Từ phương pháp ước lượng của Arellano và Bond mở rộng đến phương pháp System GMM bằng cách mở rộng danh sách biến công cụ. Các điều kiện moment dùng các sai phân trễ của biến bị nội sinh làm công cụ và các tham số ước lượng bằng GMM (Arellano and Bond , 1991). Ước lượng GMM này ở mô hình sai phân
bậc 1 (DIF) có thể có kết quả kém ở số hạng bị lệch và sự chính xác khi chuỗi bị tương quan dai dẵng. Blundell and Bond (1998) đã đề nghị sử dụng thêm các điều kiện moment dựa trên các điều kiện ổn định của quan sát ban đầu, như được đề nghị bởi Arellano and Bover (1995). Khi các điều kiện này thỏa, kết quả từ ước lượng System (SYS) GMM tốt hơn ước lượng DIF GMM.
Các điều kiện moment được đưa thêm vào của ước lượng SYS tương ứng với mô hình ban đầu (model in levels - LEV), với sai phân trễ của biến nội sinh làm công cụ. Blundell and Bond (1998) cho rằng ước lượng SYS GMM cho hiệu quả cao hơn DIF GMM vì các công cụ ở mô hình LEV vẫn cho dự đoán tốt đối với biến nội sinh cho dù chuỗi có tương quan dai dẵng.
Phương pháp thực hiện ước lượng của DIF GMM và SYS GMM: Giả sử xét mô hình bảng bị tự tương quan bậc 1:
yit = αyi,t-1 + uit i = 1,2…N ; t = 2,3…T (3.12) uit = ηi + vit
trong đó giả định ηi và vit là các thành phần sai số với
E(ηi) = 0 , E(vit) = 0 , E(vitηi) = 0 , i = 1,2…N ; t = 2,3…T (3.13)
E(vitvis) = 0 , i = 1,2…N và t ≠ s (3.14) Và điều kiện ban đầu thỏa E(yi1vit) = 0 , i = 1,2…N ; t = 2,3…T (3.15) Dưới các giả định này, (T-1)(T-2)/2 điều kiện moment tuyến tính có giá trị E(yit-2 ∆uit) = 0 , t = 3…T (3.16) Trong đó yit-2 = (yi1 , yi2 , … yit-2)’ và ∆uit = uit - ui,t-1 = ∆yit – α∆yi,t-1
Xác định Zdi =� yi1 0 0 ⋯ 0 … 0 0 yi1 yi2 … 0 … 0 ⋮ . . … . … . 0 0 0 ⋯ yi1 … yiT−2 � ; ∆ui =� ∆ui3 ∆ui4 ⋮ ∆uiT � (3.17)
Điều kiện moment (3.16) được viết lại như sau:
E(Z’di ∆ui) = 0 (3.18) Ước lượng GMM cho α như sau (Arellano and Bond (1991) :
α�d = ∆y′−1ZdWN−1Z′d∆y
∆y′−1ZdWN−1Z′d∆y−1 (3.19)
Trong đó : ∆y = (∆y1’, ∆y2’,… ∆yN’), ∆yi = (∆yi3, ∆yi4,… ∆yiT)’ , ∆y-1 là giá trị trễ của ∆y, Zd = (Zd1’ , Zd2’ , … , ZdN’)’ và
WN là ma trận trọng số dương, xác định tính hiệu quả cho ước lượng GMM .
α�d là ước lượng GMM cho mô hình sai phân và vì vậy nó là ước lượng DIF GMM, các điều kiện moment (3.16) hay (3.18) là điều kiện moment DIF.
⇒ Đây là kết quả ước lượng DIF GMM (α�d),theo phương pháp Arellano and Bond (1991).
Blundell and Bond (1998) khám phá các điều kiện moment được đưa thêm vào từ giả định ban đầu là :
E(ηi ∆yi2) = 0 (3.20) Giả định này được đảm bảo khi quá trình này dừng, có nghĩa rằng :
yi1 = κi
1−α+εi (3.21)
Với E(εi) = E(εiηi) = 0. Nếu (3.13), (3.14), (3.15) và (3.20) đảm bảo thì có (T- 1)(T-2)/2 điều kiện moment có giá trị :
E(uit ∆yit-1) = 0 , t = 3,4 … T (3.22)
Zli =� ∆yi2 0 0 ⋯ 0 … 0 0 ∆yi2 ∆yi3 … 0 … 0 ⋮ . . … . … . 0 0 0 ⋯ ∆yi2 … ∆yiT−1 � và ui =� ui3 ui4 ⋮ uiT � , (3.23)
Điều kiện moment (3.22) được viết lại như sau :
E(Zli’ui) = 0 , (3.24)
Ước lượng GMM dựa trên các điều kiện này như sau: α�l = y−1′ ZlWN−1Zl′y
y−1′ ZlWN−1Zl′y−1 (3.25)
Trong đó 𝛼�𝑙 là ước lượng LEV GMM, và (3.22) hay (3.24) là các điều kiện moment LEV.
Như vậy 1 bộ đầy đủ các điều kiện moment dưới giả định (3.13), (3.14), (3.15) và (3.20) cho như sau:
E(yit-2 ∆uit) = 0 , t = 3…T (3.26)
E(uit∆yi,t-1) = 0 , t = 3…T
Hoặc E(Zsi’pi) = 0 , (3.27) Trong đó : 𝑍𝑠𝑖 =� 𝑍𝑑𝑖 0 ⋯ 0 0 ∆𝑦𝑖2 0 ⋮ . ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ∆𝑦𝑖𝑇 � ; 𝑝𝑖 =�∆𝑢𝑢 𝑖 𝑖 � . (3.28)
Ước lượng GMM dựa trên điều kiện này là : α�s= q−1′ ZsWN−1Zs′q
q−1′ ZsWN−1Zs′q−1 (3.29)
Với qi = (∆yi’, yi’)’
Ước lượng này được gọi là ước lượng System GMM (Blundell and Bond (1998), với các điều kiện moment (3.26) hay (3.27).
3.2.3 Kiểm định tính hiệu lực cho mô hình GMM: Kiểm định Sargan – Hansen J :