1. Lấy X = M2, Y = M3. Xét c là một nón trong M3 được xác định bởi

c = | ( í i , t2, £3) E R3 : {tị + £2)2 < 2í3 j .

Khi đó, c là nón lồi đóng trong R3 và int (c ) khác rỗng. Đặt

Pi := { ( t u t2) € M2 : - 1 < h < 0,Í1 < *2 < } ;

P2 '.= {(t\ , Í2) € M2 : 0 < £2 ^ 15^2 ^1 ^2 } 5 -P3 {(^1 5^2) € M2 : 0 < tị < 1, —1\ < £2 < íi} ;

P4 := {(^1 5^2) € M2 : — 1 < Ỉ2 < 0, £2 ^ ti ^ —^2} •

Khi đó, mỗi tập Pị là đa diện trong R2 và IJ4= 1 = [— 1,1] X [—1,1]. Chúng ta định nghĩa / : R2>• R s bởi

(t i ì hĩ —u ) J (£1^2) £ P\

(tị, t2, t2) , (£1,t2) G P2

f (tị, t 2) ^ t2, ti) , (tl512) P3

(A^2ì —t 2) , ( t i , t 2)Pị

(tị, £2,1) , (íi, £2) G M2 \ Ui=i Pi-

Rõ ràng f là xác định và tuyến tính từng khúc. Trong (2.2), cho a* = 0 và c* = 0 với mỗi số nguyên j e [ 1,77,] . Khi đó, tập r là toàn bộ không gian X . Chúng ta chứng minh rằng

Sw = {(0, 0)} u {(ti, Í2) € M2: tị + tị > 4} (2.10)

Diều này suy ra S wVw không là hợp hữu hạn các đa diện. Dễ thấy, (2.11) là kết quả trực tiếp suy ra từ (2.10). Như vậy, ta chỉ cần chứng minh (2.10) đúng. Lấy (£1,^2) É Pị \ {(0.0)}. Khi đó, |í2| < \tị\

tỊ + tị < 4tị. Từ đó suy ra fint ( C ) . Do đó, f (Pị \ {(0, 0)}) c

int (c ). Tương tự có / (Pị \ {(0,0)}) c int (c ), (i = 1, 2 ,3 ,4 ). Vì vậy, / M J f i \ { ( 0 , 0 ) } j c i n t ( C ) . (2.1 2) Dặt A := { (í1} t2) € M2 : 0 < tị + tị < 4} . Khi đó, / (t i , t 2) = E

int (c ) với mọi ( t i ,t 2) G A \ u =1 Pi- Theo (2.12) thì / (A) c int (c ).

Diều này và (0, 0, 0) = f (0, 0) suy ra A n S w = 0 tức là,

sw c {(0,0)} u {(Í1,Í2) G K2 : t\ + tị > 4} .

(2.13)

Chú ý rằng (0, 0) E S WÌ đẻ chứng minh (2.10), ta chỉ cần chứng minh

€ M2 : tị + tị > 4} c Sw.

Giả sử ngược lại, tồn tại G M2 với t\ + tị > 4 và ( í i , t 2) G M2 sao cho

(^1,^2) - ỉ ( t u t 2) e int (C) . (2.14) Từ / ( t i , í 2) = ( t i n t ( C), suy ra f (tị, t2) ị i nt ( C) . Diều này cùng với (2.13) suy ra (tx,t2) ị A.

Khi đó, (ti, t2) = (0, 0) hoặc tỊ + tị > 4. Do đó / (ti,t2) = (0, 0, 0) hoặc thuẫn với (2.14).

28

Một phần của tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán cấu trúc của tập nghiệm toán pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong không gian định chuẩn (Trang 26)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(42 trang)