Trường hợp nón thứ tự là đa diện.

/ (.X) e WE ( (r) ,C)

2.2.1. Trường hợp nón thứ tự là đa diện.

Trong mục này, ta giả thiết rằng, nón sinh thứ tự с là đa diện. Do đó, tồn tại 2/*, G Y* sao cho

с = {y e Y : {y*, y) <0,1 = 1, ..,p} . (2.4)

Dặt Yi := п?=1кет (ỉ/*), trong đó, ker (y*) = {y e Y : (yị, y) = 0} là hạt

nhân của y*. Do đó tồn tại không gian con y2 của Y sao cho

d im (y 2) < p,Yi n r 2 = {0} và Y = Y1+ y2. (2.5) Dễ dàng chứng minh rằng tồn tại một hằng số M G (0, +0 0) sao cho

\\yi\\ + II2/2II < M II2/1 + ĨJ2 \\ với mọi (2/1,2/2) e Yi X Y2. (2.6) Theo (2.5) với bất kì y G Y tồn tại một cặp duy nhất (ỉ/bỉ/2) € Y\ X ỵ2

sao cho у = У1 + 7 / 2; đặt G (y) := 7/2• Khi đó, ánh xạ y !->• G (y) là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y vào Y2 và ánh xạ G từ tập mở Y vào tập mở

Y2. Dặt

c2 ■={ỉ/2 e Y2 : <y*, y2> < 0,2= 1 Khi đó, c 2 = G (С). Theo (2.4) và (2.6) thì

С = Yị + c2và ỉnt (С ) = Yị + ỉnty2 (С2) , (2.7) trong đó, inty2 (С2) là phần trong của c2trong Y2. Dặt

g ( x ) = G ( f (x)) với mọi X G X. (2.8)

Rõ ràng, g là ánh xạ tuyến tính từng khúc từ X vào Y2. Xét bài toán tối ưu đa mục ticu tuyến tính từng khúc sau:

trong đó, r là tập chấp nhận được của (2.2)

B ổ đề 2.4. Cho X € r. Khi đó, X là một nghiệm Pareto yếu của (]2.2h

nếu và chỉ nếu X là một nghiệm Pareto yếu của (2.9).

Chứng minh. Cho X là một nghiệm Pareto yếu của (2.2). Khi đó,

( f (x) - int (C)) n f ( T ) = 0,

suy ra, ( / ( . t ) — Y ị — i nÌỴ2 (c 2)) n / ( r ) = 0 (do (2 .7 )). Do đó, với mọi

z G r , / (z) ị f (X) — Yị — inty2 (C2) và như vậy,

g { z ) i 9 ( x ) + [ / ( x ) - g ( x ) - ( / ( z ) - g ( z) ) ] - Y ỵ - i n t y 2 ( C 2 ) ■

Vì f ( x ) - g (x) , f ( z ) - g (2) € Vi ncn g( z) ị g (x) - in t Y% (C2) . Diều này chứng tỏ X là một nghiệm Pareto yếu của (2.9)

Dể chứng minh điều ngược lại, giả sử X không là nghiệm Pareto yếu của (2.2). Khi đó, tồn tại 1)1 € Y1,c2 G inty,2 (C2) và a € r sao cho

/ (x) - yi - c2 = / (a) .

Do đó, g( x) - c2 - g (a) = - ( f (x) - g (x)) + Vx + f (a) - g ( a ) . Theo (2.5) thì g (x) — c2 — g(a) = 0, và như vậy (g (X) — inty2 (C2)) n <7 (r) Ỷ 0- Diều này chứng tỏ rằng, X không là một nghiệm Pareto yếu của (2.9). Do đó mệnh đề đảo đúng. Bổ đề được chứng minh. □

Dể chứng minh kết quả chính của mục này, chúng ta cũng cần bổ đề sau.

B ổ đề 2.5. Cho p và Q tương ứng là các đa diện trong X và Y. Cho

T G L ( X , Y ) và giả sử rằng Y là không gian hữu hạn chiều. Khỉ đó,

24

Chứng minh. Lấy ...,x*k G X * và /1 ? Zfc € K sao cho

Dặt Xi := n ^ i k er (x ĩ) • Khi đó tồn tại một không gian con hữu hạn chiều x 2 của X sao cho

Dặt P0— {x G x2: (x*,x) < lị, i — 1 , Ả:} . Khi đó, là một đa diện không chứa đường thẳng trong x 2 và p = P0 + Xị . Theo ỊỊTÕT Dịnh lí

19.1] nên tồn tại / l i , / z p, /ip+1, hp+q G x 2 sao cho

Do đó

{ Ị+</ £ ì

tiT {hi) I ( í „ tp+g) € Mp++9 và 1,; = 1 u T (X O .

2—1 i=l J

Từ Y là không gian hữu hạn chiều, theo [TÕỊ, Dịnh lí 19.1] thì T (p ) là đa diộn trong Y .

Dể chứng minh T ~ l (Q) là một đa diện, lấy 7/í, - - -, 2/* G F* và 7*!, ...,r n € M sao cho

trong đó, T* là toán tử liên tục của T. Do đó, T 1 (Q) là một đa diện I = I 1 + I 2 và 1 ^ X 2 = {0} .

Q = {2/ G Y : (?/*,?/) < r f,z = Khi đó,

T 1 (Q) = {x € X : {Ị)l,T ( x ) ) < r„ i = 1 , n}

= {x € X : (T" ( y l ) , x ) < r u i =

Đ ịn h lý 2.1. Giả sử nón sinh thứ tự c là đa diện. Khỉ đó, tồn tại hữu

hạn các đa diện H i , H q trong X sao cho S w = U^=1 Hi ’ Do đó, Sw ỉ,à

đóng.

Chứng minh. Lấy p iì Tị, bi (i — 1, và g như trong (2.1) và (2.8).

Khi đó, g(r) = u =! G (Tị (T n Pị) + bị) . Từ điều này và Bổ đề 2.5 suy ra g(r) là hợp của hữu hạn các đa diộn trong Y2. Do đó, g(r) + c 2 là hợp của hữu hạn các đa diện trong Y2 và như vậy là bd (g (r) + c 2). Do đó, g(r ) + c2là hợp hữu hạn các đa diện trong y 2. Kết hợp với Bổ đề 2.3 suy ra tồn tại các đa diện E ị , E p trong Y2sao cho w E (g( r ) , ơ 2) =

U/J=1 Ej. Theo BỔ đề 2.4 thì

p

Sw = r n g - 1( W E ( g ( r ) , C 2)) = u r n g~l ( Ej ) .

3 =1

Do đó, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng, với mỗi số nguyên j € [1 ,£>],

g~l (Ej )là hợp hữu hạn các đa diện trong X. cố định một số nguyên

j e [1 ,p] và chú ý rằng,

m m

g - 1 (E,) = u p tn g - 1 (E,) = ỊJ p tn (G o Tị)~l {E, - G (6,0).

i = 1 i=1

Từ Bổ đề 2.5, ta có g 1 (E j) là hợp hữu hạn các đa diện trong X. Dịnh lí được chứng minh.

2.1

□

ta có thể thấy N h ậ n x é t 2.1. Theo cách chứng minh của Dịnh lí

rằng Vwlà hợp của hữu hạn các đa diện trong Y nếu Y là không gian hữu han chiều.

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng Dịnh lí 2A_ và các nhận xét ở trên không còn đúng khi nón sinh thứ tự c không là đa diện.

26

V í d ụ 2.1. Lấy X = M2, Y = M3. Xét c là một nón trong M3 được xác định bởi

c = | ( í i , t2, £3) E R3 : {tị + £2)2 < 2í3 j .

Khi đó, c là nón lồi đóng trong R3 và int (c ) khác rỗng. Đặt

Pi := { ( t u t2) € M2 : - 1 < h < 0,Í1 < *2 < } ;

P2 '.= {(t\ , Í2) € M2 : 0 < £2 ^ 15 — ^2 ^1 ^2 } 5 -P3 {(^1 5^2) € M2 : 0 < tị < 1, —1\ < £2 < íi} ;

P4 := {(^1 5^2) € M2 : — 1 < Ỉ2 < 0, £2 ^ ti ^ —^2} •

Khi đó, mỗi tập Pị là đa diện trong R2 và IJ4= 1 = [— 1,1] X [—1,1]. Chúng ta định nghĩa / : R2 —>• R s bởi

(t i ì hĩ —u ) J (£1^2) £ P\

(tị, t2, t2) , (£1,t2) G P2

f (tị, t 2) ^ t2, ti) , (tl512) € P3

(A^2ì —t 2) , ( t i , t 2) € Pị

(tị, £2,1) , (íi, £2) G M2 \ Ui=i Pi-

Rõ ràng f là xác định và tuyến tính từng khúc. Trong (2.2), cho a* = 0 và c* = 0 với mỗi số nguyên j e [ 1,77,] . Khi đó, tập r là toàn bộ không gian X . Chúng ta chứng minh rằng

Sw = {(0, 0)} u {(ti, Í2) € M2: tị + tị > 4} (2.10)

Diều này suy ra S w và Vw không là hợp hữu hạn các đa diện. Dễ thấy, (2.11) là kết quả trực tiếp suy ra từ (2.10). Như vậy, ta chỉ cần chứng minh (2.10) đúng. Lấy (£1,^2) É Pị \ {(0.0)}. Khi đó, |í2| < \tị\ và

tỊ + tị < 4tị. Từ đó suy ra f € int ( C ) . Do đó, f (Pị \ {(0, 0)}) c

int (c ). Tương tự có / (Pị \ {(0,0)}) c int (c ), (i = 1, 2 ,3 ,4 ). Vì vậy, / M J f i \ { ( 0 , 0 ) } j c i n t ( C ) . (2.1 2) Dặt A := { (í1} t2) € M2 : 0 < tị + tị < 4} . Khi đó, / (t i , t 2) = E

int (c ) với mọi ( t i ,t 2) G A \ u =1 Pi- Theo (2.12) thì / (A) c int (c ).

Diều này và (0, 0, 0) = f (0, 0) suy ra A n S w = 0 tức là,

sw c {(0,0)} u {(Í1,Í2) G K2 : t\ + tị > 4} .

(2.13)

Chú ý rằng (0, 0) E S WÌ đẻ chứng minh (2.10), ta chỉ cần chứng minh

€ M2 : tị + tị > 4} c Sw.

Giả sử ngược lại, tồn tại G M2 với t\ + tị > 4 và ( í i , t 2) G M2 sao cho

ỉ (^1,^2) - ỉ ( t u t 2) e int (C) . (2.14) Từ / ( t i , í 2) = ( t ị i n t ( C), suy ra f (tị, t2) ị i nt ( C) . Diều này cùng với (2.13) suy ra (tx,t2) ị A.

Khi đó, (ti, t2) = (0, 0) hoặc tỊ + tị > 4. Do đó / (ti,t2) = (0, 0, 0) hoặc thuẫn với (2.14).

28